1.3《矩形的性质与判定》第1课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦矩形的特殊性质及直角三角形斜边上的中线定理，通过“新时代好少年”宣传展板情境导入，先回顾平行四边形边、角、对角线及对称性等共性性质，再结合矩形“有一个内角为直角”的定义，引导学生聚焦角和对角线维度探究特殊性质，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以情境驱动探究，用数学眼光观察生活（如展板制作问题），通过测量、折叠等操作猜想矩形对角线相等，经严谨证明形成定理，进而推导直角三角形斜边中线定理，体现数学思维的逻辑性。教师示范对比中点、中位线等知识，帮助学生构建知识网络，学生在解决加固条长度等实际问题中提升应用意识，教师可依托结构化流程高效教学。

第一章 特殊的平行四边形 第3课 矩形的性质与判定 新版北师大数学九年级上册数学 第1课时 矩形的性质 学习目标 1.通过对“新时代好少年”矩形宣传展板的观察、对比平行四边形的已有性质,猜想并证明矩形的特殊性质,能准确表述矩形的核心性质定理. 2.通过对矩形沿对角线剪开后的直角三角形的探究,推导并证明 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理,能梳理该定理与矩形性质的内在关联. 3.通过运用矩形性质解决宣传展板制作的实际问题,体会“生活- 数学-生活”的应用逻辑，增强数学应用意识，在探究证明中培养严谨的逻辑推理能力. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 学校德育处要制作一批“新时代好少年” 事迹宣传展板,展板轮廓要求是规范的矩形。木工师傅说“只要测量两组对边分别相等，就能做出平行四边形的展板”,这个说法对吗？只靠这个条件,能保证做出的是规范的矩形吗？ 矩形作为特殊的平行四边形,相比普通平行四边形具有哪些独有的特殊性质？我们如何运用这些特殊性质,规范、精准地完成“新时代好少年”宣传展板的设计、制作. 问题构建 问题1:我们之前学习了平行四边形的性质,谁能说说平行四边形在边、角、对角线、对称性四个维度,分别有哪些共性性质？ 边:对边平行且相等；角:对角相等、邻角互补； 对角线:互相平分；对称性:中心对称图形. 问题2:矩形是特殊的平行四边形,它的定义是什么？特殊的核心点在哪里？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；核心特殊点是“有一个内角为直角” 问题构建 问题3:结合平行四边形的共性和矩形的定义,我们本节课只研究矩形与平行四边形不同的性质,应该聚焦在哪些维度？为什么？ 聚焦角、对角线两个维度.因为平行四边形已具备对边平行且相等的性质,矩形的“直角”特性,只会带来角和对角线的独有变化，边的性质无特殊差异. 追问:观察下面两幅图,当平行四边形ABCD中∠B逐渐增大到90°时,其他几个角等于多少度？你是怎样得出来的？ 平行四边形：对角相等，邻角互补 若∠A=90°，则∠B=∠C=∠D=90° 猜想：矩形的四个角都是直角 问题构建 要证明“矩形的四个角都是直角”,已知条件是什么？请写出已知、求证，并完成完整证明过程. 已知：四边形ABCD是矩形,∠ABC=90° 求证：∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° 证明:∵四边形ABCD是矩形 ∴AB∥CD,∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB（平行四边形对边平行、对角相等）∴∠ABC+∠BCD=180° ∵∠ABC=90°， ∴∠BCD=90° ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° 定理 矩形的四个角都是直角 问题构建 问题4:继续观察矩形的两条对角线,结合平行四边形“对角线互相平分” 的共性,你有什么新的、独有的猜想？如何验证你的猜想？ 经过动手测量，发现AC和BD长度始终相等 沿其中一条对称轴折叠矩形，发现OC和OD，OA和OB完全重合，得出OC=OD，即AC始终等于BD 猜想:矩形的对角线相等 问题构建 要证明“矩形的对角线相等”,我们通常用什么方法证明两条线段相等？请写出已知、求证，完成证明. 已知:四边形ABCD是矩形,对角线AC、BD交于点O,求证:AC=BD 证明： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠ABC=∠DCB=90° 又∵BC=CB ∴△ABC≌△DCB（SAS） ∴AC=BD 定理 矩形的对角线相等 请用一句话总结矩形区别于普通平行四边形的2条核心性质定理 问题构建 我们把矩形展板沿对角线剪开,会得到两个完全相同的直角三角形,从矩形对角线的性质中,我们能发现直角三角形的什么特殊规律？ 点O是BD的中点,AO是Rt△ABD斜边BD上的中线 问题5:将矩形ABCD沿对角线BD剪开,得到 Rt△ABD,原矩形对角线的交点O,在Rt△ABD 中是什么位置？AO是Rt△ABD的什么线段？ 协作破冰 追问1:结合矩形对角线的性质,你能发现AO和斜边BD之间有什么数量关系？写出你的猜想 猜想:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 追问2:请结合矩形的性质,完成这个猜想的严谨证明. 怎么做？ 协作破冰 已知:Rt△ABD中,∠BAD=90°,AO是斜边BD的中线,求证:AO=BD 证明:延长AO至C,使AO=OC,连接CD、BC ∵AO=CO，OD=BO， ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵∠BAD=90° ∴平行四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD， ∵AO=AC ∴AO=BD 定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 教师示范 问题6:回顾我们曾经学习过的几何相关知识,有哪些出现了一半的数量关系？它们有什么区别与联系？ 维度 线段的中点 三角形的中位线 30°角所对直角边等于斜边的一半 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 定义/内容 被平分线段等于原线段一半 中位线等于第三边的一半 30°所对直角边等于斜边一半 斜边上的中线等于斜边一半 核心要素 平分线段 双中点 含30°的直角三角形 直角三角形 结论 相等关系、一半关系，二倍关系 数量+位置 直角边、斜边的关系 中线、斜边的关系 典型应用场景 线段的中点 三角形背景 含30°的图形都可以构造后使用 直角三角形 教师示范 例1 如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5,求这个矩形对角线的长. 解:∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°（矩形的四个角都是直角） AC=BD（矩形的对角线相等） OA=OC=​AC,OB=OD=​BD（矩形的对角线互相平分） ∴OA=OD ∵∠AOD=120°， ∴∠ODA=∠OAD = ​(180°−120°)=30° ∴BD=2AB=2×2.5=5 巩固拓展 现在我们用学到的矩形性质,解决宣传展板制作中的实际问题 问题7:木工师傅要保证做好的平行四边形展板是规范的矩形,只需要测量哪一个条件即可？ 只需要测量一个角是否为直角,或测量两条对角线是否相等 问题8:展板制作完成后,要在对角线位置加装加固条,已知展板长4m、宽3m,求每条加固条的长度,以及对角线中点固定件到每个顶点的距离? 加固条长度5m；固定件到顶点的距离=5÷2=2.5m（矩形对角线平分且相等,或直角三角形斜边中线定理） 规范的矩形需要严谨的性质作为准则,我们的成长也需要正向的目标作为标杆,就像“新时代好少年”的榜样力量,指引我们严谨做事、向上向善. 当堂检测 1.下列性质中,矩形具有但普通平行四边形不具有的是（ ） A.对边平行且相等 B.对角相等 C.对角线互相平分 D.对角线相等 解析：A、B、C 均为平行四边形的共性性质,只有D是矩形独有的特殊性质. D 当堂检测 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,斜边AB=8cm,则斜边上的中线CD的长为______cm. 4 解析：根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,可得CD=AB=4cm. 当堂检测 3.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=6,OA=4,求BD与AD的长. 解:∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD,OA=OC=AC,∠BAD=90° ∵OA=4 ∴AC=2OA=8, ∴BD=AC=8 在Rt△ABD中,由勾股定理得： AD= 答:BD的长为8,AD的长为. 当堂检测 4.学校矩形“读书角”的长为120cm,宽为 90cm,要在对角线位置安装防护条,同时在两条对角线的交点处安装置物架.请计算： （1）每条防护条的长度是多少？（2）置物架到矩形每个顶点的距离是多少？ 解:（1）∵四边形是矩形 ∴四个角均为直角由勾股定理得, 对角线长度==150cm ∴每条防护条的长度为150cm （2）∵矩形的对角线相等且互相平分 ∴对角线交点到每个顶点的距离=150÷2=75cm 答：置物架到矩形每个顶点的距离为75cm. 反思总结 1.本节课我们探究了矩形区别于平行四边形的特殊性质,你能精准梳理出这些性质,并说说它们的核心证明思路吗？ 2.我们是如何从矩形的性质中,推导出直角三角形斜边上中线的相关定理的？这个定理的适用条件和核心应用价值是什么？ 3.结合本节课的学习,你能说说运用矩形性质解决生活实际问题的关键是什么？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第13页 第1题 二、素养类作业 课本第15页 第6题(逆定理的探究) 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $