命题大赛 河北省承德市宽城满族自治县高一数学下学期单元测试2025-2026学年（人教A版必修第二册第六章）

**基本信息** 高一数学第六章平面向量及其应用单元卷，适配周测/单元测，以原创情境题（如承德双塔山测量）和分层设计为亮点，覆盖向量运算、解三角形等核心知识，培养数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量坐标运算、数量积、三角形形状判断|第5题考查投影向量，强化基础概念| |多选题|3/18|三角形四心、解三角形解的情况|第9题结合重心、垂心等，考查知识综合| |填空题|3/15|向量夹角、三角形面积最值|第14题矩形动态问题，体现几何直观| |解答题|5/77|向量平行与夹角、解三角形综合、仿射坐标系|第19题新定义情境，培养创新应用能力|

宽城一中高一数学下学期单元测试 第六章平面向量及其应用 答案与解析 一、单选题 1.【答案】C 【解析】BA=（3-(-2),(-4)-(-1)=（5,-3.故选C. 2.【答案】B 【解析】由a⊥b得m(m-1)-3(m-1)=0,则(m-1)(m-3)=0,得到m=1,或 m=3.当m=1时，b=(0,0),不符合题意，故选B. 3.【答案】A 【解析】由正弦定理可知，sinC=2 sin A cos B, sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos Asin B,sin A cos B -cos A sin B=0, sin(A-B)=0,则A=B,则△ABC是等腰三角形.故选A. 4.【答案】A 【解析】由角平分线定理可知，BD=2CD,则 AD-4B+BD-4B+2BC-AB+(4C-AB)-14B+24C. 3 3 3 3 则P=2D=B+24C=AN+2AC,由P,C,N三点共线，则 5 5 5λ 1+2=1,元=}故选A 1 5λ5 3 5.【答案】D 【解折】由6-传+-18有8+-0=-18，则 46-5-42=0,则闪-25，那么8在6上的投影向量为cos买百=五。 s6同 4 6.【答案】B 【解析】由己知得CD=5.在△4ACD中，∠DAC=π-∠ACD-∠ADC=0-a,则有 sin DAC sin(0-a)=sin 0 cos a -cos 0 sin a -3254525 555525 s血∠1CD=sm(号+a)=csa-2,5,CD AD 5’sin∠DAC sin∠ACD ,则AD=25. 在△ABD中，sin∠ABD=sin(T-p)=cosp=- 4 41 34.4532 sin ADB sin(+)=sin 0 cos cos 0 sin 5V415V415V41 由 AB AD ,则AB=40。故选B. sin∠ADB sin∠ABD 7.【答案】D 【解析】对于选项A,由余弦定理可知cosC>0,角C是锐角，但不一定是最大角，则 三角形不一定是锐角三角形，故A错误； 对于选项B,当a=0时，a·b=a·c=0,当0与任意向量共线，故B错误； 对于选项C,由sim2A=s咖2B可得A=B或2A+2B=元即A=B或C=刀 ,则三角 形为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于选项D,向量a,b的夹角为锐角，则ab>0且a与b不共线，即 -1×2+3x>0, 则 -x-3×2≠0， >3,故D正确 故选D. 8.【答案】C 【解析】如图，在直角坐标系中，OA=a,OB=6,O元=c,则由已知知4C+BC=5 ,而B=后-=5，则点C在线段B上，当0c1B时，日最小，因为0=5， |OB=V2,则cos∠0BA= AB2+0B2-0A2V2 则sin∠OBA= 7W2 则此时 2AB·OB 10 10 凡-Osn∠0B-}放tc B 二、多选题 9.【答案】AC 【解析】过点A做AM⊥BC,垂足为M,则MD是AD在BC上的投影向量，则 AD.BC=MD BC. 选项A:O为外心，D为BC的中点，那么OD⊥BC,则AO在BC上的投影向量是 MD,则AO·BC=MD·BC=AD·BC.故A正确 B M D 选项B:G为重心，AG=2AD,则4GBC_2AD.BC故B错误 选项C:H为垂心，那么AH⊥BC，则A,H,M三点共线，HD在BC上的投影向量是 MD,则HD.BC=MD.BC=AD.BC故C正确 选项D:过点I做N⊥BC,垂足为N,则ID在BC上的投影向量是ND,那么 D.BC=ND.BC≠MD.BC=AD.BC.故D错误 故选AC. 10.【答案】BCD 【解析】对于选项A,B为锐角，b=V6<csin B=√6+V2,故三角形无解，则A错误； 对于选项B,已知两边及夹角，根据余弦定理可知三角形只有1解，则B正确； 对于选项C,由a<b,知A<B,而A为钝角，故三角形无解，则C正确； 对于选项D,由A为锐角，bsin A=4V3<a=7<b,则三角形有2解，则D正确： 故选BCD 11.【答案】ACD 【】E=8c+C正=0-号8，-1ic=西+i0=1as+21亚，由时 H,P,8三点夫线，则1+21=11-，ǖ-写C同理G-a,那么 4H-CG=54C,所以GH4C,=G=6c. BG·AF=(2AH-AB)·AF=2AH-AB.Aǖ， BH.AG =(AH-AB).2AH=2AH-2AB.AH, 由于LCAB大小不确定，则BG·AH≠BH·AG 雪4D04B,4C=3B,满足购最定理，4C上B,3=45°，an☑子 m2月 ， tan(∠4+∠2)=am21+an∠2-1，则∠1+∠2=5。，则 1-tan∠1tan∠2 ∠1+∠2=∠3. 故选ACD. 三、填空题 2【等1号 【解析】由a+=io,a-=v6,则 a2+6+2a-6=10, [a.B-1 2+6-2a-6=6, =同 ,则日=月=2，cos0= ab I 丽4 1.【答案)92 【解折】由a=bos C+ccmB可得3 Becos=G,0sB=,则smB=2y5 3 3 b2=a'+e2-2accosB=a+c2-2 ac≥2ac-24 T3ac-3ac,即acs2 ，当且仅当 =c时等号成立，则面积S=号ac sin B≤×2×2V2=9√2 ,9√2 2,故最大值为9 Γ2434 4 14.【答案】4 【解析】取BC的中点E,PB.PC=(PE+EB)-(PE-EB)=PE2-EB=PE-1 当P与O重合时，PBPC最小，为4 C B 四、解答题 15.【答案】(1)1=-2，（2)-3i0 10 【解析】(1)因为a1b,则(-2)×t-1×4=0,3分 则1=-2；…5分 (2)a+b=(2,1+),由a1(G+b,则-4+1+0=0，…8分 则1=3.…9分 a+36=10,10,a+36=102,a-26=(-10,-5),a-20=55,…11分 cos0=a+36-(a-2_3W10 .…13分 a+3ba-2b 10 16.【答案】14=写2)a=7,(3)12 【解析】(1)由正弦定理可得sin AsinC=sin Ccos(A-乃)…1分 6 由C∈(0，π)，sinC>0,sinA= 2cos4+75inA,2分 2 则anA=V5,4分，A∈0，），A= 3 …5分 (2)若b,c是方程x2-13x+40=0的两个根，则b+c=13,bc=40,由余弦定理可知 a2=b2+c2-2 be cos A=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=49,…8分（给出余弦定理公 式给6分)，a=7.9分 (3)由正弦定理6 a=4=85 ,…10分 sin B sin C sin A sin3 3 b=8 sin B.esin Csin 3 3 sinB+4cosB,…11分 3 sim(8+)=4 31 3 a+b+c=4+43sinB+4cosB=4+8sin(B+T),…13分 6 由B∈02，则当B-写时，月张a+6+e有放大值125分 3 17.【答案】(1) 2k+号2x+,keZ,(2)4 3 3 【解析】(1)f()=a-b=cosx+V3sinx=2sin(x+乃)，…2分 61 2x+号sx+名s2x+经keZ,…3分 6 2 则2k红+T≤x≤2kr 3 +4怀，kZ,…5分 3 则调定淡区间为列2+号2x+4e7.7分 a由2)=-1.有28+名-安Be@m28+名e 13弧，…8分 66’6 2B+=5π，B=T, ,…9分 66 3 由正弦定理知，Q c b 2 43 sin 4 sinc sin85=3,…11分 2 8V3 2a+c= sin A+- 3 sin C sin 14V3 -sin A+- 3sin(4+交)=10 45 -sin A+2 cos A 3 3 3 3 3 3 =4V2 im(4+p),p为锐角，且am0=V ,…13分 3 5 当4=受-0时，20+e有最大值4 .…15分 3 18.【答案】(1)证明略，（2)53 13 【解析】(1)设∠ADC=0,在△ACD中， CD AC ,…1分 sin∠CAD sin0 则sin∠CAD=CD·sin61 =二CD.sin0,3分 AC 2 在△ABD中， BD ABAB sin∠DAB sin(π-0)sin0 则sin∠DAB= BD.sine2cD.sine=CD.sin AB 4 2 则sin ZCAD=Sim∠DAB,又LCAD+LDAB=LCAB<元，则LCAD=∠DAB, 故AD是角平分线.…8分 (2)设∠CAB=Oa,由BC=4CD, AD=4C+CD=AC+CB=AC+(AB-AC=AB+3AC,…10分 4 4 4 而-哈+0=6+丽c+ 92 AC, 8 16 9 416 3’…12分 AB.AC =4x2cos a =4,BE=BA+AE=-4B+AC, 丽-y+4C-丽-而4C+4C-丽.…4分 AD.BE=(B+C)(-AB+4C)--14B-54B.AC+34C=-5 4 8 …15分 AD·BE 则AD在BE上的投影向量的模长为 5W13 .…17分 BE 13 19.【答案】(1) 3,258,a- 62 【解析】(1)由a=(-3,1),b=(1,2)，g·e=c0s 2π-则 32 a=-3e+e2,b=e+2e2, …1分 则a6=(-3+)-(g+2g)=-3G-5g6+2g=33分 一23 日--3g+e=9e-6ge+6=B,…5分 →2 (2)a+26=(-1,5)=-g+5g,0+20=VG-10ee,+25G=V51, 月-=G+4ee+4e=5, G+26=(-e+5g-g+2g=-g+38g+10e= 一2_15 8分 cos0=(a+2B)-B53 …10分 +26丽 62 (2)a+xb=(-3+x)e+(1+2x)e2,…12分 a+x=-3+)2e+2-3+xX1+2xge,+1+2x2=5r2+3x+13 …14分 3x++39 ’…15分 当x=时，6+网有最小值…一7分 应用场景：周测/单元测/月考/期中/期末/ 宽城一中高一数学下学期单元测试 第六章 平面向量及其应用 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知点，则（ ） A. B. C. D. 2.已知非零向量，且，则（ ） A. B. C.或 D. 3.在中，角所对的边分别为.已知，则是（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D. 等腰或直角三角形 4.如图，在中，，的角平分线与交于点，点在上，且，，与交于点，当时，（ ） A. B. C. D. 5.已知向量的夹角为，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6.（原创）（新情境题）承德双塔山是4A级旅游景区，是承德“十大名山”之首，以其独特的丹霞地貌、险峻的擎天石柱和悬于绝顶的千年古塔，构成了“山奇、水奇、林奇、石奇、塔奇、洞奇”的六奇景观，其中北峰略高于南峰。现欲测量北峰的高度，选择附近一处观景台进行测量，测得峰底A俯角为，峰顶B仰角为；将无人机垂直升高5米，此时测得峰底A俯角为，峰顶B仰角为；其中，则北峰的高度为（ ）米. A.30 B.40 C.32 D.50 7.以下说法正确的是（ ） A.在中，，则是锐角三角形 B.若，则 C.在中，，则该三角形为等腰三角形 D.若，向量的夹角为锐角，则 8.（原创）已知向量，向量满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.（原创）已知中，为的中点，为外心，为重心，为垂心，为内心.以下与相等的有（ ） A. B. C. D. 10. 在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.根据下列条件判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） A.，该三角形有2解 B.，该三角形只有1解 C.，该三角形无解 D.，该三角形有2解 11.如图在平行四边形中，分别是的中点，交于点，交于点，，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D.当， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.向量满足，，记向量的夹角为，则 . 13.在中，角所对的边分别为.，，则的面积最大值为 . 14.如图，在矩形中，，为的中点，点为线段上任一点（含端点），则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出说明证明过程或演算步骤。 15.（13分）已知， （1）若∥，求的值； （2）若，求与夹角的余弦值. 16.（15分）在中，角所对的边分别为，， （1）求角； （2）若是方程的两个根，求； （3）若，求周长的最大值. 17.（15分）已知，， （1） 求的单调递减区间； （2）在中，角所对的边分别为，，，求的最大值. 18.（17分）如图，在中，，，交于点，为的中点， （1）若，求证是角平分线； （2）若，且，求在上的投影向量的模长. 19.（17分）如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条轴，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为仿射坐标系．若在仿射坐标系下，，则把有序数对叫作向量的仿射坐标，记为，已知， （1）求和； （2）求与的夹角的余弦值； （3）当取最小值时，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 有向线段的坐标表示 0.94 2 单选题 5 向量垂直的坐标表示 0.85 3 单选题 5 判断三角形形状 0.75 4 单选题 5 平面向量的基本定理、共线向量 0.75 5 单选题 5 平面向量的数量积、投影向量 0.65 6 单选题 5 正、余弦定理应用测量高度 0.7 7 单选题 5 正、余弦定理，三角形形状，向量夹角等问题 0.5 8 单选题 5 向量的坐标计算，模的最值 0.5 9 多选题 6 平面向量的数量积、投影向量 0.6 10 多选题 6 正余弦定理、三角形个数判断 0.7 11 多选题 6 向量的基本定理、三点共线、数量积、相等向量、夹角 0.5 12 填空题 5 向量夹角 0.85 13 填空题 5 正余弦定理、面积最值 0.65 14 填空题 5 向量数量积最小值 0.6 15 解答题 13 向量坐标运算、共线向量、向量垂直、向量夹角 0.75 16 解答题 15 正余弦定理的应用、求边长、三角形周长最值问题 0.7 17 解答题 15 向量的数量积、正弦定理求最值 0.6 18 解答题 17 正余弦定理的应用，证明、投影向量的模长 0.55 19 解答题 17 仿射坐标系，数量积、模长、夹角，最值问题 0.45 $