精品解析：河北复兴区实验中学2025-2026学年九年级下学期4月数学巩固练习

2026年河北省九年级巩固练习数学 本试卷共8页．总分120分．考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2026年石家庄、沧州等市中考体育抽考项目都是1分钟跳绳，在评定标准中，男生1分钟跳绳的满分标准是175个，在一次练习中，不够满分标准的部分用负数表示，下列四名男生的成绩中，与满分标准相差最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 成语是中华文化精髓的重要载体，其背后蕴含着丰富的历史典故与哲学智慧．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 水涨船高 B. 异口同声 C. 日出东方 D. 冬去春来 3. 下列各算式中的2和3可以直接相加的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，用一个截面（阴影部分）把一个正方体斜截去一部分，则剩下的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 5. 根据光的反射定律，入射角等于反射角．在如图所示的光的反射实验中，法线镜面．若反射光线镜面，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. “以形助数”是借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系．如图，两个正方形的面积分别为8与2，下列等式可解释它们边长之间的关系是（ ） A. B. C. D. 7. 下面是嘉嘉和淇淇的对话，根据对话内容，淇淇取的x的值可能是（ ） 嘉嘉：我能正确地化简分式； 淇淇：我给x取一个值，能使你化简后所得代数式的值大于0 A. B. 0 C. 3 D. 10 8. 小明将由四条长为10的木条组成的菱形沿向右推至四边形的位置，如图所示，当，且菱形与四边形的大小完全一致时，的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 9. 在《九章算术》中，经常用数学解决农作物的产量问题．小明根据“今有中等禾，每捆产出稻米55斗，_____．设上等禾每捆产出稻米x斗”列出不等式，则“_____”上应是（ ） A. 取上等禾33捆、中等禾22捆共量之，产出的稻米不少于5170斗 B. 取上等禾22捆、中等禾33捆共量之，产出的稻米不少于5170斗 C. 取上等禾33捆、中等禾22捆共量之，产出的稻米不多于5170斗 D. 取上等禾22捆、中等禾33捆共量之，产出的稻米不多于5170斗 10. 为了测量树的高度，数学小组给出下列两种方案，根据测量方法及测量数据，能计算出树高度的是（ ） 方案一：如图1，甲同学经反复调整后，使长为2米的标杆（）的影子顶端与树的影子顶端重合，此时测得标杆的影长米，树的影长米； 方案二：如图2，乙同学站立点与树的距离米，眼睛观测树的顶端的仰角为（参考数据：，， ） A. 只有方案一能 B. 只有方案二能 C. 方案一、二都能 D. 方案一、二都不能 11. 如图，正六边形的顶点在等边三角形的三边上，若，，则正六边形的边长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点．点从点出发，沿轴向右以每秒个单位长度的速度运动，以点为顶点作等腰直角三角形，点在反比例函数的图象上，点在轴上且在点的右侧，．则在点运动过程中，时间每增加1秒，四边形的面积都会（ ） A. 增加 B. 增加 C. 增加1 D. 增加 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 为了更好地开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程，在一个三角形地块中分出一块（阴影部分）作为劳动实践用地，尺寸如图所示，则阴影部分的周长为_____m． 14. 中国研发的纳米机器人尺寸因应用场景和设计目标不同而存在较大差异，磁控纳米机器人多用于医疗健康领域，尺寸约为米，手形微纳机器人可用于环保和制造等领域，其尺寸是磁控纳米机器人的20倍，则手形微纳机器人的尺寸约为_____米（用科学记数法表示）． 15. 已知关于的方程的两个不相等的实数根为，若，则的值为_____． 16. 如图，在中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，点在上（点不与点，重合），过点作于点于点，以为邻边构造，则的周长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在一条未标出原点的数轴上，点所表示的数分别为，4． （1）线段的长为_____； （2）若是数轴的原点，请在图中标出点的位置； （3）点在该数轴上，位于点右侧，且点表示的数为m．若点到点，点的距离之和等于20，求的值． 18. 2026年3月22日至28日是“中国水周”，为增强学生的节约用水意识，某校举办了以“节水护水”为主题的活动．结合该主题活动，某数学小组随机调查部分城镇居民家庭，统计其3月份用水量后，将居民家庭的用水量（单位：）分为5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并将收集的数据整理后，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． （1）请补全条形统计图，扇形统计图中圆心角_____度； （2）被调查的居民家庭3月份用水量的中位数落在_____（填字母）组； （3）若城镇居民月平均用水量小于，则体现城镇居民节水意识较强，且达到评选文明城镇的标准．若分别用4，6，8，10，12作为、、、、这五组用水量的平均数，估计该城镇3月份平均用水量是否达到评选要求． 19. 如图1，已知正方形和正方形，点在边上，点在线段的延长线上．将正方形绕点按逆时针方向旋转，连接与直线交于点，如图2所示． （1）如图2，求证：； （2）请在下列①、②中任选一问进行证明． ①在旋转过程中，的度数不变； ②过点作于点于点，在旋转过程中，与之间的数量关系不变． 20. 现有长度不同的两种木棒各4根（如图1所示，木棒长度分别为，其中，数学小组的同学们用这8根木棒（不折断且木棒全部用完）摆成长方形或正方形，选取如图2所示的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法进行研究，记四种图形的面积分别为（和表示各自图形的面积和）． （1）请用含的式子直接表示和； （2）判断，，，中哪个最大，并说明理由． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，且直线与轴，轴交于点，过点的直线交轴于点． （1）求的值和直线的解析式； （2）若点在直线上，点在直线上，求的值； （3）在第三象限内是否存在点，使得的面积与的面积相等？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 22. 【综合与实践】无刻度直尺作图不同于传统的尺规作图，它只能用来画直线、射线或线段．按要求完成下列各小题． （1）如图1，在的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），点，在格点（小正方形的顶点）上． ①的长为_____； ②请在图1中仅用一把无刻度直尺画出线段，使得，且； （2）如图2，已知在平行四边形中，，连接 ①点在边上，老师要求仅用一把无刻度直尺在图2的边上画出点，使得，小冀先连接，交于点，请你在小冀画图的基础上，完成画图； ②在（2）①的基础上，，，连接交于点，连接，求的最小值． 23. 【实际情境】某科技公司在筹备一场盛大的无人机灯光秀，为确保表演效果与安全，技术人员需要用电脑软件给每架无人机绘制飞行路线（下列出现的无人机只向右飞行）． 【数学建模】无人机甲在试飞阶段的飞行轨迹可抽象为抛物线的一部分，飞行轨迹最高点距地面，起飞点和降落点（都在水平地面上）的距离为，以为原点，所在直线为轴，过点与水平地面垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； 【解决问题】 （2）无人机在越过障碍物时，与障碍物的上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，在水平地面上放置了一个设备，该设备的纵切面为四边形，其中，，，．无人机乙原计划从距离左侧的点处起飞（其飞行轨迹抛物线与抛物线的形状和最高点距地面的高度均相同），发现不能安全越过障碍物．若该公司人员在起飞点处放置一个平台，无人机乙从平台上的点（轴）处起飞后刚好安全通过障碍物，此时无人机乙的飞行轨迹记为抛物线． ①求该平台的高度； ②求当时，在平台点处起飞的无人机乙的飞行路线与无人机甲的试飞路线在相同时的最大高度差； （3）在完成任务后，无人机需降落在一个倾斜的回收平台上．电脑绘制的无人机回收飞行轨迹的解析式为（其中是正整数，，无人机从处起飞），回收平台的截面是直线，为了保证平稳降落，无人机必须降落在回收平台上异于起飞点的另一点处．判断是否存在，使得点的横坐标是正整数，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 24. 如图1、图2和图3，，是上的两个定点，是上的动点（不与点重合）． 【基础解题】 （1）如图1，是的直径，，，求劣弧的长度； （2）如图2，若的半径为1，，求的度数； 【能力探究】 （3）如图3，点在线段的延长线上，且与相切，切点为． ①求证：； ②若的半径为6，，，则的长度为_____； 【类比拓展】 （4）如图4，在中，，，点在的内部（点不与点，重合），连接，，，且．请你利用直尺和圆规在图4中画出所有满足条件的点所形成的轨迹，并直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省九年级巩固练习数学 本试卷共8页．总分120分．考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2026年石家庄、沧州等市中考体育抽考项目都是1分钟跳绳，在评定标准中，男生1分钟跳绳的满分标准是175个，在一次练习中，不够满分标准的部分用负数表示，下列四名男生的成绩中，与满分标准相差最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出与满分标准相差的绝对值，比较各数绝对值的大小即可得到答案． 【详解】解： ，， ， ∵ ∴的绝对值最小，即与满分标准相差最小 2. 成语是中华文化精髓的重要载体，其背后蕴含着丰富的历史典故与哲学智慧．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 水涨船高 B. 异口同声 C. 日出东方 D. 冬去春来 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A水涨船高，水上涨后船必然随之上浮，是必然事件，不符合要求； 选项B异口同声，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，符合要求； 选项C日出东方是必然发生的自然现象，是必然事件，不符合要求； 选项D冬去春来是自然规律，必然发生，是必然事件，不符合要求． 3. 下列各算式中的2和3可以直接相加的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故不符合题意； B、不是同类项，不能合并，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D 4. 如图，用一个截面（阴影部分）把一个正方体斜截去一部分，则剩下的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从左面看到的图形为左视图解答即可，注意，存在看不见的部分用虚线表示． 【详解】解：几何体的左视图为： ． 5. 根据光的反射定律，入射角等于反射角．在如图所示的光的反射实验中，法线镜面．若反射光线镜面，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的性质求得，利用入射角等于反射角，求得，据此求解即可． 【详解】解：∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 6. “以形助数”是借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系．如图，两个正方形的面积分别为8与2，下列等式可解释它们边长之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的面积得大正方形的边长为，小正方形的边长为，即可得出结论． 【详解】解：根据题意，得大正方形的边长为，小正方形的边长为，且， 则它们边长之间的关系是． 7. 下面是嘉嘉和淇淇的对话，根据对话内容，淇淇取的x的值可能是（ ） 嘉嘉：我能正确地化简分式； 淇淇：我给x取一个值，能使你化简后所得代数式的值大于0 A. B. 0 C. 3 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】先根据分式有意义的条件求出且，再根据分式运算法则化简原式，结合代数式的值大于0得到x的取值范围，即可判断答案． 【详解】解：根据题意，淇淇取的x的值必须使分式有意义， 则，， 且， ， 要使化简后所得代数式的值大于0， ， 解得， 的取值范围是，且，， 只有选项A符合题意． 8. 小明将由四条长为10的木条组成的菱形沿向右推至四边形的位置，如图所示，当，且菱形与四边形的大小完全一致时，的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】连接，交于O，菱形与四边形的大小完全一致，得到，，根据勾股定理求出，得到，即可求得 【详解】解：连接，交于O， ∵菱形与四边形的大小完全一致， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴ 9. 在《九章算术》中，经常用数学解决农作物的产量问题．小明根据“今有中等禾，每捆产出稻米55斗，_____．设上等禾每捆产出稻米x斗”列出不等式，则“_____”上应是（ ） A. 取上等禾33捆、中等禾22捆共量之，产出的稻米不少于5170斗 B. 取上等禾22捆、中等禾33捆共量之，产出的稻米不少于5170斗 C. 取上等禾33捆、中等禾22捆共量之，产出的稻米不多于5170斗 D. 取上等禾22捆、中等禾33捆共量之，产出的稻米不多于5170斗 【答案】A 【解析】 【分析】根据未知数定义，不等式各项和不等号的含义，即可推得横线上的内容． 【详解】解：∵设上等禾每捆产出稻米斗，中等禾每捆产出稻米斗， ∴表示捆上等禾的总产量， 表示捆中等禾的总产量， ∵不等号的实际意义为“不少于”， ∴该不等式表示：取上等禾捆、中等禾捆，产出的稻米不少于斗． 10. 为了测量树的高度，数学小组给出下列两种方案，根据测量方法及测量数据，能计算出树高度的是（ ） 方案一：如图1，甲同学经反复调整后，使长为2米的标杆（）的影子顶端与树的影子顶端重合，此时测得标杆的影长米，树的影长米； 方案二：如图2，乙同学站立点与树的距离米，眼睛观测树的顶端的仰角为（参考数据：，， ） A. 只有方案一能 B. 只有方案二能 C. 方案一、二都能 D. 方案一、二都不能 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据两方案数据计算的值即可． 【详解】解：方案一：∵， ∴， ∴， ∴， ∴米； 方案二：过点G作交于点F， 可知四边形是矩形， ∴，米， ∵， ∴， ∴米， ∴米， 无数据，无法判断树高度； 即能计算出树高度的是方案一． 11. 如图，正六边形的顶点在等边三角形的三边上，若，，则正六边形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，连接，，，证明出是等边三角形，得到，然后证明出，得到，求出，取等边三角形和等边三角形的中心O，连接，，，过点O作交于点H，解直角三角形求出，进而求出，，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵正六边形的顶点在等边三角形的三边上， ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∵是等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 如图，取等边三角形和等边三角形的中心O，连接，，，过点O作交于点H ∴， ∴ ∴ ∴，， ∴ ∴ ∵六边形是正六边形，点O是等边三角形的中心 ∴点O是正六边形的中心 ∴是等边三角形 ∴． ∴正六边形的边长为． 12. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点．点从点出发，沿轴向右以每秒个单位长度的速度运动，以点为顶点作等腰直角三角形，点在反比例函数的图象上，点在轴上且在点的右侧，．则在点运动过程中，时间每增加1秒，四边形的面积都会（ ） A. 增加 B. 增加 C. 增加1 D. 增加 【答案】D 【解析】 【分析】求出反比例函数的解析式为，设，则，运动时间为t秒，则，可求出，根据，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴 ∴，， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 设，则，运动时间为t秒 ∵点B在反比例函数的图象上， ∴ ∴ ； ∵等腰直角三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴在点运动过程中，时间每增加1秒，四边形的面积都会增加a． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 为了更好地开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程，在一个三角形地块中分出一块（阴影部分）作为劳动实践用地，尺寸如图所示，则阴影部分的周长为_____m． 【答案】 【解析】 【分析】结合图形可知线段是的中位线，则有，即可求出阴影部分的周长． 【详解】解：由图可知，，， 点、分别为线段、的中点， ， 阴影部分的周长（）． 14. 中国研发的纳米机器人尺寸因应用场景和设计目标不同而存在较大差异，磁控纳米机器人多用于医疗健康领域，尺寸约为米，手形微纳机器人可用于环保和制造等领域，其尺寸是磁控纳米机器人的20倍，则手形微纳机器人的尺寸约为_____米（用科学记数法表示）． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 15. 已知关于的方程的两个不相等的实数根为，若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系，以及方程有两个不相等的实数根时，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的两个不相等的实数根为， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴． 16. 如图，在中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，点在上（点不与点，重合），过点作于点于点，以为邻边构造，则的周长为______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据折叠的性质及平行四边形的性质可得到，通过的面积进行线段和的转化，即可求解. 【详解】如解图，过点A作于点G，于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴． 根据折叠可得， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴, ∴， ∴． 连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ 的周长为． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在一条未标出原点的数轴上，点所表示的数分别为，4． （1）线段的长为_____； （2）若是数轴的原点，请在图中标出点的位置； （3）点在该数轴上，位于点右侧，且点表示的数为m．若点到点，点的距离之和等于20，求的值． 【答案】（1）14 （2）见解析 （3）7 【解析】 【分析】（1）用点B表示的数减去点A表示的数即可求解； （2）直接根据点A及点B表示的数确定原点即可； （3）根据两点间距离公式列方程解答． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：点的位置如图所示： 【小问3详解】 由题意得， 解得． 18. 2026年3月22日至28日是“中国水周”，为增强学生的节约用水意识，某校举办了以“节水护水”为主题的活动．结合该主题活动，某数学小组随机调查部分城镇居民家庭，统计其3月份用水量后，将居民家庭的用水量（单位：）分为5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并将收集的数据整理后，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． （1）请补全条形统计图，扇形统计图中圆心角_____度； （2）被调查的居民家庭3月份用水量的中位数落在_____（填字母）组； （3）若城镇居民月平均用水量小于，则体现城镇居民节水意识较强，且达到评选文明城镇的标准．若分别用4，6，8，10，12作为、、、、这五组用水量的平均数，估计该城镇3月份平均用水量是否达到评选要求． 【答案】（1）见解析， （2） （3）该城镇3月份平均用水量没有达到评选要求 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，涉及画条形统计图，求扇形统计图的圆心角，求中位数，求平均数． （1）先利用组的数据求出总户数，再求出组户数，补全条形图；利用组所占比例求圆心角大小即可解答； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）求出该城镇3月份平均用水量，即可得出未达评选要求． 【小问1详解】 解：总户数：（户）， 组户数：（户）， 补全条形统计图如下： ； 【小问2详解】 、、、、这组的用水量是逐渐上升的， 又因为组和组的用户总数为，组、组和组的用户总数为， 所以被调查的居民家庭3月份用水量的中位数落在组； 【小问3详解】 3月份平均用水量（），， 该城镇3月份平均用水量不达标． 19. 如图1，已知正方形和正方形，点在边上，点在线段的延长线上．将正方形绕点按逆时针方向旋转，连接与直线交于点，如图2所示． （1）如图2，求证：； （2）请在下列①、②中任选一问进行证明． ①在旋转过程中，的度数不变； ②过点作于点于点，在旋转过程中，与之间的数量关系不变． 【答案】（1）证明见解析 （2）选①证明见解析；选②证明见解析 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得，进而可证，然后根据可证； （2）选①由对顶角相等得，由全等三角形的性质得，然后利用三角形内角和定理可证； 选②由得，，然后根据三角形面积公式可证结论成立． 【小问1详解】 证明：∵在正方形和正方形中，， ，即， ； 【小问2详解】 解：选①证明：设与交于点 ， ， 在和中， ∵， ， 在旋转过程中，的度数不变 选②证明：如图， ， ，， ， ， 在旋转过程中，与之间的数量关系不变． 20. 现有长度不同的两种木棒各4根（如图1所示，木棒长度分别为，其中，数学小组的同学们用这8根木棒（不折断且木棒全部用完）摆成长方形或正方形，选取如图2所示的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法进行研究，记四种图形的面积分别为（和表示各自图形的面积和）． （1）请用含的式子直接表示和； （2）判断，，，中哪个最大，并说明理由． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据长方形的面积公式计算即可； （2）求出，，，的面积，进而判断即可. 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：最大，理由如下： ． 又， ， ， 即最大． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，且直线与轴，轴交于点，过点的直线交轴于点． （1）求的值和直线的解析式； （2）若点在直线上，点在直线上，求的值； （3）在第三象限内是否存在点，使得的面积与的面积相等？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）7 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）先求出m，得到点A的坐标，再利用待定系数法求出解析式； （2）将点E，点F的坐标代入解析式，列式计算即可； （3）若的面积与的面积相等，则过点，的直线与直线平行，由此直线的解析式可设为．将代入，求出解析式，再将代入即可求出的值 【小问1详解】 将点代入中，解得， 点的坐标为． 设直线的解析式为．将点代入中， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 【小问3详解】 解：存在，a的值为 若的面积与的面积相等，则过点，的直线与直线平行， 则直线的解析式可设为． 将代入，解得． 将代入，解得 22. 【综合与实践】无刻度直尺作图不同于传统的尺规作图，它只能用来画直线、射线或线段．按要求完成下列各小题． （1）如图1，在的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），点，在格点（小正方形的顶点）上． ①的长为_____； ②请在图1中仅用一把无刻度直尺画出线段，使得，且； （2）如图2，已知在平行四边形中，，连接 ①点在边上，老师要求仅用一把无刻度直尺在图2的边上画出点，使得，小冀先连接，交于点，请你在小冀画图的基础上，完成画图； ②在（2）①的基础上，，，连接交于点，连接，求的最小值． 【答案】（1）①；②见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）①根据勾股定理结合网格的特点，即可求解； ②根据题意画出网格的对角线，即可求解； （2）①连接并延长交于点，根据对称性即可得出； ②过点作于点，证明，得出，进而得出当点共线时，最短，此时，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：①； ②如图 【小问2详解】 ①如图，连接并延长交于点， ②如图，过点作于点． ∵平行四边形中， ∴四边形是菱形， ， ， 又， ， 在中，， ． 当点共线时，最短，此时， 即的最小值为． 23. 【实际情境】某科技公司在筹备一场盛大的无人机灯光秀，为确保表演效果与安全，技术人员需要用电脑软件给每架无人机绘制飞行路线（下列出现的无人机只向右飞行）． 【数学建模】无人机甲在试飞阶段的飞行轨迹可抽象为抛物线的一部分，飞行轨迹最高点距地面，起飞点和降落点（都在水平地面上）的距离为，以为原点，所在直线为轴，过点与水平地面垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； 【解决问题】 （2）无人机在越过障碍物时，与障碍物的上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，在水平地面上放置了一个设备，该设备的纵切面为四边形，其中，，，．无人机乙原计划从距离左侧的点处起飞（其飞行轨迹抛物线与抛物线的形状和最高点距地面的高度均相同），发现不能安全越过障碍物．若该公司人员在起飞点处放置一个平台，无人机乙从平台上的点（轴）处起飞后刚好安全通过障碍物，此时无人机乙的飞行轨迹记为抛物线． ①求该平台的高度； ②求当时，在平台点处起飞的无人机乙的飞行路线与无人机甲的试飞路线在相同时的最大高度差； （3）在完成任务后，无人机需降落在一个倾斜的回收平台上．电脑绘制的无人机回收飞行轨迹的解析式为（其中是正整数，，无人机从处起飞），回收平台的截面是直线，为了保证平稳降落，无人机必须降落在回收平台上异于起飞点的另一点处．判断是否存在，使得点的横坐标是正整数，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；② （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，即可解出抛物线的解析式； （2）①先根据题意列出抛物线的解析式，然后根据题意，安全距离不少于，因为该公司人员在起飞点处放置一个平台，无人机乙从平台上的点（轴）处起飞后刚好安全通过障碍物，所以点上方处的点恰好在抛物线，把该点坐标代入的解析式，即可解出的高度； ②求出两无人机飞行路线解析式的交点，并根据图像特点，划出两个自变量范围，继而求出两个范围内的最大值，最后比较两个最大值，就可以求出最大高度差． （3）联立无人机回收飞行轨迹的解析式和回收平台的截面解析式，求出交点，并根据题意得出值． 【小问1详解】 解：根据题意可设抛物线的解析式为， 将点代入，解得， 抛物线的解析式为 ． 【小问2详解】 ①根据题意可设抛物线的解析式为 ． 因为，，此时点正好在抛物线最高点的下方，与最高点的距离超过，点的坐标为．． 因为无人机乙从平台上的点处起飞后刚好安全通过障碍物，所以点恰好在抛物线上， 将点代入 ， 解得， 即该平台的高度为； ②由①得，抛物线的解析式为 ． 当 时， 解得， 综合图像可得，当时，有最大高度差，此时高度为， 当时，有最大高度差，此时高度为， ， 最大高度差为． 【小问3详解】 存在； k的值为或． 联立和，整理可得 ，解得（舍），． 是正整数，4d是整数． 当4k是整数时，x的值也是整数， ∵， ∴满足条件的有和 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式、二次函数的平移性质、二次函数与一次函数的交点问题，正确理解题意是关键． 24. 如图1、图2和图3，，是上的两个定点，是上的动点（不与点重合）． 【基础解题】 （1）如图1，是的直径，，，求劣弧的长度； （2）如图2，若的半径为1，，求的度数； 【能力探究】 （3）如图3，点在线段的延长线上，且与相切，切点为． ①求证：； ②若的半径为6，，，则的长度为_____； 【类比拓展】 （4）如图4，在中，，，点在的内部（点不与点，重合），连接，，，且．请你利用直尺和圆规在图4中画出所有满足条件的点所形成的轨迹，并直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）或 （3）①见解析；② （4） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，由圆周角定理求出，然后利用弧长公式求解； （2）如图，连接，，过点作于点，由垂径定理求出，然后解直角三角形求出，得到，然后分两种情况讨论求解； （3）①如图，连接并延长交于点，连接，得到，然后由直径得到，推出，然后由切线的性质得到，推出，然后等量代换证明即可； ②如图，连接，过点作于点，过点O作于点，由垂径定理得到，利用勾股定理求出，然后证明出，得到，代入求出，，解直角三角形求出，进而求解即可； （4）分别以点A，B为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，，以点为圆心，为半径画弧，即为点所形成的轨迹；证明出四边形是正方形，得到，即可证明点P在以为圆心，为半径的上运动，且点不与点，重合，延长交于点，连接，证明出，得到，当是的直径时，的值最大，即的值最小，进而求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵， ， 劣弧的长度为； 【小问2详解】 解：如图，连接，，过点作于点， ， ∵， ∴， 在中， ， ， ， 当点在优弧上时，； 当点在劣弧上时，； ∴的度数为或； 【小问3详解】 解：①证明：如图，连接并延长交于点，连接， ， ∵是的直径， ∴， ， 与相切， ， ， ， ； ②如图，连接，过点作于点，过点O作于点， ，， ， ∵的半径为6， ∴， ∴在中，， 由①可得， ， ， ，即， ，， ∵在中，， ∴， ； 【小问4详解】 解：如图（点不与点，重合），即为所求；（作图方法不唯一） 如图，在优弧上取点D，连接，， 由作图得，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P在以为圆心，为半径的上运动，且点不与点，重合， 如图，延长交于点，连接． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴的直径为4，与相切于点． 根据（3）①中的解法可得． 又， ， ， ， ∴当的值最大时，的值最小， ∴当是的直径时，的值最大，即的值最小， 此时，即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $