精品解析：2026年河南平顶山市叶县第二教研区二模数学试题

2026年中考学科第二次调研考试试卷数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，23小题，满分120分．考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如果，下列成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值的意义，即可求解． 【详解】解：∵ ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了绝对值的知识，掌握去绝对值的方法是解答本题的关键． 2. 人民日报评论，河南许昌商超胖东来坚持关注顾客需求、尊重员工价值，把事做到极致，春节假期仅营业4天，市区各店客流量便达224万人次，真正赢得消费者信赖和市场认可．将数据“224万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：224万． 3. 跨学科试题·语文诸葛亮的《诫子书》中有“非学无以广才”，将这六个字写在一个正方体的六个面上，如图是该正方体的一种表面展开图，则原正方体中与“非”字所在的面相对的面上的汉字是（ ） A. 学 B. 广 C. 才 D. 以 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的展开图，熟悉掌握正方体的结构是解题的关键． 根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，即可求解． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“学”与“以”是相对面，“无”与“广”是相对面，“非”与“才”是相对面， 故选：C． 4. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式，同底数幂相乘，合并同类项，积的乘方，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选∶D 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，同底数幂相乘，合并同类项，积的乘方，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 5. 如图，直线a，b相交于点A，B为直线b上一点．按下列步骤画图：①分别以点A，B为圆心，相同的长为半径画弧，两弧分别交直线a，b于点C，D，E；②以点E为圆心，的长为半径画弧交前弧于点F；③作射线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由作图可知， ． 6. 如图，将沿边向右平移得到，若，的周长为，则的周长为（ ） A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意四边形为平行四边形，则，进而得到，再根据相似比求出周长即可． 【详解】解：由平移可知四边形为平行四边形， ，， ， ， 又的周长为， 则的周长为． 7. 关于x的一元二次方程 根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 有两个相等的实数根 【答案】B 【解析】 【详解】解：对于一元二次方程，可知，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 8. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种， 故其概率为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 9. 如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点A、C的坐标分别为，将风车绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与平面，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先根据平行四边形的性质得到，然后找到规律得到第2025次旋转结束相当于第9次旋转结束，当于顺时针旋转了，此时点对应点记为点，过点分别作轴的垂线，垂足为点，则，证明即可求解． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵将风车绕点O逆时针旋转，每次旋转，， ∴12次为一个周期， ∵， ∴第2025次旋转结束相当于第9次旋转结束， ∵， ∴第9次逆时针旋转了，则相当于顺时针旋转了，此时点对应点记为点， 过点分别作轴的垂线，垂足为点，则， 由旋转得， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴则第2025次旋转结束时，点B的坐标为， 故选：B． 10. 如图，在中，D是线段上的一点，是边上的高，已知则能大致表示y与x之间函数关系的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等面积法可得，即，再确定的范围得到图象即可． 【详解】解：由是边上的高，是边上的高，可知， ∴，即， ∴是关于的反比例函数， 当点与点重合时的长最小，最小值为， 当点与点重合时的长最大，最大值为， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使分式有意义的x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义，则分母不为0是解题的关键． 根据掌握分式有意义，则分母不为0即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 12. 不等式组的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式的解集，再根据一元一次不等式组解集的确定方法得到最终结果． 【详解】解：解不等式，不等式两边同乘，不等号方向改变，得； 解不等式，移项得， 合并同类项得， 系数化为得； 根据同大取大，可得原不等式组的解集为． 13. 开封举办第四十二届菊花文化节，主会场龙亭公园的4幅由菊花组成的宋代名画《听琴图》《瑞鹤图》《枇杷孔雀图》《千里江山图》尤为别致．某工作人员为了解游客对这4幅名画的喜爱程度，随机对50名游客在这个景点驻足停留的时间进行了统计，并形成如下统计图，其中有两个数据被遮盖，则关于这组数据的统计量中，与被遮盖的数据无关的是______．（填“平均数”“中位数”或“众数”）． 【答案】中位数 【解析】 【详解】解：这组数据的中位数为从小到大第、位的平均值， 又，则这组数据的中位数为； 被遮盖的两组数据共， 又，故众数有可能为，也有可能是被遮盖的两组数据， 综上，与被遮盖的数据无关的是中位数． 14. 如图，与菱形的边相切于点，点，在上．若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图：连接，再证明，推出推出点O在菱形的对角线上，再根据求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ， ∴点O在菱形的对角线上， ， ∵， ， ∵是切线， ∴， ∴， ∵， ∴°， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查切线的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、扇形的面积等知识点，理解题意、作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 15. 如图，在矩形纸片中，，点E，F分别在矩形的边上，将矩形纸片沿所在直线折叠，使点B落在点H处，点D 落在点G处，点C，H，G恰好在同一直线上．若点F为的三等分点，则的长为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】根据题意分①时，过点作交的延长线于点，连接，根据折叠的性质可证，则，设，列方程计算即可；②时，过点作交的延长线于点，连接，由折叠的性质可得，设，再利用勾股定理求解． 【详解】由题意，可知需分以下两种情况．①当时， 过点作交的延长线于点，连接，如图1所示， 则四边形为矩形， ∴ ． 由折叠的性质，可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，解得， ∴． ②当时，过点作交的延长线于点，连接，如图2所示， 则四边形为矩形， ∴， 由折叠的性质，可知， ∴． ∵， ∴， 设，则， ∵ ， ∴，解得， ∴， 综上所述，的长为2或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简平方，三角函数值，计算即可； （2）先把括号里通分化简，再把除法转化为乘法，然后把分子、分母分解因式约分化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 17. 某校为了解九年级同学的体育考试准备情况，随机抽查该年级若干名学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图．请根据图中信息回答下面的问题： （1）请补全条形统计图： （2）所调查学生测试成绩的平均数为______，中位数为______，众数为_____； （3）若该校九年级学生共有1500人，请估计该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有多少人？ 【答案】1）详见解答；（2）8.56，9，10．（3）1140人． 【解析】 【分析】 （1）根据条形统计图和扇形统计图，先算出9分学生的人数，再补全条形统计图； （2）利用平均数、中位数、众数的求法，直接求值即可； （3）先计算抽样学生中成绩不低于8分的百分比，再估计全部九年级学生的成绩情况． 【详解】解：（1）抽样学生中成绩为8分的有10人，占抽样学生数的20%， 所以本次抽样人数为：10÷20%=50（人）， 因为成绩9分的人数占抽样人数的24%， 所以抽样学生中成绩为9分的有：50×24%=12（人）． 补全条形统计图如下： （2）所调查学生测试成绩的平均数为： ； 把该组数据按从小到大的顺序排列后，第24、25个数都是9， 所以该组数据的中位数为：9； 该组数据中，10分出现的次数最多， 所以众数为：10． 故答案为：8.56，9，10． （3）由扇形图知，抽样学生中成绩不少于8分的占： 20%+24%+32%=76%， 所以该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有： 1500×76%=1140（人）． 答：该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有1140人． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、中位数、平均数、众数及用样本估计总体等知识点，读懂条形统计图和扇形统计图，并掌握平均数、中位数及众数的求法是解决本题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴上，点A坐标为，点M是AB的中点，反比例函数的图象经过点M，交CD于点N． （1）求反比例函数的表达式； （2）若反比例函数图象上的一个动点在正方形ABCD的内部（含边界），求面积的最小值． 【答案】（1）y= （2）2 【解析】 【分析】（1）先确定点M的坐标，再把点M点的坐标代入y=中求出k得到反比例函数解析式； （2）利用正方形的性质确定点C的坐标为（6，0），再利用反比例函数解析式确定点N的坐标为（6，），利用反比例函数的性质得到当m=6时，n有最小值，然后计算出△POC面积的最小值． 【小问1详解】 ∵点A坐标为（2，4）， ∴OB=2，AB=4， ∵M是AB的中点， ∴点M的坐标是（2，2）， 把点M（2，2）代入y=得k=2×2=4， ∴反比例函数解析式为y=； 【小问2详解】 ∵四边形ABCD是正方形，点A的坐标是（2，4）， ∴点C的坐标是（6，0）， 当x=6时，y=； ∴点N的坐标是（6，）， ∵反比例函数y=图象上的动点P（m，n）在正方形ABCD的内部（含边界）， ∴n随m的增大而减少，且2≤m≤6， ∴当m=6时，n有最小值， ∴△POC面积的最小值为=2． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0），然后把一个已知点的坐标代入求出k得到反比例函数解析式．也考查了反比例函数的性质和正方形的性质． 19. 贾鲁河发源于郑州西南山区，郑州段长137公里，流域面积2750平方公里，数学实践小组的同学在学习过锐角三角函数之后，尝试用所学的知识来测量贾鲁河的宽度．如图，小亮选取了一段两岸相互平行的河段，然后站在河的南岸A点处观察，发现在其北偏东方向的北岸岸边有一棵大树B，接着小亮沿着河边向东前进9.4米到达C处，此时这棵树恰好在其东北方向，请根据以上信息计算该河段贾鲁河的宽度，（结果保留整数．参考数据：， ，） 【答案】该河段贾鲁河的宽度约为28米 【解析】 【分析】过点作于点，设米，解直角三角形求出米，，根据，建立方程求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图所示． 由题意，可知米． 设米． 在中， ∵， ∴米． 在中， ∵， ∴． ∵， ∴， 解得． 答：该河段贾鲁河的宽度约为28米． 20. 如图，相距的两个城镇A，B之间有一个圆形的湖泊，它的圆心O恰为的中点，它的半径为．现要修建一条连接两城镇的公路，经过论证，认为为最短路线（其中均与相切）．设与的一个交点为E（点E在点O左侧）． （1）求证：点C是的中点； （2）连接，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴． ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴点是的中点； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由切线可得，进而得到，同理可得，则，即C是的中点； （2）先证明四边形是平行四边形，再过点作于点，解直角三角形得到平行四边形的高即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接． ∵， ∴． 又∵， ∴垂直平分． 又∵， ∴． ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 过点作于点， 则， ． 21. 某学校准备购进甲、乙两种品牌足球，甲种品牌足球每个的价格比乙种品牌足球每个的价格多20元．购进1个甲种品牌足球和2个乙种品牌足球共需260元． （1）甲种品牌足球和乙种品牌足球每个的价格各是多少元？ （2）该学校计划用不超过1800元的资金购进甲种品牌足球和乙种品牌足球共20个，其中甲种品牌足球的数量不低于8个，该学校购买两种品牌足球的最低费用是多少元？ 【答案】（1）甲种品牌的足球每个的价格为100元，则乙种品牌的足球每个的价格为80元； （2）该学校购买两种品牌足球的最低费用是1760元． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质、一元一次方程等知识，正确的分析，全面的掌握这些知识之间的联系是解决问题的关键． （1）设甲种品牌的足球每个的价格为元，则乙种品牌的足球每个的价格为元，根据购进1个甲种品牌足球和2个乙种品牌足球共需260元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设这所学校购买个乙种品牌的足球，则购买个甲种品牌的足球，总费用为元，根据总费用单价数量结合总费用不超过1800元，即可得出一次函数关系式，根据一次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：设甲种品牌的足球每个的价格为元，则乙种品牌的足球每个的价格为元， 根据题意得：， 解得， ， 答：甲种品牌的足球每个的价格为100元，则乙种品牌的足球每个的价格为80元； 【小问2详解】 解：设这所学校购买个甲种品牌的足球，则购买个乙种品牌的足球，总费用为元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， ，， 时，最小为：， 答：该学校购买两种品牌足球的最低费用是1760元． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当，且 时，y有最大值32，求n的值； （2）已知和是抛物线上的两点．若对于 ，都有，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将代入即可求出抛物线的对称轴，结合时，y有最大值32，可得当时，取得最大值32，建立方程求解即可； （2）根据和分两种情况讨论，再根据范围取舍即可． 【小问1详解】 解：当时，， 此时抛物线的对称轴为直线． 对于，当时，， 当时，， ∴当时，取得最大值32， ∴， 解得 （舍去），， ∴； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为直线 ， 两种情况讨论： ①当时，抛物线开口向上， ． 当时，对于 ，都有， ∴ ，解得， 当时， ∵对于 ，都有， ∴， ∴， 当时， ∵对于 ，都有， ∴， ∴， ∴当时，a的取值范围为； ②当时，抛物线开口向下， ． 由对称可知，直线关于直线对称的直线为， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上可知，的取值范围是或． 23. 综合与实践：数学实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动探究． （1）【特例感知】如图1，将矩形沿折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，折痕分别与，交于点E，F，连接，．猜想：四边形的形状是______；和的位置关系是_____． （2）【数学思考】如图2，将矩形纸片沿折叠，使点B落在点E处，连接并延长，交的延长线于点F，猜想四边形的形状，并说明理由． （3）【拓展探究】在矩形纸片中，，沿着翻折，使点B落在点E处，连接，当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）菱形； （2）四边形是平行四边形，理由如下： 如下图，设 交于点， 由折叠的性质，可知 ， 四边形是矩形， ∴ ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）由折叠性质和全等的性质，可得，得四边形是菱形；由折叠，对顶角，三角形内角和可得，可得； （2）先证，由矩形的性质，即可得答案； （3）由折叠和（2）结论可得是等腰直角三角形，分两种情况讨论，和，证明即可． 【小问1详解】 解：如下图， 由折叠可知：， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是菱形； 由折叠可知：， ， 又 ， ； 【小问2详解】 四边形是平行四边形．理由略； 【小问3详解】 由折叠的性质可知：，，， 由（2）可知，， ， ， 是直角三角形，， 若是等腰三角形，则，是等腰直角三角形， 分两种情况讨论，①如下图，当时，过点作的平行线交 的延长线于点， 可得：四边形是矩形，， 又，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 设，则 ， ， 由折叠的性质，可知， ， 解得， ； ②如下图，当时，过点作的平行线交的延长线于点， 同（1）可得， 设 ，则 ， 同（1）可得是等腰直角三角形， ， 由折叠的性质，可知， ， 解得， ∴， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科第二次调研考试试卷数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，23小题，满分120分．考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如果，下列成立的是（　　） A. B. C. D. 2. 人民日报评论，河南许昌商超胖东来坚持关注顾客需求、尊重员工价值，把事做到极致，春节假期仅营业4天，市区各店客流量便达224万人次，真正赢得消费者信赖和市场认可．将数据“224万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 跨学科试题·语文诸葛亮的《诫子书》中有“非学无以广才”，将这六个字写在一个正方体的六个面上，如图是该正方体的一种表面展开图，则原正方体中与“非”字所在的面相对的面上的汉字是（ ） A. 学 B. 广 C. 才 D. 以 4. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 5. 如图，直线a，b相交于点A，B为直线b上一点．按下列步骤画图：①分别以点A，B为圆心，相同的长为半径画弧，两弧分别交直线a，b于点C，D，E；②以点E为圆心，的长为半径画弧交前弧于点F；③作射线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将沿边向右平移得到，若，的周长为，则的周长为（ ） A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 10 7. 关于x的一元二次方程 根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 有两个相等的实数根 8. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点A、C的坐标分别为，将风车绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，D是线段上的一点，是边上的高，已知则能大致表示y与x之间函数关系的图象为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使分式有意义的x的取值范围是__________． 12. 不等式组的解集是_____． 13. 开封举办第四十二届菊花文化节，主会场龙亭公园的4幅由菊花组成的宋代名画《听琴图》《瑞鹤图》《枇杷孔雀图》《千里江山图》尤为别致．某工作人员为了解游客对这4幅名画的喜爱程度，随机对50名游客在这个景点驻足停留的时间进行了统计，并形成如下统计图，其中有两个数据被遮盖，则关于这组数据的统计量中，与被遮盖的数据无关的是______．（填“平均数”“中位数”或“众数”）． 14. 如图，与菱形的边相切于点，点，在上．若，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，在矩形纸片中，，点E，F分别在矩形的边上，将矩形纸片沿所在直线折叠，使点B落在点H处，点D 落在点G处，点C，H，G恰好在同一直线上．若点F为的三等分点，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简： （1）计算：； （2）化简：． 17. 某校为了解九年级同学的体育考试准备情况，随机抽查该年级若干名学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图．请根据图中信息回答下面的问题： （1）请补全条形统计图： （2）所调查学生测试成绩的平均数为______，中位数为______，众数为_____； （3）若该校九年级学生共有1500人，请估计该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有多少人？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴上，点A坐标为，点M是AB的中点，反比例函数的图象经过点M，交CD于点N． （1）求反比例函数的表达式； （2）若反比例函数图象上的一个动点在正方形ABCD的内部（含边界），求面积的最小值． 19. 贾鲁河发源于郑州西南山区，郑州段长137公里，流域面积2750平方公里，数学实践小组的同学在学习过锐角三角函数之后，尝试用所学的知识来测量贾鲁河的宽度．如图，小亮选取了一段两岸相互平行的河段，然后站在河的南岸A点处观察，发现在其北偏东方向的北岸岸边有一棵大树B，接着小亮沿着河边向东前进9.4米到达C处，此时这棵树恰好在其东北方向，请根据以上信息计算该河段贾鲁河的宽度，（结果保留整数．参考数据：， ，） 20. 如图，相距的两个城镇A，B之间有一个圆形的湖泊，它的圆心O恰为的中点，它的半径为．现要修建一条连接两城镇的公路，经过论证，认为为最短路线（其中均与相切）．设与的一个交点为E（点E在点O左侧）． （1）求证：点C是的中点； （2）连接，求四边形的面积． 21. 某学校准备购进甲、乙两种品牌足球，甲种品牌足球每个的价格比乙种品牌足球每个的价格多20元．购进1个甲种品牌足球和2个乙种品牌足球共需260元． （1）甲种品牌足球和乙种品牌足球每个的价格各是多少元？ （2）该学校计划用不超过1800元的资金购进甲种品牌足球和乙种品牌足球共20个，其中甲种品牌足球的数量不低于8个，该学校购买两种品牌足球的最低费用是多少元？ 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当，且 时，y有最大值32，求n的值； （2）已知和是抛物线上的两点．若对于 ，都有，求a的取值范围． 23. 综合与实践：数学实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动探究． （1）【特例感知】如图1，将矩形沿折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，折痕分别与，交于点E，F，连接，．猜想：四边形的形状是______；和的位置关系是_____． （2）【数学思考】如图2，将矩形纸片沿折叠，使点B落在点E处，连接并延长，交的延长线于点F，猜想四边形的形状，并说明理由． （3）【拓展探究】在矩形纸片中，，沿着翻折，使点B落在点E处，连接，当是等腰三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $