1.2《菱形的性质与判定》第2课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦菱形的判定，以校园制作菱形宣传牌验收为情境导入，从菱形定义和性质出发，通过逆命题猜想与证明构建判定定理，搭建从性质到判定的认知支架。 其亮点在于以真实问题驱动学习，通过“性质-逆命题-猜想-证明-定理”过程发展推理意识，结合尺规作图、折纸活动培养几何直观，用表格对比判定条件助理解。学生提升逻辑推理与应用能力，教师可依托情境和活动优化教学。

第一章 特殊的平行四边形 第2课 菱形的性质与判定 新版北师大数学九年级上册数学 第2课时 菱形的判定 学习目标 1.通过对菱形性质的逆命题探究与动手操作活动,经历菱形判定定理的猜想、推理与证明过程,掌握菱形的三种判定方法,能准确区分不同判定方法的前提条件. 2.通过对菱形判定定理的辨析、例题解析与变式练习,能规范运用菱形的判定方法完成几何证明与计算,发展逻辑推理能力与几何直观核心素养. 3.通过运用菱形判定方法解决校园建设等生活实际问题,感受数学与现实生活的紧密联系,体会几何图形的应用价值. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 为打造书香校园,学校要制作一批菱形励志宣传牌,木工师傅完成四边形框架后,需要我们作为验收员完成标准核验. 除了用“一组邻边相等的平行四边形是菱形” 的定义核验,还有哪些简洁、可落地操作的判定方法？如何用这些方法设计一套可执行的验收方案,确保宣传牌是标准的菱形？ 问题构建 问题1：我们之前已经学习了菱形的定义和性质,谁能说说什么是菱形？菱形有哪些核心性质？结合图形描述. 定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 核心性质： 边:四条边都相等,对边平行且相等； 对角线:互相垂直平分,且每条对角线平分一组对角； 对称性:既是轴对称图形,也是中心对称图形. 问题2:根据菱形的定义,要验收宣传牌是菱形,需要分几步核验？分别核验什么？ 分两步: 第一步,核验四边形是平行四边形； 第二步,核验这个平行四边形有一组邻边相等. 问题构建 问题3：实际验收中,用定义法需要两步核验,有没有更简洁、可操作的判定方法？这就是我们本节课要解决的核心问题. 除了定义之外，还可以如何判定一个四边形是菱形 问题4:我们之前探究平行四边形的判定时,用了什么研究方法？ 先写出平行四边形性质的逆命题,再证明逆命题为真命题,最终得到判定定理 追问1::类比这个方法,我们从菱形的性质出发,写出对应逆命题,你能提出哪些菱形判定的猜想？ 问题构建 对角线互相垂直的四边形是菱形,是错误猜想,举反例:筝形 1.对应“菱形四条边都相等” 逆命题:四条边都相等的四边形是菱形 对应猜想:四条边相等的四边形是菱形 2.对应“菱形的对角线互相垂直” 逆命题:对角线互相垂直的四边形是菱形 对应猜想:对角线互相垂直的四边形是菱形 追问2:对于以上两个命题的真假，有没有可以提前判断结论的？你能画出图形吗？ 问题构建 追问3:请你结合菱形的定义,证明第一个猜想:四条边相等的四边形是菱形 已知:四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求证:四边形ABCD是菱形 证明： ∵AB=CD，BC=DA ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 又∵AB=BC ∴平行四边形ABCD是菱形（菱形的定义） 定理 四条边相等的四边形是菱形 问题构建 追问4:刚才命题2的猜想已证实为假命题，如何修改条件可能变成真命题？ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且AC⊥BD,求证: 平行四边形ABCD是菱形 证明∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC,OB=OD ∵AC⊥BD ∴∠AOB=∠AOD=90° 在△AOB和△AOD中： OA=OA,OB=OD,∠AOB=∠AOD=90° ∴△AOB≌△AOD（HL） ∴AB=AD（全等三角形对应边相等） ∴平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形） 你还有别的证明方法吗？ 问题构建 追问5:现在我们得到了菱形的三种判定方法,它们的前提条件有什么不同？ 判定方法 前提 补充条件 定义法 平行四边形 一组邻边相等 定理1 四边形 四条边都相等 定理2 平行四边形 对角线互相垂直 判断下列说法是否正确,说明理由： （1）对角线互相垂直的四边形是菱形； （2）有一组邻边相等的四边形是菱形； （3）对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 协作破冰 (1)尺规作图:已知线段a,作菱形ABCD,使其对角线AC=a 作线段AC的垂直平分线MN，在直线MN上任取关于AC对称的两点都是正确的作图. 协作破冰 (2)满足(1)中条件的菱形是否唯一？若不唯一,添加什么条件可使其唯一？ 不唯一 因为只要保持对角线AC=a不变,且另一条对角线BD与AC垂直平分,但BD的长度可以任意取（只要不为0）,就能构造出无数个不同的菱形. ①添加另一条对角线BD的长度（如:BD=b,b>0） →此时两条对角线长度和位置完全确定,菱形形状和大小唯一. ②添加一个内角的度数（如:∠ABC= 60°） →由对角线AC=a和角度,可唯一确定菱形. ③添加边长（如:AB=c） →结合AC=a与菱形性质（对角线互相垂直平分）,可通过勾股定理确定另一条对角线长度,从而唯一确定菱形. 教师示范 例2 已知:如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=,OA=2,OB=1,求证:▱ABCD是菱形 证明：在△AOB中， ∵AB=，OA=2，OB=1， ∴ AB²=OA²+OB² ∴ △AOB是直角三角形，∠AOB 是直角 ∴ AC⊥BD ∴ ▱ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形） 教师示范 问题5:回到宣传牌验收情景,给你一把卷尺,你能用几种方法核验宣传牌是菱形？分别对应哪个判定方法？ 方法1:直接测量四条边的长度,若四条边完全相等,根“四条边相等的四边形是菱形” 直接判定,操作最简便； 方法2:先测量两组对边,若两组对边分别相等,证明是平行四边形；再测量一组邻边，若邻边相等,用定义法判定； 方法3:先测量两组对边,证明是平行四边形；再测量两条对角线分成的4段长度,用勾股定理验证邻边与两段对角线是否满足直角三角形关系,证明对角线垂直,用定理2判定. 巩固拓展 如图,你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形,使∠A为菱形的一个内角吗？写出你的折纸步骤,画出图形,并说明你的方法的正确性. 判定方法：四条边相等的四边形是菱形 当堂检测 1.下列条件中,能判定一个四边形是菱形的是（ ）A.对角线互相平分的四边形 B.对角线互相垂直且相等的四边形 C.有一组邻边相等的四边形 D.四条边都相等的四边形 D 解析：A选项,对角线互相平分的四边形是平行四边形,不一定是菱形；B选项,对角线互相垂直且相等的四边形无法证明是平行四边形，如对角线垂直且相等的等腰梯形,不是菱形；C选项,仅有一组邻边相等的四边形无法证明是平行四边形,不满足菱形判定要求；D选项符合菱形的判定定理. 当堂检测 2.在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,添加一个条件：__________，可使平行四边形ABCD成为菱形（填一个符合要求的条件即可） 答案：AC⊥BD（或 AB=BC、BC=CD、CD=DA、DA=AB） 解析：根据菱形的判定定理,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,有一组邻边相等的平行四边形是菱形,填写任意一个符合要求的条件即可 当堂检测 3.已知：如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD=BC,求证：四边形ABCD是菱形. 证明: ∵AB∥CD,AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 又∵CD=BC, 即平行四边形ABCD有一组邻边相等 ∴平行四边形ABCD是菱形（菱形的定义）. 当堂检测 4.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC交于点E、O、F,求证：四边形AECF是菱形 证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC ∴∠EAO=∠FCO ∵EF是AC的垂直平分线 ∴OA=OC,∠AOE=∠COF=90° 在△AOE和△COF中 ∠EAO=∠FCO，OA=OC，∠AOE=∠COF​ ∴△AOE≌△COF（ASA） ∴OE=OF 又∵OA=OC ∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） 又∵EF⊥AC， ∴平行四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形） 反思总结 1.本节课我们学习了菱形的哪几种判定方法？它们的前提条件有什么区别与内在联系？ 2.我们是如何从菱形的性质出发,类比平行四边形的探究路径，得到菱形判定定理的？这个“性质-逆命题-猜想-证明-定理” 的探究过程,对后续研究特殊平行四边形有什么启发？ 3.运用菱形的判定方法解决实际工程、生活问题时,需要注意哪些核心要点？如何根据现有工具选择最优的判定方法？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第8页 第1，2题 二、素养类作业 课本第10页 第9题(开放探究) 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $