6.1.1 构成空间几何体的基本元素&6.1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦空间几何体基本元素及棱柱、棱锥、棱台的结构特征，通过展示金字塔、国家大剧院等建筑图片导入，引导学生从具体物体抽象空间图形，搭建从现实到数学抽象的学习支架，衔接后续结构特征探究。 其亮点是结合实例与反例辨析，如例1用反例明确棱柱定义，培养数学思维。通过即时练、跟踪训练巩固，课堂小结强调定义关键与转化思想，提升学生空间观念与推理意识，帮助教师高效开展立体几何教学。

第六章　立体几何初步 §1　基本立体图形　　　 1.1　构成空间几何体的基本元素　　 　1.2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台　 学习目标 1.了解构成空间几何体的基本元素．　2.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征．　3.能运用空间几何体的结构特征描述现实生活中简单物体的结构． 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 观察所给的图片，小到精巧的家居装饰，大到宏伟的建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美． 思考　如何从以上具体物体中抽象出空间图形？ 提示：如果我们只考虑这些物体的形状和大小，那么抽象出来的就是空间图形． 新知学习 探究 返回导航 点 线(直线和曲线) 面(平面和曲面) 最基本 无限延展 新知学习 探究 返回导航 (2)平面的画法 平面α 平面AC 新知学习 探究 返回导航 【即时练】 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)我们常用一个平行四边形表示平面，所以平行四边形是一个平面．(　　) (2)一个平面的面积可以是16 cm2.(　　) (3)平面只能用希腊字母表示，如：平面α，平面β，平面γ.(　　) (4)点相当于集合中的元素，直线、平面相当于集合．(　　) × × × √ 新知学习 探究 返回导航 2．如图表示两相交平面，其中正确的有________．(填序号)   解析：对于①，没有画出两个平面的交线；对于②和③，被遮住的线没有画成虚线；对于④，符合相交平面的画法． ④ 新知学习 探究 返回导航 立体几何中所说的平面是从现实物体中抽象出来的，是无限延展的，不能进行度量，即无边界，无大小，无厚薄． 新知学习 探究 返回导航 几何体 新知学习 探究 返回导航 2．棱柱、棱锥、棱台的定义与表示 平行 多边形 一个 平行 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 正多边形 过底面中心且与底面垂直 新知学习 探究 返回导航 角度1　棱柱的结构特征 　 (1)下列命题中正确的有(　　) ①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体称为棱柱；②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 √ 新知学习 探究 返回导航 【解析】　①如图1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，显然不是棱柱，故①错误； ②如图2，满足侧面ABB1A1、侧面DCC1D1与底面垂直，但不是直棱柱，故②错误； 新知学习 探究 返回导航 ③如图3，四边形ACC1A1为矩形，即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，故③错误； ④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，如两底面都是菱形，故④错误．故选A. 新知学习 探究 返回导航 (2)如图所示的是一个五棱柱，则下列判断错误的是(　　) A．该几何体的侧面是平行四边形 B．该几何体有七个面 C．该几何体恰有十二条棱 D．该几何体恰有十个顶点 √ 【解析】　根据棱柱的定义可知，该几何体的侧面是平行四边形，故A正确； 该五棱柱有七个面，十五条棱，十个顶点，故B，D正确，C错误，故选C. 新知学习 探究 返回导航 棱柱结构特征问题的解题策略 (1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义： ①两个面互相平行； ②其余各面是四边形； ③相邻两个四边形的公共边都互相平行． 求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征． (2)多注意观察一些实物模型和图片便于排除反例． 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练1] (1)(多选)下列关于棱柱的说法中不正确的是(　　) A．棱柱的侧面是平行四边形，但它一定不是矩形 B．棱柱的一条侧棱的长叫作棱柱的高 C．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 D．棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行 √ √ √ 新知学习 探究 返回导航 解析：对于A，直棱柱的侧面是矩形，故A不正确； 对于B，棱柱如果不是直棱柱，那么侧棱的长就不叫作棱柱的高，故B不正确； 对于C，棱柱中，也有可能存在两个侧面互相平行，故C不正确； 对于D，棱柱中，两个底面一定是平行的，故D正确．故选ABC. 新知学习 探究 返回导航 (2)长方体是________．(填序号) ①直四棱柱 正四棱柱 ③正方体 直棱柱 解析：长方体是底面为长方形的直四棱柱，所以长方体是直四棱柱，也属于直棱柱． ①④ 新知学习 探究 返回导航 角度2　棱锥、棱台的结构特征 　 (1)下列关于棱锥、棱台的说法正确的是(　　) A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫作棱台 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 √ 新知学习 探究 返回导航 【解析】　有一个面是多边形，其余各面是三角形，若其余各面没有一个共同的顶点，则不是棱锥，如图1，故A错误； 两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还要满足各侧棱的延长线交于一点，如图2，故B错误，D正确； 用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫作棱台，故C错误． 新知学习 探究 返回导航 (2)(多选)下列说法中，正确的是(　　) A．棱锥的各个侧面都是三角形 B．三棱锥的任何一个面都可以作为棱锥的底面 C．棱锥的侧棱平行 D．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台 √ √ 新知学习 探究 返回导航 【解析】　由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确； 三棱锥就是由四个三角形所围成的空间图形，因此三棱锥的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确； 棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错误； 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形，只有当侧棱的延长线交于一点时，这样的几何体才是棱台，故D错误． 新知学习 探究 返回导航 (1)判断有关多面体是不是棱锥的步骤 ①定义面：只有一个面是多边形，此面即为底面； ②看侧棱：侧棱相交于一点． (2)判断一个多面体是不是棱台的标准 一是共点，即各侧棱延长线要交于一点，二是平行，上、下两个底面要平行，二者缺一不可． (3)常用判断方法：举反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确． 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练2] (1)如图所示的空间图形中，不是棱锥的为(　　) √ 解析：结合棱锥的定义可知，只有A不符合其定义． 新知学习 探究 返回导航 (2)《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在长方体ABCD-­A1B1C1D1中，鳖臑的个数为(　　) A．48 B．36 C．24 D．12 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 与棱柱、棱锥、棱台有关问题的求解思路 把所求线段转化到直角三角形中，常用到两类直角三角形： (1)正棱锥(台)的斜高、高、底面内切圆的半径构成的直角三角形； (2)正棱锥(台)的侧棱、高、底面外接圆的半径构成的直角三角形． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________． 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 1．如图所示，下列四个几何体不是棱柱的是(　　)   解析：棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各个面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．由此可知B中没有互相平行的平面，所以不是棱柱，故选B. √ 课堂巩固 自测 返回导航 2．(教材P210练习T1改编)对于棱锥，下列叙述正确的是(　　) A．四棱锥共有四条棱 B．五棱锥共有五个面 C．六棱锥的顶点有六个 D．任何棱锥都只有一个底面 解析：对于A，四棱锥共有八条棱，故A错误； 对于B，五棱锥共有六个面，故B错误； 对于C，六棱锥的顶点有七个，故C错误； 对于D，根据棱锥的定义可知D正确．故选D. √ 课堂巩固 自测 返回导航 3．在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有________条． 10 解析：如图所示，在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中，若对角线的一个端点为A1，则满足条件的对角线为A1C，A1D，同理可知，端点B1，C1，D1，E1的对角线各有两条．综上所述，一个五棱柱的对角线共有2×5＝10(条). 课堂巩固 自测 返回导航 4．若棱台上、下底面的对应边长之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是________． 解析：由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积之比为对应边长之比的平方，故上、下底面的面积之比是1∶4. 1∶4 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：构成空间几何体的基本元素、多面体的概念、棱柱、棱锥、棱台的结构特征． 2．须贯通：棱柱、棱锥、棱台的定义是识别和区分多面体结构特征的关键；空间多面体中的计算问题，通常把所求线段转化到直角三角形中求解． 3．应注意：棱台的侧棱延长后交于一点． 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(一　空间几何体的基本元素) 1．空间几何体的基本几何元素是 eq \o(□,\s\up1(1)) __________、 eq \o(□,\s\up1(2)) __________________、 eq \o(□,\s\up1(3)) __________________等． 2．平面 (1)平面是空间 eq \o(□,\s\up1(4)) ________________的图形．平整的桌面、平静的湖面都给人平面的印象，平面是 eq \o(□,\s\up1(5)) ________________的． 画法 一般地，用平行四边形表示平面 当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45°，横边长画成邻边长的两倍 当两个平面相交时，把被遮挡部分画成虚线或不画 图示 (3)平面的表示方法 图1的平面可表示为 eq \o(□,\s\up1(6)) ________、平面ABCD、 eq \o(□,\s\up1(7)) ________或平面BD. eq \a\vs4\al(二　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台) 1．多面体的概念 由平面多边形围成的 eq \o(□,\s\up1(1)) ____________，称为多面体．这些多边形称为多面体的面，两个相邻的面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点．其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体． 类别 棱柱 棱锥 棱台 定义 有两个面是边数相同的多边形，且它们所在平面 eq \o(□,\s\up1(2)) ______，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面围成的几何体称为棱柱 有一个面是 eq \o(□,\s\up1(3)) ________，其余各面都是有 eq \o(□,\s\up1(4)) ________公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体称为棱锥 用一个 eq \o(□,\s\up1(5)) ________于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分称为棱台 类别 棱柱 棱锥 棱台 图形 表示 及其 相关 名称 棱柱ABCDE- A′B′C′D′E′(或棱柱AC′) 棱锥S-ABCDEF (或棱锥S-AC) 棱台ABC- A′B′C′(或棱台AC′) 3.棱柱、棱锥、棱台的分类及特殊几何体 (1)分类(按底面多边形) 棱柱 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(三棱柱,四棱柱,五棱柱,……)) 棱锥 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(三棱锥,四棱锥,五棱锥,……)) 棱台 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(三棱台,四棱台,五棱台,……)) (2)特殊几何体 ①棱柱 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(斜棱柱,直棱柱\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(正棱柱,其他直棱柱)))) ②特殊的四棱柱 ③正棱锥：底面是 eq \o(□,\s\up1(6)) ______________，顶点在 eq \o(□,\s\up1(7)) _______________________的直线上． ④正棱台：由正棱锥截得的棱台． 解析：在长方体ABCD­A1B1C1D1中，当顶点为A时，三棱锥A­A1D1C1，A­A1B1C1，A­DCC1，A­DD1C1，A­BCC1，A­BB1C1均为鳖臑．所以8个顶点共对应8×6＝48个鳖臑．但每个鳖臑都重复一次，所以鳖臑的个数为 eq \f(48,2) ＝24.故选C. eq \a\vs4\al(三　空间多面体中的计算问题) 　若正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为2和4，求该棱台的侧棱长和斜高． 【解】　如图，在正三棱台ABC-A1B1C1中， 两底面中心分别为O和O1，取AB和A1B1的中点分别是E，E1，连接OO1，EE1，O1A1，OA，O1E1，OE，则四边形OAA1O1与四边形OEE1O1都是直角梯形．在等边三角形ABC中，AB＝4，则OA＝ eq \f(4\r(3),3) ， OE＝ eq \f(2\r(3),3) .在等边三角形A1B1C1中，A1B1＝2，则O1A1＝ eq \f(2\r(3),3) ，O1E1＝ eq \f(\r(3),3) .在直角梯形OAA1O1中，OO1＝3，所以AA1＝2,1) eq \r(OO＋（OA－O1A1）2) ＝ eq \r(32＋（\f(4\r(3),3)－\f(2\r(3),3)）2) ＝ eq \f(\r(93),3) ，即棱台的侧棱长为 eq \f(\r(93),3) .在直角梯形OEE1O1中，EE1＝2,1) eq \r(OO＋（OE－O1E1）2) ＝ eq \r(32＋（\f(2\r(3),3)－\f(\r(3),3)）2) ＝ eq \f(2\r(21),3) ，即棱台的斜高为 eq \f(2\r(21),3) . [跟踪训练3] (1)若长方体的三条棱长分别是a，b，c，则长方体体对角线的长为(　　) A． eq \r(a2＋b2＋c2) B． eq \f(1,2) eq \r(a2＋b2＋c2) C． eq \f(\r(2),2) eq \r(a2＋b2＋c2) D. eq \f(\r(3),2) eq \r(a2＋b2＋c2) 解析：如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中， 令AD＝a，DC＝b，DD1＝c，则BD＝ eq \r(a2＋b2) ，所以DB1＝2,1) eq \r(BD2＋BB) ＝ eq \r(a2＋b2＋c2) .故选A. eq \r(2) 解析：如图，连接DE，AE.在等边三角形ABC中，AE＝ eq \r(AB2－BE2) ＝ eq \r(3) ，同理可得，DE＝ eq \r(3) ，所以AE＝DE＝ eq \r(3) ，连接EF，因为F是AD的中点，所以EF⊥AD，所以EF＝ eq \r(AE2－AF2) ＝ eq \r(2) . $