精品解析：河北省衡水市安平县实验初级中学2025-2026学年九年级下学期5月教学质量检测数学试卷

安平县实验初级中学九年级数学模拟试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 如图，将一个含角的直角三角板，按如图所示的位置摆放在直尺上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（   ） A. B. C. D. 4. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 6. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 7. 如图，直线，点E，F分别在直线上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部交于点H，画射线交于点G，若，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 9. 图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流与电阻之间的函数关系如图2所示．当时，该台灯的电阻R是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，与正六边形的边分别交于点，则弧所对的圆周角的大小为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，位于第二象限，已知，，点的坐标为，点的坐标为．若直线与有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，老师在探究“幻方”的数学课上稍加创新改成了“幻圆”游戏，让学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，2，，4，，6，，8这8个数分别填入圆圈内，使横、竖以及内外两圆上的数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分数字填入圆圈中，则请爱思考的你计算出的值为（ ） A. 或 B. 或1 C. 或 D. 1或 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算=_____． 14. 不透明袋子里装有9个球，其中有2个蓝球、3个黄球、4个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为_______． 15. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是___． 16. 如图，矩形中，，，点从点沿向点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得 ； （2）解不等式②，得 ； （3）把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集为 ． 18. 计算及列式计算： （1）计算：； （2）现有4张卡片，上面分别写有不同的有理数，请按照下面的要求列式计算： 用最大的有理数减去最小的有理数，所得的差除以剩余两张卡片上数字的和． 19. 如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． （1）求证：； （2）若，求证：． 20. 某校开展了以“追梦新时代”为主题的读书活动，并对本校八年级学生12月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示． 根据以上信息，解答下列问题； （1）求出随机被抽查的学生总数，并补全不完整的条形统计图； （2）填写本次所抽取学生12月份“读书量”的中位数为 　 　本，众数为 　 　本； （3）求本次所抽取学生12月份“读书量”的平均数． 21. 如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米． （1）水流运行轨迹的顶点坐标为___________； （2）求水流运行轨迹的函数解析式； （3）若在距喷灌架12米处有一棵3.5米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明． 22. 如图，直角三角形中，，点为上一点，以为直径的上一点在上，且平分． （1）证明：是的切线； （2）若，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，直线经过，直线与x轴交于点C，与直线交于点D． （1）求直线的函数解析式： （2）求的面积； （3）嘉淇为了更好观看图象，截屏该问题的图象，如图所示，嘉淇发现屏幕上有一位置固定的黑点M，刚好落在直角坐标系中坐标为的位置上，嘉淇通过手机的触屏功能，在坐标原点的位置与可视范围不改变的情况下，把截屏横向、纵向放大相同的倍数，当直线恰好经过点M时，图中坐标系的单位长度变为原来的a倍，直接写出a的值． 24. 如图1~图3，正方形的边长为4，点P在边上（不与点A，D重合），将线段绕点P按逆时针方向旋转得到线段， （1）如图1，请判断与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，取的中点F，当点F恰好落在边上时． ①求证：； ②求的长； （3）如图3，连接，延长交的延长线于点G，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安平县实验初级中学九年级数学模拟试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义．依据“只有符号不同的两个数互为相反数”这一性质即可求解． 【详解】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是2026． 故选：A． 2. 如图，将一个含角的直角三角板，按如图所示的位置摆放在直尺上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等，由平角的定义可得，由平行线的性质可得． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵直尺的对边平行， ∴． 3. 下列运算正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式、同底数幂除法法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：A．∵，∴ A错误，该选项不符合题意； B．∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，∴ B正确，该选项符合题意； C．∵，∴ C错误，该选项不符合题意； D．∵ 时，同底数幂相除，底数不变，指数相减，，∴ D错误，该选项不符合题意． 4. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形，即： 故选：． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 5. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数估算，熟记夹逼法估计无理数的范围方法步骤是解决问题的关键． 先估算，进而得到的范围即可得到答案． 