2026年浙江宁波市初中学业水平考试数学试题（甬真卷1号·之江卷）

浙江省2026年初中学业水平考试 浙真组合·钱塘甬真卷1号作品·之江数学参考答案及评分标准 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 2 3 4 5 8 9 10 答案 A 0 9 0 A 二、填空题（每小题3分，共18分） 题号 11 12 13 14 15 16 答案 x(x-1 y23 9.4545×102 2-k2 k2 13 16 2 三、解答题（第17一21题每题8分，第22,23题每题10分，第24题12分，共72分） 17.解：去分母，得2-x=-1,2分 移项，得-x=-3,…4分 解得x=3.…6分 经检验，x=3是原方程的增根，所以原方程无解.…8分 18.解：原式=4a2-4ab+b2+4a2-b2…2分 =8a2-4ab.…4分 a+1+(b-2)2=0,a=-1,b=2,…6分 :原式=8-4×-×2=16.…8分 19.解：(1)共12种情况，树状图如下： …4分 (2)其中点(1,2)，（2,3)，（3,4)在直线y=x+1上， .P=3 1 124.…8分 20.解：如图所示（其他答案合理即可）： (1) …4分 (2) A …8分 21.解：(1)由题意，得a-1=2且3-a≠0，解得a=-3.…2分 (2)①x=-2+5,x2=-2-V5 …4分 ②55*缩 55而 6, 6.…4分 ③x=4,X3=2.4分 (3)m,n是一元二次方程x2+2x-1=0的两根， ∴.代入得：m2+2m-1=0,n2+2n-1=0, 由韦达定理得：m+n=-2,n=-1,…6分 :m2+3m+1n2+3n+1 =(m2+2m-1+m+2(n2+2n-1+n+2 =（m+2)n+2 =mn+2m+2n+4 =-1,…8分 22.解：(1)结论：FG与⊙O相切，…1分 理由如下：如图，连结OF :D是Rt△ABC的斜边AB的中点， .CD=BD, .∠B=∠DCB. 又OF=OC, .∠OFC=∠DCB,3分 .∠B=∠OFC, .OF∥AB. FG⊥AB, .FG⊥OF, ∴.FG与⊙O相切.…4分 G (2)CD=5, ∴.AB=2CD=10. sinB=AC_3 .在Rt△ABC中， AB 5, 3 3 .AC=AB×2=10×二=6.…5分 利用勾股定理得：BC=√AB2-AC2=V102-62=8.…7分 如图，连结DF. ,CD是⊙O的直径， .DF⊥BC. BD=CD, BF=BC=4.…8分 2 在Rt△BFG中， sinB=FG3 BF 5, ·FG=BFx3 312 4 455 …10分 23.解：(1)将点(2，-5)代入y=-x2+bx+1,得 -4+2b+1=-5,解得b=-1. “y=-x2-x+1,顶点坐标为 15 2'4 …2分 (2).抛物线的对称轴为直线x= 6 2 b 2≤ ①若22，即b≥4，当x=2时，y最大值=3，解得b=3. 这与b≥4矛盾，舍去；…3分 b -1< ②若22，即-2<b<4 b 当不=2时，y最大位=3， 解得6=2V2,b,=-2√2. -2<b<4,b=2V2.…4分 b1 ③若2-，即b≤-2，当x=-1时，y最大位=3，解得b=-3.…6分 综上所述，b=2√2或b=-3.…7分 )证明：由题》知地物线y=文x+的顶克为列 与y轴的交点为E0,),如图所示。 抛物线乃=mx+nx-0.8与y轴交点为F(0,-0.8), ∴.EF=1.8. 将x=-1.2与x=1分别代入y=-x2-x+1得 619 B(1,-1 ,A525 四边形B8DP的面段之18×行+小-135 过点D作DG∥y轴交AF于点G 直线AF的解析式为y=-1.3x-0.8, ∴.G-0.5,-0.15 △ADF的面积 .四边形BEDF的面积+△ADF的面积=1.35+0.84=2.19>2， ∴.封闭曲线所围成的图形面积大于2.…10分 (其他方法酌情给分) 24.解：(1)连结AC.①证明：在菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA,AB∥CD .∠ABC+∠BCD=180°，∠EAF=∠ABC, ∴.∠EAF+∠BCD=180°. AE⊥BC, .AF⊥CD. 由面积法得：S△4Bc=S△MDC,， AE=AF.…4分 ②AC与BD,EF分别交于点O和点H. 由①易知：BE=DF,CE=CF, .EF∥BD EF CE CF 2 BD BC CD5, CH_2AH-8_4 OH3,AC105, S△4EF-= 1.EF.AH EF AH 24 8 BDAC=55=25 ,…8分 S菱形ABCD ·AC.BD (2)在菱形ABCD中， :∠EAF=∠BAD∠BAC=∠CAD=∠BAD .∴∠1=∠3=∠ANC,∠2=∠4=∠AMC, .△ACM∽△NCA. 设EC=x,则BE=6-x. ①如图1，当AN=AM时，△ACM≌△NCA, .∠1=∠2，即AE平分∠BAC, AB BE 6 6-x .根据面积关系得：ACEC,即3x,解得x=2. D B 6 (图1) ②如图2，当AN=MN时，∠NMA=∠NAM. ,AB=BC,∠BAC=∠BCA. .'∠BAC=∠NAM,·.易证△ABC∽△ANM, .AM AC ·AN=AB AM AC △ACM∽△NCA,ANCN,.CN=AB. 易证△ABE≌△NCE,∴.BE=EC,解得x=3 D 4 23 6-x (图2) AM AC AB 3 6 图3，当4M=MN时，同理可得4NCN4C,郎CN3,C 2 AB BE 66-x 6 又：△4BE∽△NCE,CNEC,即1x,解得=5. X= 6 综上所述，EC的长度为2或3或5.…12分 3 F 6-x B E M (图3) 浙江省2026年初中学业水平考试 浙真组合·钱塘甬真卷1号作品·之江 数学 姓名________准考证号________座位号________ 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．在实数，，，中，最小的数是（ ▲ ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（ ▲ ） A． B． C． D． 3．如图，将周长为的沿方向平移得，连接，则四边形的周长为（ ▲ ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，绕某个点顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（ ▲ ） A． B． C． D． 5．如图，小华制作了一个无盖正方体收纳盒，盒子的前面有一圆形标签，则此收纳盒的展开图是（ ▲ ） A． B． C． D． 6．一元二次方程的根的情况是（ ▲ ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 7．在一次献爱心活动中，七年级各班的捐款统计图如图，虚线所在的位置能反映个班平均捐款钱数的是（ ▲ ） A． B． C． D． 8．已知，恰好是关于的一元二次方程的两个实数根，若，请根据二次函数图象与轴的交点和一元二次方程的根之间的联系推断，，，的大小关系是（ ▲ ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，点在边上，且，动点以每秒个单位的速度从点出发，在矩形中沿匀速运动，到达点时停止运动，以为底边作等腰直角三角形．设点运动的时间为秒，等腰直角三角形的面积为，关于的函数图象如图所示．若存在个时间，，所对应的面积均相等，则下列选项中错误的是（ ▲ ） A． B． C． D． 10．如图所示，点是反比例函数图象上的一个动点，交轴于点和点，延长交于点，连接交反比例函数图象于点，作轴交轴于点，交于点，连接．下面有四个结论： ①若作点关于直线的对称点，则该对称点一定在上； ②若取线段的中点，连接，则四边形是平行四边形； ③设的面积是，的面积是，则； ④当点在反比例函数图象上运动时，四边形的面积随点的运动而变化． 你认为正确的是（ ▲ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式：________． 12．把方程改为用含的式子表示，得________． 13．年月日，浙江省统计局发布年经济“成绩单”：全省地区生产总值达亿元，同比增长，总量跃上新台阶，请将亿用科学记数法表示为________． 14．如图，在中，，，点，分别在边，上，将沿翻折，点落在边上的点处，设，若，则________．（结果用含的代数式表示） 15．如图，矩形的长为，宽为，将长为的线段的两端放在矩形的相邻的两边上同时滑动．如果点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点停止，同时点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点停止．点是矩形内的任意一点，把点落在线段的中点所经过的路线围成的图形区域内的概率记为，则________． 16．如图，二次函数（其中）的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，，点为的外心．记的面积为，的面积为，则的值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题8分）解方程：． 18．（本题8分）先化简，再求值：，其中，满足关系． 19．（本题8分）四张大小、质地均相同的卡片上分别标有数字，，，，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张（不放回），再从桌子上剩下的张中随机抽取第二张． （1）用画树状图的方法，列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况． （2）在（1）的条件下，若记第一次抽取的数字为，第二次抽取的数字为，求点在直线上的概率． 20．（本题8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中，都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图． （1）如图所示，找一个格点，使； （2）如图所示，若点在网格线上（非格点）时，请作出点关于线段的对称点． 21．（本题8分）一元二次方程是初中数学代数板块的核心内容，也是中考的重点考查模块．现以“单元整体”的视角，从定义、解法、根与系数的关系等核心维度，尝试解答下列问题： 【概念辨析】 （1）若关于的方程是一元二次方程，则的值是________． 【解法实践】 （2）请从以下三个一元二次方程中任选一个你喜欢的方程进行求解： ①用配方法解：； ②用公式法解：； ③用因式分解法解：． 【综合应用】 （3）已知，是一元二次方程的两根，请尝试计算的值． 22．（本题10分）如图，在中，，为的中点，以为直径的分别交，于点，，过点作于点． （1）试判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，，求的长． 23．（本题10分）在平面直角坐标系中，已知二次函数（为常数）． （1）若二次函数图象经过点，求该函数表达式与顶点坐标． （2）当时，二次函数有最大值，求的值． （3）若抛物线与题（1）中抛物线交于，两点（如图所示），且这两点的横坐标分别是与，两条抛物线在，两点之间形成一个封闭曲线．求证：封闭曲线所围成的图形面积大于． 24．（本题12分）如图，在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按逆时针方向旋转，交直线于点． （1）如图，当，时， ①求证：； ②连结，，若，求的值． （2）如图，当时，延长交射线于点，延长交射线于点，连结，．若，且是等腰三角形，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $