第二章 第17课时 函数模型的应用 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数模型的应用”专题，依据高考评价体系梳理了指数、对数、幂函数增长差异，模型选择及实际问题建模三大考查要求，通过教材典题改编和性质对比表，明确“指数爆炸”“二次函数最值”等高频考点，归纳图象分析、方程求解等常考题型。 课件亮点在于“真题情境+建模步骤+素养提升”的备考策略，如以放射性物质衰变（指数模型）、爆米花可食用率（二次函数）为例，指导学生用数学眼光提取关键量，用数学思维构建函数关系，培养模型观念与数据意识。特设“易错点警示”和“二级结论速记”，助力学生高效得分，教师可据此系统推进复习。

第17课时　函数模型的应用 第二章 函数的概念与性质 [考试要求] 1．了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异． 2．理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义． 3．会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用． 第17课时　函数模型的应用 2 以题引理·激活思维 1．(人教A版必修第一册P138探究改编)当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是(　　) A．y＝2x B．y＝lg x C．y＝x2 D．y＝2x D　[结合函数的性质可知，几种函数模型中，指数函数的增长速度最快．] √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 3 2．(北师大版必修第一册P107A组T7改编)某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的该种放射性物质的质量约是原来的75%，估计经过多少年，该物质剩留的质量是原来的？(　　) (参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) A．16 B．17 C．18 D．19 √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 4 A　[设该种放射性物质初始质量为m，经过n年，剩留量变为m，则可建立模型为m·m， 即n＝≈16， 所以大约经过16年，该物质剩留的质量是原来的． 故选A．] 5 3．(人教B版必修第一册P131习题3⁃3AT3)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：min)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(　　) A．3.50 min B．3.75 min C．4.00 min D．4.25 min √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 6 B　[由图形可知，三点(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)都在函数p＝at2＋bt＋c的图象上， 所以 解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2， 所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2，因为t>0，所以当t＝＝3.75时，p取最大值， 故此时的t＝3.75 min为最佳加工时间，故选B．] 7 4．(人教A版必修第一册P96习题3.4T4改编)图中实线是某景点收支差额y关于游客量x的图象，由于目前亏损，景点决定降低成本，同时提高门票价格．决策后的图象用虚线表示，以下能说明该事实的是(　　) √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 8 D　[对于A，当x＝0时，虚线y值减小，说明成本提高了，不满足题意，A错误；对于B，两函数图象平行，说明票价不变，不符合题意，B错误；对于C，当x＝0时，y值不变，说明成本不变，不满足题意，C错误；对于D，当x＝0时，虚线y值变大，说明成本减小．虚线的倾斜角变大，说明提高了门票的价格，符合题意，故D正确．故选D．] 9 5．(人教A版必修第一册P72练习T2改编)某城市客运公司确定客运票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(单位：元)与行驶千米数x(单位：km)之间的函数解析式是 ___________________________． y＝ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 10 1．指数、对数、幂函数模型性质的比较 性质 函数 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上的单调性 单调____ 单调____ 单调____ 增长速度 越来____ 越来____ 相对平稳 图象的 变化 随x的增大逐渐表现为与____平行 随x的增大逐渐表现为与____平行 随n值变化而各有不同 递增 递增 递增 越快 越慢 y轴 x轴 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 11 [二级结论] “直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小． 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 12 2．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数相关的模型 f (x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数相关的模型 f (x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数相关的模型 f (x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 13 建立函数模型解决实际问题的基本过程如下： 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 14 A　　　　　　　B 考点一　用函数图象刻画实际问题 [典例1]高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f (h)的大致图象是(　　) 精研考点·提升素养 √ C　　　　　　　D 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 15 B　[由图可知水深h越大，水的体积v就越大，故函数v＝f 是增函数，故排除A，C项，由鱼缸形状可知，下面细中间粗，上面较细，所以随着水深的增加，体积的变化的速度是先慢后快再慢的，所以B正确．故选B．] 16 【教用·名师点评】 判断函数图象与实际问题变化过程是否吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意容易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况． 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 17 [巩固迁移] 1．(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示．根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的是(　　) 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 18 A．首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用 B．每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒 C．首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药物持续发挥治疗作用 D．首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒 √ √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 19 ABC　[从图象中可以看出，首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用1单位该药物，约1小时后血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，再1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误．] 20 考点二　已知函数模型的实际问题 [典例2]　(2026·河南开封模拟)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：km/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系是v＝alg 从2 000提升至50 000，则v大约增加了(附：lg 2≈0.301 0)(　　) A．52% B．42% C．32% D．22% 2025课标新变化：数学是重大科技创新发展的基础． √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 21 B　[当质量比为2 000时，最大速度v1＝alg 2 000， 当质量比为50 000时，最大速度v2＝alg 50 000， ≈1.42，v2≈1.42v1＝(1＋42%)v1， 所以将质量比从2 000提升至50 000，则v大约增加了42%． 故选B．] 22 【教用·名师点评】 已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 23 [巩固迁移] 2．(2025·石景山区一模)经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数S＝ae-kt(a，k为常数)来描述，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，则k＝(　　) A． C．ln 2 D．ln 3 √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 24 A　[由题意可得当t＝0时，S＝ae0＝a＝7， 当t＝5时，S＝7e-5k＝3.5＝，则e-5k＝， 两边取自然对数，得－5k＝ln＝－ln 2， 即k＝． 故选A．] 25 【教用·备选题】 1．(2026·山东泰安模拟)青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和5.0，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为V1，V2，则的值所在区间是(　　) A．(1.5，2) B．(2，2.5) C．(2.5，3) D．(3，3.5) √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 26 D　[依题意，两式相减得0.5＝lg V2－lg V1＝lg∈(3，3.5)．故选D．] 27 2．英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型．如果物体的初始温度是θ1，环境温度是θ0，则经过t min物体的温度θ将满足θ＝θ0＋(θ1－θ0)e-kt，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有90 ℃的物体，若放在10 ℃的空气中冷却，经过10 min物体的温度为50 ℃，则若使物体的温度为20 ℃，需要冷却 (　　) A．17.5 min　 B．25.5 min C．30 min D．32.5 min √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 28 C　[由题意得50＝10＋(90－10)e-10k， 即e-10k＝，∴k＝ln 2， ∴θ＝θ0＋(θ1－θ0)， 由20＝10＋(90－10)， 即－ln 2＝ln ＝－3ln 2，解得t＝30， ∴若使物体的温度为20 ℃，需要冷却30 min．故选C．] 29 考点三　构建函数模型的实际问题 [典例3]　环保生活，低碳出行，新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速80 km/h(不含80 km/h)．经多次测试，得到该汽车每小时耗电量M(单位：Wh)与速度v(单位：km/h)的下列数据： v 0 20 40 60 M 0 3 000 5 600 9 000 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 30 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： M(v)＝＋a，M(v)＝500logav＋b， (1)当0≤v<80时，请选出符合表格所列数据的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号汽车从A地驶到B地，前一段是200 km的国道，后一段是100 km的高速路．若已知高速路上该汽车每小时耗电量N(单位：Wh)与速度v(单位：km/h)的关系是：N(v)＝2v2－10v＋200(80≤v≤120)，则如何行驶才能使得总耗电量最少？最少为多少(假设在两段路上分别匀速行驶)？ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 31 [解]　(1)对于M(v)＝500logav＋b，当v＝0时，它无意义，所以不符合题意，对于M(v)＝800＋a，它显然是个减函数，这与M(40)<M(60)矛盾， 故选择M(v)＝v3＋bv2＋cv， 根据提供的数据， 有解得 当0≤v<80时，M(v)＝v3－2v2＋180v． 32 (2)国道路段长为200 km，所用速度为v，所用时间为 h， 设在国道路段上所耗电量为f (v)，f (v)＝·M(v)＝·(0.025v3－2v2＋180v) ＝5×(v2－80v＋7200)＝5×(v－40)2＋28 000， 因为0≤v<80， 所以当v＝40时，f (v)min＝28 000(Wh)． 高速路段长为100 km，所用速度为v1，所用时间为 h， 33 设在高速路段上所耗电量为g(v1)，g(v1)＝·N(v1)＝·(2－10v1＋200)＝200×－1 000， 因为g'(v1)＝200， 当v1>10时，g'(v1)>0，所以g(v1)在[80，120]上单调递增， 所以g(v1)min＝g(80)＝200×－1 000＝15 250(Wh)， 故当这辆车在国道上的行驶速度为40 km/h，在高速路上的行驶速度为80 km/h时，该车从A地到B地的总耗电量最少，最少为28 000＋ 15 250＝43 250 Wh． 34 【教用·备选题】 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝ －38．每件商品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完． (1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－年固定成本－流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 35 [解]　(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元， 依题意得，当0<x<8时， L(x)＝5x－x2＋4x－3； 当x≥8时，L(x)＝5x－． 所以L(x)＝ 36 (2)当0<x<8时，L(x)＝－(x－6)2＋9， 即当x＝6时，L(x)取得最大值，最大值为9万元； 当x≥8时，L(x)＝35－＝35－20＝15， 当且仅当x＝，即x＝10时，等号成立， 即当x＝10时，L(x)取得最大值，最大值为15万元． 因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获年利润最大，最大年利润为15万元． 37 名师点评：构建函数模型解决实际问题的步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型． (2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解． (3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解． 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 38 [巩固迁移] 3．甲、乙两地相距1 000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度x(单位：千米/时)的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元．为使全程运输成本最小，汽车的速度是________千米/时． 60 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 39 60　[设汽车速度为x千米/时，则运输成本为y＝(0.2x2＋720)×， 由y＝(0.2x2＋720)×＝ 24 000， 当且仅当x＝，即x＝60时，等号成立，此时运输成本最小．] 40 【教用·备选题】 (2025·江苏宿迁期末)为了节能减排，某企业决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网．安装这种供电设备的费用y(单位：万元)与太阳能电池板的面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 41 间的函数关系是C(x)＝(k为常数)．已知太阳能 电池板面积为4平方米时，每年消耗的电费为9.2万元，记F(x)(单位：万元)为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年所消耗的电费之和． (1)求常数k的值； (2)写出F(x)的解析式； (3)当x为多少平方米时，F(x)取得最小值？最小值是多少万元？ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 42 [解]　(1)由题意可得，当x＝4时，C(x)＝9.2，所以＝9.2，解得k＝200，故k的值为200． (2)由题意可知F(x)＝15C(x)＋0.5x，又由(1)得，C(x)＝ 当0≤x≤10时，F(x)＝15C(x)＋0.5x＝15×x＋150， 当x>10时，F(x)＝15C(x)＋0.5x＝15×x， 所以F(x)＝ 43 (3)当0≤x≤10时，F(x)＝－x＋150， 因为F(x)在 上单调递减，所以F(x)min＝F(10)＝80； 当x>10时，F(x)＝＝37.5， 当且仅当，即x＝35时，等号成立，此时取得最小值为37.5， 又80>37.5，所以F(x)min＝37.5， 即当x为35平方米时，F(x)取得最小值，最小值为37.5万元． 44 一、单项选择题 1．在一次实验中，某小组测得一组数据(xi，yi)(i＝1，2，…，11)，并由实验数据得到散点图．由此散点图，在区间[－2，3]上，下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx C．y＝a＋logbx D．y＝a＋ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 课后作业(十七)　函数模型的应用 √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 45 B　[由散点图的定义域可排除C，D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 2．地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯·里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为M＝ lg A－lg A0，其中M表示某地地震的里氏震级，A表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，A0表示这次地震中的标准地震振幅．假设在一次地震中，某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5 000，且这次地震的标准地震振幅为0.002，则该地这次地震的里氏震级约为(　　) (参考数据：lg 2≈0.3) A．6.3级 B．6.4级 C．7.4级 D．7.6级 √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 47 B　[由题意，某地地震波的最大振幅为5 000，且这次地震的标准地震振幅为0.002， 可得M＝lg 5 000－lg 0.002＝lg＝4－lg 2－(lg 2－3)＝7－2lg 2≈6.4． 故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 48 3．在我国，每年因酒后驾车引发的交通事故达数万起，酒后驾车已经成为交通事故的第一大“杀手”．《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20 mg/100 mL．某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量V(t)(单位：mg/100 mL)与饮酒后经过的时间t(单位：h)近似满足关系式V(t) ＝其中W为饮酒者的体重(单位：kg)，m为酒精摄 入量(单位：mL)．根据上述关系式，已知某驾驶员体重75 kg，他快速饮用了含150 mL酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在(　　) (参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.1，ln 5≈1.61) A．12小时后 B．24小时后 C．26小时后 D．28小时后 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 49 B　[当0≤t<1时，V(t)＝×(－t2＋2t＋1)＝－[(t－1)2－2]，所以V(t)<V(1)＝＝200>20；当t≥1时，令V(t)＝<20，即，所以t－1>≈23，所以t>24．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 50 4．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害．为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜．根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P(单位：万元)、种黄瓜的年收入Q(单位：万元)与各自的投入资金a1，a2(单位：万元)满足P＝80＋4a2＋120．设甲大棚的投入资金为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f (x)(单位：万元)，则总收入f (x)的最大值为(　　) A．282万元 B．228万元 C．283万元 D．229万元 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 51 A　[由题意可知，甲大棚的投入资金为x(单位：万元)，乙大棚的投入资金为200－x(单位：万元)， 所以f (x)＝80＋4(200－x)＋120＝－＋250， 由 可得40≤x≤160， 令t＝，则t∈[2，4]， g(t)＝－(t－8)2＋282， 所以当t＝8，即x＝128时，总收入有最大值，最大值为282万元． 故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 52 二、多项选择题 5．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是Pn＝P0(1＋k)n(k>－1)，其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，则(　　) A．当k∈(－1，0)，则这期间人口数呈下降趋势 B．当k∈(－1，0)，则这期间人口数呈摆动变化 C．当k＝，Pn≥2P0时，n的最小值为3 D．当k＝－P0时，n的最小值为3 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 53 AC　[当k∈(－1，0)时，P0>0，0<1＋k<1，由指数函数的性质可知，Pn＝P0(1＋k)n(－1<k<0)是关于n的减函数，即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确； 当k＝时，Pn＝P0≥2P0，所以≥2，所以n≥lo2(n∈N)， lo2∈(2，3)，所以n的最小值为3，故C正确； 当k＝－时，Pn＝P0P0，所以，所以n≥lo(n∈N)， lo2∈(1，2)，所以n的最小值为2，故D不正确．