河北承德市高新区第一中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

**基本信息** 2025-2026学年高二数学期中试卷，涵盖导数、概率、排列组合等核心知识，以社会实践民意调查、工厂零件检测等真实情境设计问题，体现数学应用与逻辑推理，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数几何意义、导函数图像、二项式常数项、概率计算|基础巩固，如切线方程（题1）、全概率公式应用（题4）| |多选题|3/18|组合数、排列组合、函数极值|能力提升，如志愿者分配（题10）考查分类讨论| |填空题|3/15|全概率公式、二项式系数、切线与曲线交点|情境应用，如运动计划概率（题12）| |解答题|5/77|排列组合综合、二项式定理、导数应用、概率实践|创新应用，如工厂零件检测（题18）结合贝叶斯公式，导数恒成立（题17）考查逻辑推理|

2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷 一、单选题(本大题共8小题,共40分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项) 1.若函数,则的图象在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 2.已知函数的导函数的图象如图所示,则下列描述正确的是( ) A.在单调递增 B.在处取得极大值 C.在单调递增 D.在处取得最大值 3.二项式的展开式中,常数项为( ) A.40 B.80 C.90 D.100 4.某次社会实践活动中,甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3,其中甲班女生占,乙班女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是男生的概率为( ) A. B. C. D. 5.从0,1,2,3,4这五个数中随机选取4个不同的数,组成的四位偶数有( )个 A.36 B.48 C.60 D.68 6.若函数在定义域内有两个不同的零点,则实数的取值范围( ) A. B. C. D. 7.若函数在上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.已知盒子中有9个大小相同、质地均匀的球,其中有5个红球、4个白球,有两种取球方式:①不放回地取球两次,第一次任取1个球,第二次任取2个球,设第二次取到2个红球的概率为;②一次性任取2个球,设取到2个红球的概率为,则( ) A. B. C. D. 二、多选题(本大题共3小题,共18分。在每小题有多项符合题目要求) 9.已知,则m的值可以为( ) A.1 B.5 C.7 D.8 10.甲､乙､丙､丁､戊共5位志愿者被安排到,,,四所山区学校参加支教活动,要求每所学校至少安排一位志愿者,且每位志愿者只能到一所学校支教,则下列结论正确的是( ) A.不同的安排方法共有种 B.甲志愿者被安排到学校的概率是 C.若学校安排两名志愿者,则不同的安排方法共有60种 D.在甲志愿者被安排到学校支教的前提下,学校有两名志愿者的概率是 11.函数,则下列说法正确的有( ) A.若,则 B.若,则函数的极大值点为 C.当时,函数有2个零点 D.当时,函数在上的取值范围是 三、填空题(本大题共3小题,共15分) 12.小杨同学每天的运动计划主要是两种方式:室内健身和户外运动.第一天选择室内健身的概率为,选择户外运动的概率为.若第一天选择室内健身,则第二天继续选择室内健身的概率为;若第一天选择户外运动,则第二天选择室内健身的概率为.小杨同学第二天去室内健身的概率为_;若第二天去了室内健身,则第一天去户外运动的概率为_. 13.已知,则_. 14.已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点,则的值为_. 四、解答题(本大题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.本小题13分(1)用0,1,3,6,8这5个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数?(用数字作答) (2)用0,1,3,6,8这5个数字可以组成多少个没有重复数字且大于30000的五位数?(用数字作答) (3)用0,1,3,6,8这5个数字可以组成多少个没有重复数字的五位偶数?(用数字作答) 16.本小题15分已知的展开式中各二项式系数的和为32. (1)求的值,并求展开式中二项式系数最大的项; (2)展开式中是否有常数项?若有,请求出该项;若没有,请说明理由; (3)求展开式中各项系数的和. 17.本小题15分已知函数. (1)求函数的导函数; (2)求的极值; (3)若对于任意,不等式恒成立,求实数的取值范围. 18.本小题17分某工厂生产一种零件,该零件的质量分为三个等级:一等品、二等品和次品.根据历史数据,该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7,0.2和0.1.现对一批刚生产出来的零件进行质量检测,检测方式分为两种:自动检测和人工抽检,自动检测能将一等品全部正确识别,但有5%的概率将二等品误判为次品,有15%的概率将二等品误判为一等品,也有10%的概率将次品误判为二等品. (1)求自动检测判断零件为次品的概率. (2)求在自动检测下,一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率. (3)假设零件先经过自动检测,若判断为一等品,则进行人工抽检;若判断为二等品或次品,则直接淘汰.求人工抽检一个零件,该零件恰好是一等品的概率. 19.本小题17分已知函数. (1)若是函数的极值点,求a的取值; (2)讨论的单调区间; (3)设,若对任意,均存在,使得,求a的取值范围.