精品解析：陕西省韩城象山中学2024-2025学年高一下学期第三次月考数学试题

陕西省韩城象山中学2024-2025学年高一下学期第三次月考数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的实部和虚部分别是（ ） A. 1，1 B. 1， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由复数代数形式的运算化简即可. 【详解】， 所以数的实部和虚部分别是1,1， 故选：A. 2. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律即可求解. 【详解】由得，解得， 故选：B 3. 如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD的面积为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜二测画法还原图形，根据梯形的面积计算，可得答案. 【详解】由斜二测画法还原图形可得下图： 则，，，，， 所以梯形的面积为. 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式得到，即可求出，再由两角和的正切公式展开计算可得. 【详解】因为， 所以， 即， 所以，则，解得. 故选：B 5. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且，则是（ ） A. 等边三角形 B. 顶角为的等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 非直角三角形，也非等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由条件利用余弦定理求得，可得，由，再根据正弦定理和余弦定理再可得，从而得出结论． 【详解】在中， ， ，， 又由可得， ，故是等边三角形. 故选：A. 6. 将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 【答案】D 【解析】 【分析】设平移距离为，结合三角函数的图象变换，求得，结合选项，即可求解. 【详解】设平移距离为，将函数图象上的各点的横坐标平移个单位， 可得， 因为，则， 即，当时，可得，所以D正确. 故选：D． 7. 在平行四边形中，是对角线上靠近点三等分点，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算，建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题可知，点在上， ， 又， ，解得. 故选：C． 8. 正方体中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过平移将异面直线的所成角转化为相交直线的所成角，在三角形内利用余弦定理即可求得 【详解】 如图，取的中点，再取的中点，连接，因点是的中点，易证,可得， 又因点是的中点，故，则，故直线与直线所成角即直线与直线所成角. 不妨设正方体棱长为4，在中，， 由余弦定理，，即直线与直线所成角的余弦值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列化简正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二倍角公式判断A、C，利用诱导公式及两角和的余弦公式判断B，利用两角和的正切公式判断D. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B： ，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：因为， 所以， 所以，故D正确. 故选：BD 10. 下列说法错误的有（ ） A. 若直线上有无数个点不在平面内，则 B. 若直线与平面相交，则直线与平面内的任意直线都是异面直线 C. 如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交 D. 若直线与平面平行，则直线与平面内的直线平行或异面 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系的定义和判定定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，若直线上有无数个点不在平面内，则或直线与平面相交，A错； 对于B，若直线与平面相交，设，则平面内过点的直线均与直线相交，B错； 对于C，设两条异面直线分别为、，在空间内一点作直线，作直线，如下图所示： 设直线、确定平面，使得，， 因为，，，故，同理，C错； 对于D，若直线与平面平行，则直线与平面的任意直线都没有公共点， 故直线与平面内的直线平行或异面，D对. 故选：ABC. 11. 在中，，若该三角形有且只有一解，则AC的值可能为（ ） A. 6 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理表示出，再按的取值情况分段求解. 【详解】在中，，， 由正弦定理，得，即 当时，，有且只有一个解，； 当，且时，，有两解，； 当时，，有且只有一个解，， 所以AC的值可能为2或4，AD错误，BC正确. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 函数的单调增区间为______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定函数，结合余弦函数的性质、诱导公式求出单调增区间. 【详解】函数，即， 则，解得， 所以函数的单调增区间为. 故答案为： 13. 已知且，则的最小值是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数减法的几何意义，求得复数对应点的轨迹为圆，数形结合解决问题. 【详解】设，则其在复平面内对应点的坐标为， 由可知，到的距离为，则在以为圆心，半径为的圆上； 同时，其表示到的距离； 数形结合可知，的最小值为. 故答案：. 14. 如图，正六边形的边长为，半径为1的图的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，以为原点建立平面直角坐标系，设点，则，将表示为关于的表达式，结合正六边形的性质算出的取值范围. 【详解】以为原点，六边形的左、右顶点所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则圆的方程为，当在轴下方，且位于正六边形与轴平行的边上时， 的纵坐标为，可得，其中， 设，则，． 可得，， 所以， 结合，当时，有最小值5， 当时，有最大值7，可知， 根据图形的对称性，可知：当在正六边形其它的边上时，也成立. 综上所述，取值范围为. 故答案： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 设复数. （1）若z为纯虚数，求； （2）若z在复平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围. 【答案】（1）；（2） . 【解析】 【分析】（1）由z为纯虚数，可得实部为0，虚部不为0，可得z的值，可得的值； （2）由实部大于0且虚部小于0，列出不等式组可得答案. 【详解】解：（1）若z为纯虚数，则 , 所以，故 , 所以 ； （2）若2在复平面内对应的点在第四象限，则 , 解得 . 【点睛】本题主要考查复数的几何意义及复数的有关概念，比较基础. 16. 已知函数． （1）求f(x)的单调递增区间； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)对已知解析式结合二倍角公式、辅助角公式进行整理可得，令，即可求出单调递增区间. (2)由已知条件可知，对所求式子进行变形得，即可进行计算. 【详解】（1） 令，解得， 所求单调增区间为 （2）由，得，则 . 【点睛】本题考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了诱导公式，考查了正弦型函数单调区间的求解，考查了已知三角函数值求三角函数值，属于中档题. 17. 在中，分别是角的对边，向量，，且，且角C是锐角． （1）求角的值； （2）若，求的周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量和数量积的坐标运算结合三角恒等变换可得，可求； （2）利用余弦定理结合基本不等式可求的周长的最大值. 【小问1详解】 因为，，， 所以，所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，所以 因为，所以，所以， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得， 又因为，，所以， 所以，所以，当且仅当时取等号， 所以的周长的最大值为． 18. 如图所示，在三棱柱中，过BC的平面与上底面交于GH（GH与不重合）. （1）求证：； （2）若E，F，G分别是AB，AC，的中点，求证：平面平面BCHG. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据面面平行的性质定理即可求证． （2）推导出，，由此能证明平面平面． 【小问1详解】 在三棱柱中， 平面平面，平面平面，平面平面， 故 【小问2详解】 在三棱柱中， ，，分别是，，的中点， ， 四边形是平行四边形，， 平面，平面， 平面． 又，平面，平面， 平面． ，平面 平面平面． 19. 位于大连森林动物园的“大连浪漫之星”摩天轮享有“大连观光新地标，浪漫打卡新高度”的美称.如图，摩天轮的轮径（直径）为70米，座舱距离地面的最大高度可达80米，摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要18分钟.如图，想要观光的乘客需先从地面上楼梯至乘降点，在乘降点处进入座舱后开始观光，再次回到乘降点时观光结束.本题中座舱都被视为圆周上的点，每个座舱高度忽略不计. （1）甲乙两名游客分别坐在两个不同的座舱内，他们之间间隔4个座舱，求劣弧的弧长（单位：米）； （2）设游客从乘降点处进舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式； （3）若游客在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使（1）中的甲，乙两位游客都有最佳视觉效果. 【答案】（1）米； （2）； （3）3分钟 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出相邻两个座舱所对的圆心角，结合弧长公式即可计算得解. （2）以为原点建立坐标系，设函数，由已知求出参数得解. （3）由（2）的函数关系解不等式，求出最佳视觉效果时间，再求出甲乙时间间隔即可得解. 【小问1详解】 依题意，摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱，则两个相邻座舱所对的圆心角为， 由甲､乙之间间隔4个座舱，得劣弧所对的圆心角为，弧长， 所以劣弧的弧长为米. 【小问2详解】 以摩天轮转轮中心为坐标原点，分别以过的水平线和竖直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， 不妨设开始转动分钟后距离地面的高度， 依题意，， 则，， 由转一周需要18分钟，得周期，解得， 则，由，得，解得， 因此， 所以. 【小问3详解】 由在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果，得， 即，则，即，解得， 则分钟，于是有6分钟的时间使游客甲有最佳视觉效果， 而劣弧所对的圆心角为，则甲乙相隔的时间，有，解得分钟， 因此当甲刚开始有最佳视觉效果时，乙需3分钟后才有视觉效果， 所以甲乙都有最佳视觉效果的时间为分钟. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 陕西省韩城象山中学2024-2025学年高一下学期第三次月考数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的实部和虚部分别是（ ） A. 1，1 B. 1， C. ， D. ， 2. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到直观图，，，则平面图形ABCD的面积为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4. 已知，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且，则是（ ） A. 等边三角形 B. 顶角为的等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 非直角三角形，也非等腰三角形 6. 将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 7. 在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 正方体中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法错误的有（ ） A. 若直线上有无数个点不在平面内，则 B. 若直线与平面相交，则直线与平面内任意直线都是异面直线 C. 如果两条异面直线中一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交 D. 若直线与平面平行，则直线与平面内的直线平行或异面 11. 在中，，若该三角形有且只有一解，则AC的值可能为（ ） A. 6 B. 2 C. 4 D. 8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 函数的单调增区间为______________. 13. 已知且，则的最小值是______________． 14. 如图，正六边形的边长为，半径为1的图的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 设复数. （1）若z为纯虚数，求； （2）若z在复平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围. 16. 已知函数． （1）求f(x)的单调递增区间； （2）若，求的值． 17. 在中，分别是角的对边，向量，，且，且角C是锐角． （1）求角的值； （2）若，求的周长的最大值． 18. 如图所示，在三棱柱中，过BC的平面与上底面交于GH（GH与不重合）. （1）求证：； （2）若E，F，G分别是AB，AC，的中点，求证：平面平面BCHG. 19. 位于大连森林动物园的“大连浪漫之星”摩天轮享有“大连观光新地标，浪漫打卡新高度”的美称.如图，摩天轮的轮径（直径）为70米，座舱距离地面的最大高度可达80米，摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要18分钟.如图，想要观光的乘客需先从地面上楼梯至乘降点，在乘降点处进入座舱后开始观光，再次回到乘降点时观光结束.本题中座舱都被视为圆周上的点，每个座舱高度忽略不计. （1）甲乙两名游客分别坐在两个不同座舱内，他们之间间隔4个座舱，求劣弧的弧长（单位：米）； （2）设游客从乘降点处进舱，开始转动分钟后距离地面高度为米，求在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式； （3）若游客在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使（1）中的甲，乙两位游客都有最佳视觉效果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$