故选AC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 54 6．(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 55 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2 B．p2>10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 √ √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 56 ACD　[因为Lp＝20×lg 随着p的增大而增大，且∈[60，90]，∈[50，60]，所以，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lg ，得p＝p01＝40，所以p3＝p01＝100p0，故C正确；假设p2>10p3，则p01，所以1>10，所以>20，不可能成立，故B不正确；因为 ≥1，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 57 三、填空题 7．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如表所示． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 每户每月用水量 水价 不超过12 m3的部分 3元/m3 超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3 超过18 m3的部分 9元/m3 若某户居民本月缴纳的水费为54元，则此户居民的用水量为_______m3． 15 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 58 15　[设此户居民本月用水量为x m3，缴纳的水费为y元，则当x∈[0，12]时，y＝3x≤36元，不符合题意； 当x∈(12，18]时，y＝12×3＋(x－12)×6＝6x－36，令6x－36＝54，解得x＝15，符合题意； 当x∈(18，＋∞)时，y＝12×3＋6×6＋(x－18)×9＝9x－90>72，不符合题意． 综上所述，此户居民本月用水量为15 m3．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 59 8．研究发现某人的行车速度v(单位：km/h)与行驶地区的人口密度p(单位：人/km2)有如下关系：v＝50×(0.5＋2-0.000 04p)，若此人在人口密度为a人/km2的地区的行车速度为70 km/h，则他在人口密度为2a人/km2的地区的行车速度是________ km/h． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 65.5　[由70＝50×(0.5＋2-0.000 04a)， 得2-0.000 04a＝0.9，所以当人口密度为2a人/km2时，他的行车速度v＝50×(0.5＋2-0.000 04×2a)＝50×[0.5＋(2-0.000 04a)2]＝65.5 km/h．] 65.5 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 60 四、解答题 9．发展新能源汽车是推动绿色发展的战略措施．某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽为x∈[6，10](单位：米)，地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7 200元，总计报价记为P(x)； 方案二：其给出的整体报价为f (x)＝1 200m(m>0)元， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 61 (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29 700元，求m的值； (2)求P(x)的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的x∈[6，10]时，方案二都比方案一省钱，求m的取值范围． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 [解]　(1)当宽度为8米时，方案二的报价为29 700元， 所以f (8)＝1 200m＝29 700⇒m＝18，所以m的值为18． 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 62 (2)设地面长为y，S＝xy＝81⇒y＝， 所以墙面面积为2(x＋y)×3＝6， P(x)＝1 200＋7 200，x∈[6，10]，P(x)＝1 200×2＋7 200≥28 800， 当且仅当x＝，即x＝9时，等号成立， 所以P(x)＝1 200＋7 200，x∈[6，10]，最小值为28 800． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 63 (3)对任意的x∈[6，10]时，方案二都比方案一省钱， 即x∈[6，10]时，1 200m<1 200＋7 200恒成立， 整理得m<， 因为y＝，x∈[6，10]， 设t＝x＋3，则y＝t＋，t∈[9，13]． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 64 又由对勾函数的性质可得y＝t＋在[9，13]上单调递增， m<＝17， 又m>0，所以m∈(0，17)， 所以m的取值范围为(0，17)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 65 一、单项选择题 1．已知集合A＝{x|log2x≤1}，B＝{y|y＝2x，x≤2}，则(　　) A．A∪B＝B B．A∪B＝A C．A∩B＝B D．A∩∁RB＝R 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 阶段评估(三)　(第11课时~第17课时) √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 66 A　[由log2x≤1，解得0<x≤2； 由x≤2，则0<2x≤4， 所以A＝，B＝， 则A⊆B，且∁RB＝， 则A∪B＝B，A∩B＝A，A∩∁RB＝⌀．故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝a-x，y＝logax＋a(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　) A　　　　　　　B C　　　　　　　D √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 68 A　[对于A，B，若y＝a-x＝的图象正确，则0<a<1， ∴y＝logax＋a在定义域上单调递减，又当x＝1时，y＝loga1＋a＝a>0，故A正确，B错误； 对于C，D，若y＝a-x＝的图象正确，则a>1， ∴y＝logax＋a在定义域上单调递增，故C，D错误．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 69 3．(2026·重庆模拟)已知函数f (x)＝ln(a为常数)，则(　　) A．∃a∈R，f (x)为偶函数 B．∃a∈R，f (x)为奇函数 C．∃a∈R，f (x)为既奇又偶函数 D．∀a∈R，f (x)为非奇非偶函数 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 70 B　[根据题意，f (x)＝ln>0， 即(1＋ax)(1－x)>0，若f (x)存在奇偶性， 则定义域对称，必然有1－a＝0，即a＝1， 此时f (x)＝ln，则f (－x)＋f (x)＝ln＝ln 1＝0，则f (x)为奇函数．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 71 4．已知函数f (x)＝ (a>0，且a≠1)在定义域内是增函数，则a的取值范围是(　　) A．(2，3) B．(2，＋∞) C．[2，3] D．(1，4) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 72 C　[由函数f (x)＝ (a>0，且a≠1)在定义域内是增函数， 则满足 解得2≤a≤3，即实数a的取值范围为[2，3]． 故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 73 5．(2025·辽宁大连期末)已知奇函数f (x)的定义域为R，且函数y＝ f (x)图象关于直线x＝2对称．当x∈[0，2]时，f (x)＝x，则f (13)＝ (　　) A．－ C．1 D．－1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 74 A　[已知函数y＝f (x)图象关于直线x＝2对称， 故f (4＋x)＝f (－x)， 又f (x)为奇函数，故f (－x)＝－f (x)，所以f (4＋x)＝－f (x)， 可得f (8＋x)＝－f (4＋x)，故f (x)＝f (8＋x)，y＝f (x)的一个周期为8， 故f (13)＝f (5)＝－f (1)， x∈[0，2]时，f (x)＝x，故f (1)＝， 所以f (13)＝－f (1)＝－．故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 75 6．(2026·广东深圳模拟)已知a＝log84，b＝log0.40.6，c＝log32，则 (　　) A．b<a<c B．b<c<a C．c<a<b D．c<b<a 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 76 B　[由于a＝log84＝lo，又23<32， 则2<，c＝log32<log3＝a，即c<a． 由于b－c＝lo ＝<0⇒b<c． 则b<c<a．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 77 二、多项选择题 7．(2026·河北石家庄模拟)若x，y∈R，则“x3<y3”的一个充分不必要条件是(　　) A．x<y B．lg(y－x)>0 C．>0 D．ex<ey 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 78 BC　[对于A，x3<y3⇔x<y，所以x<y是x3<y3的充要条件，故A错误； 对于B，由lg(y－x)>0可得y－x>1，即y>x＋1>x，x3<y3， 反之，y3>x3不一定推出y>x＋1， 所以lg(y－x)>0是x3<y3的充分不必要条件，故B正确； 对于C，由>0可得0<x<y，所以x3<y3，反之，x3<y3不一定推出0<x<y， 所以>0是x3<y3的充分不必要条件，故C正确； 对于D，因为ex<ey⇔x<y，所以ex<ey是x3<y3的充要条件，故D错误． 故选BC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 79 8．(2026·山东淄博模拟)已知函数f (x)＝log2x＋log2(8－x)，则下列说法正确的是(　　) A．f (x)的图象是轴对称图形 B．f (x)在(0，3)内单调递增 C．f (x)的值域为(0，4] D．f (x)恰有两个零点 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 80 ABD　[函数f (x)的定义域为(0，8)，f (x)＝log2x＋log2(8－x)＝log2(－x2＋8x)，故f (x)的图象关于直线x＝4对称，A正确； t(x)＝－x2＋8x在(0，4)内单调递增，且y＝log2t在其定义域内单调递增，B正确； 当x∈(0，8)时，t(x)＝－x2＋8x∈(0，16]，故f (x)的值域为(－∞，4]，C错误； 令f (x)＝0，则x2－8x＋1＝0，易得x2－8x＋1＝0有两个解，这两个解均在(0，8)内，D正确．故选ABD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 81 三、填空题 9．(2026·湖北襄阳模拟)已知函数f (x)在R上单调递增，函数g(x)是定义在R上的奇函数，且f (x)－g(x)＝－x，则g(x)可以是______________________．(写出一个满足条件的函数即可) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 x3＋x(答案不唯一) 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 82 x3＋x(答案不唯一)　[由⇒⇒ f (－x)＝－f (x)， 所以f (x)是R上的增函数且也是奇函数，构造f (x)＝x3， 所以g(x)＝f (x)＋x＝x3＋x满足条件．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 83 10．已知函数y＝ax-2＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＝2上，其中m>0，n>0，则的最小值为____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 　[对于函数y＝ax-2＋3(a>0，且a≠1)，令x－2＝0，则y＝4，则函数y＝ax-2＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A(2，4)，则2m＋4n＝2， 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 84 所以m＋2n＝1． 又m>0，n>0， 故(m＋2n)＝2＋， 当且仅当 即m＝，n＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 85 四、解答题 11．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f (x)＝log2x． (1)求f (x)的解析式； (2)设函数g(x)＝f (x)·f ，x∈[1，8]，求g(x)的值域． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 86 [解]　(1)因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (0)＝0． 又当x>0时，f (x)＝log2x，所以当x<0时，f (x)＝－f (－x)＝－log2(－x)． 所以f (x)＝ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 87 (2)由题意，得g(x)＝log2x·log2＝log2x·(log2x－2)＝(log2x)2－2log2x． 令log2x＝t，t∈[0，3]，构造函数h(t)＝t2－2t，问题等价于求h(t)＝t2－2t，t∈[0，3]的值域． 因为函数h(t)＝t2－2t的图象开口向上，对称轴为直线t＝1，所以h(t)在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增． 又h(1)＝1－2＝－1，h(0)＝0，h(3)＝9－6＝3， 所以h(t)min＝－1，h(t)max＝3． 所以g(x)的值域为[－1，3]． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 88 12．已知函数f (x)＝a－． (1)求φ的值； (2)判断函数f (x)的单调性并加以证明； (3)当a＝1时，证明：φ(x)的图象是中心对称图形． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 89 [解]　 (1)φ＋f (2)＝． (2)f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增． 证明如下． 设x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1<x2，则 f (x1)－f (x2)＝＝． 由x1<x2，可知0<<0，＋1>0，＋1>0． 所以f (x1)－f (x2)<0， 即f (x1)<f (x2)．所以f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 90 (3)证明：当a＝1时，f (x)＝1－． 因为f (－x)＝＝－f (x)，且f (x)的定义域关于原点对称， 所以f (x)为奇函数，图象关于原点对称． 又φ(x)＝，所以φ(x)的图象关于点对称． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 91 13．设函数f (x)是R上的增函数，对任意x，y∈R，都有__________． 在①f (x＋y)＝f (x)＋f (y)，②yf (x)－xf (y)＝xy(x2－y2)中任选一个条件，然后解答以下问题． (1)求f (0)； (2)求证：f (x)是奇函数； (3)若f (x2＋1)＋f (3x－5)<0，求实数x的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第17课时　函数模型的应用 92 [解]　若选①：(1)由函数y＝f (x)对任意x，y∈R都有f (x＋y)＝f (x)＋ f (y)， 得函数的定义域为R，令x＝y＝0，可得f (0)＝0． (2)证明：令y＝－x，可得f (x－x)＝f (x)＋f (－x)， 即0＝f (x)＋f (－x)， ∴f (－x)＝－f (x)， 因此，函数y＝f (x)为奇函数． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 93 (3)奇函数f (x)是R上的增函数， 由f (x2＋1)＋f (3x－5)<0， 即f (1＋x2)<f (5－3x)， 即有1＋x2<5－3x， 解得－4<x<1． 所以实数x的取值范围为(－4，1)． 若选②：(1)对任意x，y∈R，都有yf (x)－xf (y)＝xy(x2－y2)， 令x＝1，y＝0，可得0－f (0)＝0，即f (0)＝0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 94 (2)证明：对任意x，y∈R，都有yf (x)－xf (y)＝xy(x2－y2)， 令y＝－x，可得－xf (x)－xf (－x)＝－x2(x2－x2)， 可得－x[f (x)＋f (－x)]＝0，由x∈R，可得f (－x)＝－f (x)， 故f (x)为奇函数． (3)奇函数f (x)是R上的增函数， 由f (x2＋1)＋f (3x－5)<0，即f (1＋x2)<f (5－3x)， 即有1＋x2<5－3x， 解得－4<x<1．所以实数x的取值范围为(－4，1)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 95 谢 谢 ！ $