期末备考07解三角形中的中线问题训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦解三角形中线问题，通过教材回归与分层题型系统提炼多种解题方法，构建从概念推导到综合应用的知识逻辑，培养数学推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |回归教材|3道（含5种方法典例）|多方法求解（余弦定理、向量法等）|从教材习题推导中线公式，夯实基础| |知识梳理|15题（含3种方法解答题）|综合应用（长度/面积计算、形状判断）|迁移公式解决各类问题，形成完整应用链|

永年二中高一数学必修二解三角形期末备考07 测试范围：解三角形中的中线问题 【回归教材】 【人教A版必修二习题6.4第12题】如图，在中，已知，BC，AC边上的两条中线AM，BM相交于点P，求的余弦值.（五种方法求解） 【人教A版必修二习题6.4第15题】的三边分别为a，b，c，边BC，CA，AB上的中线分别记为，利用余弦定理证明：，， 【人教B版必修四03复习题B组第6题】在中，为上的中点，已知. 试判断的形状。 【知识梳理】 一、单选题 1．在中，已知是边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，角的对边分别为是边上的中点，则中线的长等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若边上的中线，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．已知的内角的对边分别为，若，则中线的长为（ ） A． B． C． D． 5．在中，，，边上的中线，则的面积S为(    ) A． B． C． D． 6．如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则（    ） A． B． C． D． 7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若边上的中线，则的外接圆面积是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．的内角的对边分别为，且，，若边的中线，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．的面积为 9．在中，，，，点在边上，平分，为边上的中线，则（    ） A． B． C． D．外接圆的半径为 三、填空题 10．已知中，，，为边上的中线，若，则_________. 11．在中，是边上的中线，且，的面积为，则__________，__________. 四、解答题 12．如图，在三角形中，已知边上的两条中线相交于点，用三种方法求。 13．如图，在△ABC中，CA=2，CB=1，CD是AB边上的中线. （1）求证：. （2）若，求AB的长. 14．在中，为中点，. (1)当，时，求的长； (2)当，时，求的面积. 15．在中，，且边上的中线长为1． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二解三角形期末备考07 测试范围：解三角形中的中线问题 【回归教材】 【人教A版必修二习题6.4第12题】如图，在中，已知，BC，AC边上的两条中线AM，BM相交于点P，求的余弦值.（五种方法求解） 【答案】 【分析】法一：即为与的夹角，先用将与表示出来，求出以及，，代入公式即可． 法二：先求三角形中线，的长度，根据三角形重心的性质求得，，在中，利用余弦定理求的余弦，即为所求结果. 法四：利用向量夹角公式求解. 法五：由余弦定理求解，进而结合余弦定理和三角形重心性质建立关于的关系式求解即可. 【详解】法一：∵M，N分别是BC，AC的中点，. 与的夹角等于. ， ， ，． 【点睛】求三角形内角的余弦值，可以建立平面直角坐标系求出点坐标，进而求出三角形对应边长，利用解三角形的余弦定理求出角的余弦值. 法二：因为，，. 因为 . 由为的重心，所以，. 在中，由余弦定理，得：. 【点睛】熟悉三角形重心得性质是解决问题得关键. 法三：以点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， ，点的坐标为，过点作于点， 在中，，，，点的坐标为，是中点，点的坐标为， 是中点，点的坐标为，设直线的解析式为，将点的坐标为代入， ，解得，直线，设直线的解析式为，将点，的坐标代入，得，解得，直线，联立直线与直线方程组得，解得，即点的坐标为，根据两点间距离公式：，，， 根据余弦定理可得：，，解得. 法四：由是的中点，得， ， 所以的余弦值为. 法五：如图所示，是中点，所以，在中，已知， 由余弦定理得故. 由重心性质得：，又分别是中点，由中位线性质得.在中，由余弦定理：， 代入数值计算，， 所以. 【人教A版必修二习题6.4第15题】的三边分别为a，b，c，边BC，CA，AB上的中线分别记为，利用余弦定理证明：，， 【分析】将余弦定理代入整理即可，同理可以证明其余两式. 【详解】证明：根据余弦定理得， 所以， 所以，同理可得，. 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，是基础题． 【人教B版必修四03复习题B组第6题】在中，为上的中点，已知. 试判断的形状。 【答案】等腰三角形或直角三角形 【分析】应用正弦定理化简得出，最后再应用二倍角正弦公式结合角的范围判断求解； 【详解】由题，设，，则，，在中，由正弦定理可得，所以，   在中，由正弦定理可得，所以， 又， 所以，所以，即， 又，， 所以或，即或，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形。 【知识梳理】 一、单选题 1．在中，已知是边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两次余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理得：， 再由余弦定理得：，则， 2．在中，角的对边分别为是边上的中点，则中线的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理得，然后利用中线的向量表示得，利用数量积的运算律及模的运算公式求解的长即可. 【详解】由余弦定理得，解得（负根已舍去），因为是边上的中点即，所以，所以.故选：D 3．如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若边上的中线，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在和中，利用余弦定理建立方程，求解即可. 【详解】在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 相加得，又，解得，故选：A 4．已知的内角的对边分别为，若，则中线的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理求出角，结合图形写出中线向量的表达式，由向量数量积的运算律，代入即可求得中线的长度. 【详解】在中,由余弦定理，， 则.因点是的中点，则， 两边平方得 ， 故. 5．在中，，，边上的中线，则的面积S为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长到点使，连接，根据可得面积等于的面积，利用余弦定理求出，再求出sin∠ACE，根据三角形面积公式即可求得答案． 【详解】如图所示， 延长到点使，连接，又∵，∴(SAS)， ∴的面积等于的面积． 在中，由余弦定理得，又， 则，∴．故选：C． 6．如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求得的余弦值. 【详解】在中，，由余弦定理得， 则，为直角三角形，且，以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系：则，， 所以. 7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若边上的中线，则的外接圆面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理求出，再利用平方后可求得即，从而利用余弦定理求得，结合正弦定理可求得外接圆半径，由此得解. 【详解】因为，所以，又，所以，又是中点， 所以，又，所以， 即，解得（负值舍去）， 所以，则，所以，即， 所以的外接圆面积为，故选：A. 二、多选题 8．的内角的对边分别为，且，，若边的中线，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．的面积为 【答案】ACD 【分析】根据正弦定理化简，结合和角的正弦公式，即可判断A、B选项，用平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的定义和运算律，即可判断C选项，用三角形面积公式，即可判断D选项. 【详解】根据正弦定理，由可得， 即，因为，所以，所以，所以，所以A正确，B错误；因为为边的中线，所以，两边同时平方可得，因为，所以，即，解得或（舍去），所以，所以C正确；，所以D正确.故选：ACD 9．在中，，，，点在边上，平分，为边上的中线，则（    ） A． B． C． D．外接圆的半径为 【答案】ABD 【分析】对于A，在中，利用余弦定理可以解出的长度；对于B，先在中由余弦定理求出，然后在中，用余弦定理得到；对于C，同角基本关系式求出，然后在中依次求出和；对于D，正弦定理求出，得到答案. 【详解】对于A，由余弦定理 可得，，A正确； 对于B，易知，在中，， 在中，再根据余弦定理，，B正确；对于C，由B知， 所以，在中，， 即，解得，C错误;对于D，由正弦定理（为外接圆半径）， 得，，D正确故选：ABD 三、填空题 10．已知中，，，为边上的中线，若，则_________. 【答案】9 【分析】由，利用向量数量积的运算求得，由余弦定理即可求得. 【详解】设，为边上的中线，有， 故可得，代值可得，解得. 由余弦定理可得. 11．在中，是边上的中线，且，的面积为，则__________，__________. 【答案】 2 【分析】根据三角形的面积公式和余弦定理进行求解. 【详解】因为是边上的中线，所以，又，所以， 所以，所以，所以， 所以，即，所以， 四、解答题 12．如图，在三角形中，已知边上的两条中线相交于点，用三种方法求。 【答案】 【分析】方法1，将作为与的夹角，利用向量知识结合题目数据可得答案； 方法2，如图建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积坐标表示完成运算； 方法3，利用余弦定理计算可得答案. 【详解】法一：分别是的中点，. 与的夹角等于， ， ，则； 法二：以为轴，过点作与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系， 则， 则； 法三：在中，由余弦定理，又因为P为的重心，则，在中再由余弦定理， 在中由余弦定理， 在中，由余弦定理，则. 13．如图，在△ABC中，CA=2，CB=1，CD是AB边上的中线. （1）求证：. （2）若，求AB的长. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】（1）用正弦定理，在△DBC中，表示出与关系，在△ACD中，表示出与关系，再利用与互补，即可证明结论； （1）结合（1）结论，可得和，利用余弦定理，即可求解. 【详解】（1）证明；在△DBC中，由正弦定理得， 在△ACD中，由正弦定理得， 即，. ∵，又∵CD是AB边上的中线且AC=2，BC=1，∴. （2）∵∠ACD=30°，由（1）知，∴∠BCD=90°，∴∠ACB=120°. 由余弦定理得. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在三角形中的应用，属于中档题. 14．在中，为中点，. (1)当，时，求的长； (2)当，时，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）在和中，依次利用余弦定理即可求得； （2）延长到点，使得，在中，利用正弦定理可求得，即可得到，利用三角形面积公式可求得结果. 【详解】（1）为中点，， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：，. （2）延长到点，使得，连接， ，，四边形为平行四边形，，， ，， ， 在中，由正弦定理得：， ；即，又， 15．在中，，且边上的中线长为1． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1)；(2)2 【分析】（1）由题意，根据余弦定理建立方程，可得答案. （2）由题意，利用正弦定理表示出边与角之间的等量关系，结合余弦定理建立方程，可得答案. 【详解】（1）设，则， 在中，，在中，， 在中，为中线，则，， 则，化简可得，由， 则，解得，所以. （2）由题可知， 设，则， 在中，由正弦定理得，即， 在中，由正弦定理得，即， 所以，则，① 在和中，出余弦定理得 ，所以，② 在中，由余弦定理得， 即，即，③，将代入得，④ 由①④得，即，即，即， 即，因为，所以，则，所以．故的长为2． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $