6.1.1 构成空间几何体的基本元素+6.1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦空间几何体的基本元素（点、线、面）及棱柱、棱锥、棱台的结构特征，通过“射线旋转轨迹”“课桌轮廓找元素”等问题导入，搭建从平面几何到立体几何的认知支架，衔接直观观察与抽象概念。 其亮点在于以问题链驱动探究，如通过图片分类辨析多面体与旋转体培养数学眼光，结合例1定义辨析、例3侧面展开转化问题发展数学思维与语言。采用自主预习与合作探究结合的方式，帮助学生构建空间观念，教师可依托实例突破教学难点。

§1　基本立体图形 1.1　构成空间几何体的基本元素 1.2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 自主预习·新知导学 一、构成空间几何体的基本元素 【问题思考】 1.射线绕其端点旋转一周的轨迹是什么? 提示:水平放置的射线绕其端点在水平面内旋转一周,可形成平面.其他情况,可形成曲面. 2.如图6-1-1,该几何体是某同学课桌的大致轮廓,请你从这个几何体里面寻找一些点、线、面,并将它们列举出来. 图6-1-1 提示:面可以列举如下: 平面A1A2B2B1,平面A1A2D2D1,平面C1C2D2D1,平面B1B2C2C1,平面A1B1C1D1,平面A2B2C2D2; 线可以列举如下: 直线AA1,直线BB1,直线CC1,直线DD1,直线A2B2,直线C2D2等; 点可以列举如下: 点A,点A1,点B,点B1,点C,点C1,点D,点D1,点A2,点B2,点C2,点D2. 3.(1)长方体由六个面围成,每个面都是矩形(包括它的内部);相邻两个面的公共边,叫作长方体的棱;棱和棱的公共点,叫作长方体的顶点. (2)长方体有6个面,12条棱,8个顶点. (3)点、线、面是构成几何体的基本元素. (4)平面是空间最基本的图形.在立体几何中,平面是无限延展的,一般地,用平行四边形表示平面. 当平面水平放置时,通常把平行四边形的锐角画成45°,横边长画成邻边长的两倍. 平面通常用希腊字母α,β,γ等来表示,如平面α、平面β、平面γ等;也可以用表示平行四边形顶点的字母表示,如平面ABCD,还可以用表示平行四边形顶点的两个相对顶点的字母表示,如平面AC. 4.正方体有6个面,12条棱,8个顶点,且它的棱长均相等. 二、棱柱、棱锥、棱台 【问题思考】 1.如图6-1-2,观察下列图片,你知道这些图片在几何中分别叫什么名称吗?将这些几何体进行适当分类,你认为可以分成哪几种类型? 图6-1-2 提示:①⑧为圆柱;②为长方体;③⑥为圆锥;④⑩为圆台;⑤⑦⑨为棱柱;⑪ 、⑫为球;⑬、⑯为棱台;⑭、⑮为棱锥. 可以分成七类.分别是棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球. 2.观察问题1中图②⑤⑦⑨⑬⑭⑮⑯中组成几何体的每个面的特点,以及面与面之间的关系,你能归纳出它们有何共同特点吗? 提示:组成几何体的每个面都是平面图形,并且都是平面多边形. 3.观察问题1中图①③④⑥⑧⑩⑪⑫中组成几何体的每个面都有何共同特点? 提示:组成它们的面不全是平面图形,有的是曲面. 4.表6-1-1 分类 定义 图形及表示 相关概念 棱柱 每个多面体都有两个面是边数相同的多边形,且它们所在平面平行;其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行.像这样的几何体称为棱柱.侧面平行四边形都是矩形的棱柱称为直棱柱,其他的棱柱称为斜棱柱.底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱.底面是平行四边形的棱柱称为平行六面体 如图,可记作:棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1或棱柱AC1   底面(底):两个互相平行的面, 侧面:其余各面, 侧棱:相邻侧面的公共边, 顶点:侧面与底面的公共顶点, 对角线:既不在同一底面上也不在同一个侧面上的两个顶点的连线, 高:过上底面上一点作下底面的垂线,这点和垂足间的距离 分类 定义 图形及表示 相关概念 棱锥 多面体均由平面图形围成,其中一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体称为棱锥.三棱锥也叫作四面体.如果棱锥的底面是正多边形,且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上,那么这个棱锥称为正棱锥 如图,可记作:棱锥S-ABCDEF或棱锥S-AC   底面(底): 多边形ABCDEF , 侧面:其余各面, 侧棱:相邻两个侧面的 公共边, 顶点:各个侧面的公共点, 高:顶点到底面的距离, 斜高:正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形,这些等腰三角形底边上的高 分类 定义 图形及表示 相关概念 棱台 用一个平行于底面的平面去截棱锥,截面与底面之间的部分称为棱台.由正棱锥截得的棱台称为正棱台 如图,可记作:棱台ABC-A1B1C1   上底面:截面, 下底面:原棱锥的底面, 侧面:其余各面, 侧棱:相邻两个侧面的公共边, 高:上底面、下底面之间的距离 斜高:正棱台各侧面都是全等的等腰梯形,这些等腰梯形的高 5.(1)棱柱的性质: ①侧棱都相等; ②两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形; ③过不相邻两条侧棱的截面都是平行四边形. (2)棱锥的性质: 如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么截面和底面相似. 6.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为　　　　　cm.  解析:因为棱柱有10个顶点,所以该棱柱为五棱柱,共有5条侧棱,所以每条侧棱长为 =12(cm). 答案:12 合作探究·释疑解惑 探究一 探究二 探究三 探究一 棱柱的结构特征 【例1】 下列说法中,正确的是(　　). A.有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面 C.棱柱的侧面是平行四边形,而底面不是平行四边形 D.棱柱的侧棱都相等,侧面是平行四边形 解析:由棱柱的定义可知,只有D正确,分别构造图形如答图6-1-1,答图6-1-2,答图6-1-3. 答图6-1-1中平面ABCD与平面A1B1C1D1平行,其余各面是四边形,但它不是棱柱,故A错误;答图6-1-2中正六棱柱的相对侧面ABB1A1与EDD1E1平行,但不是棱柱的底面,故B错误;答图6-1-3中四棱柱的底面ABCD是平行四边形,故C错误. 答案:D 答图6-1-1 答图6-1-2 答图6-1-3 反思感悟 棱柱结构特征问题的解题策略 (1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义: ①两个面互相平行; ②其余各面都是平行四边形; ③相邻两个平行四边形的公共边互相平行. 求解时,首先看是否有两个面平行,再看是否满足其他特征. (2)多注意观察一些实物模型和图片,便于举反例排除. 探究二 棱锥、棱台的结构特征 【例2】 给出下列命题: ①棱锥的侧面为三角形,且所有侧面都有一个公共顶点; ②多面体至少有四个面; ③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点. 其中,错误的个数是(　　). A.0 B.1 C.2 D.3 解析:①显然是正确的; 对于②,显然一个图形要成为空间几何体,则它至少需有四个顶点,因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形,当有四个顶点时,易知它可以围成四个面,因而一个多面体至少应有四个面,而且这样的面必是三角形,故②是正确的; 对于③,棱台的侧棱所在的直线就是原棱锥的侧棱所在的直线,而棱锥的侧棱都有一个公共的点,即棱锥的顶点,于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点,故③是正确的. 答案:A 反思感悟 判断一个几何体是棱锥、棱台的方法主要有以下两种. (1)举反例法: 结合棱锥、棱台的定义举反例. (2)直接法: 方法  棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形,此面为底面 两个互相平行的面,为上底面和下底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 探究三 立体图形的展开问题 【例3】 如图6-1-3,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3, AA1=4.M为AA1的中点,P是BC上一点,且由点P沿棱柱 侧面经过棱CC1到点M的最短路线长为 , 设这条最短路线与CC1的交点为N.求点P的 位置. 分析:把三棱柱的侧面展开后放在平面上, 通过列方程来求出点P到点C的距离,即确 定了点P的位置. 图6-1-3 解:由题意知,把该正三棱柱的侧面展开后,点M,N,P在一条直线上,且MP= ,如答图6-1-4. 设CP=x,则AP=3+x. 根据已知可得AM=2,∠A=90°. 在Rt△MAP中,MA2+AP2=MP2, 即22+(3+x)2=29. 解得x=2或x=-8(负值舍去). 故点P为边BC的三等分点,且靠近点B. 答图6-1-4 若将本例改为:如图6-1-4,正三棱锥V-ABC的侧棱长为1, ∠AVB=40°,E和F分别是棱VB和VC上的点,求△AEF周长的最小值. 图6-1-4 解:如答图6-1-5,将该正三棱锥沿侧棱VA展开,将其侧面展开图平铺在一个平面上,则线段AA1的长度即为△AEF周长的最小值.取AA1的中点D,连接VD,则VD⊥AA1. 在正三棱锥V-ABC中,∠AVB=40°, 所以∠AVC=∠CVB=40°. 所以在侧面展开图中,∠AVD=60°. 答图6-1-5 反思感悟 解决空间几何体表面上两点间的最短线路问题,一般都将空间几何体表面展开,转化为求平面内两点间的线段长,这体现了数学中的转化思想. 谢 谢 $