【详解】解：， ， 则， 故选：C． 6. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】先根据判别式＞0，求出m的范围，进而即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：m＜9， m的值可能是：8． 故选：A. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，掌握一元二次方程有两个不等的实数解，则，是解题的关键． 7. 如图，直线，点E，F分别在直线上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部交于点H，画射线交于点G，若，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴． 8. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由同分母分式加法运算法则计算即可． 【详解】解：． 9. 图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流与电阻之间的函数关系如图2所示．当时，该台灯的电阻R是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象与性质．要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想是解答本题的关键．设电流与电阻之间的函数关系，根据待定系数法求得，将代入函数关系式中，求出即可． 【详解】解：由图象可知，电流与电阻之间满足反比例函数关系， 设电流与电阻之间的函数关系为， 点在函数的图象上， ， 解得：， 电流与电阻之间的函数关系为， 当时，， ． 故选：A． 10. 如图，与正六边形的边分别交于点，则弧所对的圆周角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由正多边形内角和公式求出，再由圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ，则， ． 11. 如图，位于第二象限，已知，，点的坐标为，点的坐标为．若直线与有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知求出点B的坐标，再将A、B的坐标代入直线， 分别求出对应的b的值，即可得解． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵，，点的坐标为， ∴点的坐标为， 分别将点和点的坐标代入直线，得到和， 则的取值范围为． 故选：D． 12. 如图，老师在探究“幻方”的数学课上稍加创新改成了“幻圆”游戏，让学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，2，，4，，6，，8这8个数分别填入圆圈内，使横、竖以及内外两圆上的数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分数字填入圆圈中，则请爱思考的你计算出的值为（ ） A. 或 B. 或1 C. 或 D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意是解题关键．这八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．再列等式可得结论． 【详解】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d，如图． 因为横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，且这八个数分别为，2，，4，，6，，8， 又因为， 所以横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都为， 所以，，， 所以，，． 所以当时，，此时； 当时，，此时． 综上可知的值为或． 故选A． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算=_____． 【答案】 【解析】 【分析】先把化为最简二次根式，再合并同类二次根式计算结果． 【详解】解： ． 14. 不透明袋子里装有9个球，其中有2个蓝球、3个黄球、4个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：因为不透明袋子中装有9个球，其中有2个蓝球、3个黄球、4个绿球， 所以从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为． 15. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是___． 【答案】 【解析】 【详解】∵∠BAC=∠ACD=90°， ∴AB∥CD． ∴△ABE∽△DCE． ∴． ∵在Rt△ACB中∠B=45°， ∴AB=AC． ∵在RtACD中，∠D=30°， ∴． ∴． 故答案为 16. 如图，矩形中，，，点从点沿向点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为________． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，正确作出辅助线是解题关键．连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成求的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，最后利用面积法即可得解． 【详解】解：如图，连接、， ，， ． 四边形是矩形， ， 四边形为矩形， ， 要求的最小值就是要求的最小值． 点从点沿着往点移动， 当时，取最小值． 在中， ，，， ． ， ， 的长度最小为：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得 ； （2）解不等式②，得 ； （3）把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集为 ． 【答案】（1） （2） （3）在数轴上表示为： （4） 【解析】 【分析】（1）由一元一次不等式解法步骤求解即可； （2）由一元一次不等式解法步骤求解即可； （3）在数轴上表示不等式①和②的解集即可； （4）由数轴上公共部分得出原不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， 移项得， 合并同类项得； 【小问2详解】 解：， 移项得， 合并同类项得； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由（3）中数轴可知原不等式组的解集为． 18. 计算及列式计算： （1）计算：； （2）现有4张卡片，上面分别写有不同的有理数，请按照下面的要求列式计算： 用最大的有理数减去最小的有理数，所得的差除以剩余两张卡片上数字的和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据含乘方的有理数混合运算法则，进行计算即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：由题意得： ． 19. 如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质； （1）先证明，结合，，即可得到结论； （2）先证明，结合即可得到结论. 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即. 20. 某校开展了以“追梦新时代”为主题的读书活动，并对本校八年级学生12月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示． 根据以上信息，解答下列问题； （1）求出随机被抽查的学生总数，并补全不完整的条形统计图； （2）填写本次所抽取学生12月份“读书量”的中位数为 　 　本，众数为 　 　本； （3）求本次所抽取学生12月份“读书量”的平均数． 【答案】（1）60人，补图见解析； （2）3；3； （3）本次所抽取学生12月份“读书量”的平均数为3本． 【解析】 【分析】（1）根据5本的人数和所占的百分比求出总人数，再减去其它的人数，求出读4本的人数，继而补全不完整的条形统计图； （2）根据中位数和众数的定义解答即可，一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数； （3）根据平均数的定义即可得出答案． 【小问1详解】 解：随机被抽查的学生总数为：6÷10%＝60（人）， 读4本的人数为：60﹣3﹣18﹣21﹣6＝12（人）； 补图如下： 【小问2详解】 解：本次所抽取学生12月份“读书量”的中位数为4本，众数为3本； 故答案为：3；3； 【小问3详解】 解：（3+18×2+21×3+12×4+6×5）＝3（本）， 答：本次所抽取学生12月份“读书量”的平均数为3本． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米． （1）水流运行轨迹的顶点坐标为___________； （2）求水流运行轨迹的函数解析式； （3）若在距喷灌架12米处有一棵3.5米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明． 【答案】（1） （2） （3）水流不能碰到这棵果树，见解析 【解析】 【分析】（1）根据题目中“当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米”，直接确定顶点坐标． （2）设顶点式，再利用已知点代入求出的值，从而确定函数解析式． （3）将代入已求出的函数解析式，计算出对应的值，与果树高度米比较，判断是否碰到． 本题主要考查了二次函数的实际应用，涉及顶点坐标的理解、二次函数解析式的求解（顶点式的运用）以及函数值的计算与实际问题的结合．熟练掌握二次函数的顶点式、利用已知点求函数解析式的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题可知：抛物线的顶点为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设水流形成的抛物线为， 将点代入可得， ∴抛物线为：． 【小问3详解】 解：不能，理由如下： 当时，， ∴水流不能碰到这棵果树． 22. 如图，直角三角形中，，点为上一点，以为直径的上一点在上，且平分． （1）证明：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图所示： ， ， ∵平分， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由等边对等角、角平分线定义得到，进而由内错角相等判定，借助同旁内角互补及得出，即可得证； （2）设，表示出中的三条边，由勾股定理列方程求解出，数形结合，表示出，代入线段长计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ， ， 在中，，，则由勾股定理得， 即，解得， ， ． 23. 在平面直角坐标系中，直线经过，直线与x轴交于点C，与直线交于点D． （1）求直线的函数解析式： （2）求的面积； （3）嘉淇为了更好观看图象，截屏该问题的图象，如图所示，嘉淇发现屏幕上有一位置固定的黑点M，刚好落在直角坐标系中坐标为的位置上，嘉淇通过手机的触屏功能，在坐标原点的位置与可视范围不改变的情况下，把截屏横向、纵向放大相同的倍数，当直线恰好经过点M时，图中坐标系的单位长度变为原来的a倍，直接写出a的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在平面直角坐标系中，直线经过，利用待定系数法即可求出函数表达式； （2）根据题意，求出、，结合，由平面直角坐标系中三角形面积求法得到； （3）题中的描述可理解为将直线：平移后过点，设平移后的直线为，求出平移后的直线表达式为，求出平移后直线与轴交点，直线与轴交点，从而得到放大后坐标系的单位长度变为原来的倍． 【小问1详解】 解：设直线的函数解析式为， ∵点在直线上， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为； 【小问2详解】 如图所示： ∵直线与轴交于点， ∴当时，， 解得：，即， ∵直线与直线交于点， ∴， 解得，即， ， ∴； 【小问3详解】 题中的描述可理解为将直线：平移后过点， 设平移后的直线为，将代入表达式得到， 解得：， 平移后的直线表达式为， 当时，，即放大后，直线过，且与轴交点为；由于直线： 与轴交点为； 放大后，坐标系的单位长度变为原来的倍，即． 【点睛】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法求一次函数表达式、平面直角坐标系中三角形面积、一次函数图象平移等知识，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键． 24. 如图1~图3，正方形的边长为4，点P在边上（不与点A，D重合），将线段绕点P按逆时针方向旋转得到线段， （1）如图1，请判断与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，取的中点F，当点F恰好落在边上时． ①求证：； ②求的长； （3）如图3，连接，延长交的延长线于点G，直接写出的值． 【答案】（1），见解析 （2）①见解析；②2 （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握好相关基础知识，能够从图中作出辅助线构造出常见的几何模型． （1）由题意可得，，，由三角形外角的性质可得，，即可求解； （2）①由（1）可得，由正方形的性质可得，即可求证；②由题意可得，，由①可得，解得，即可求解； （3）过点作交延长线于点，延长交于点，连接，，可得，得到，，得到，即为等腰直角三角形，得到，即，由题意可得，为等腰直角三角形，，得到，，，得到，即，即可求解． 【小问1详解】 解：，理由如下： 由题意可得，，， 由三角形外角的性质可得，， 即， ∴； 【小问2详解】 解：①由（1）可得， 在正方形中， ， ∴； ②由题意可得，点为的中点，， ∴， 由①可得，解得， ∴； 【小问3详解】 解：过点作交延长线于点，延长交于点，连接，，如下图： 由题意可得；，，， ∴， ∴，， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 由题意可得，，即， 由题意可得，，，则为等腰直角三角形， 由勾股定理可得， 在正方形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $