第12节　函数模型的应用课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数模型的应用”专题，依据新课标要求和高考评价体系，梳理了函数图象刻画、已知模型应用、构建模型解决问题三大核心考点，通过真题分析明确指数、对数、幂函数模型应用占比达60%，归纳出图象辨析、模型计算、最值求解等常考题型。 课件亮点在于“真题引领+规律总结+素养提升”，以2024北京高考生物丰富度指数题、2023新高考Ⅰ卷声压级题为例，提炼待定系数法、对数运算等解题技巧，培养学生用数学眼光观察现实问题、用数学思维分析数据的素养。通过“建模-推理-验证”步骤指导，助力学生掌握实际问题转化方法，教师可据此实现精准复习，提升备考效率。

第12节　函数模型的应用 课标要求 1. 了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异. 2. 理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的现实含义. 3. 能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用. 目录/ CONTENTS 考点一 用函数图象刻画变化过程 01 考点二 已知函数模型解决实际问题 02 提能点 构建函数模型解决实际问题 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 用函数图象刻画变化过程 目 录 　三种函数模型的性质 　　　函数 性质　　　 y＝ax（a＞1） y＝logax（a＞1） y＝xα（α＞0） 在（0，＋∞） 上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐 渐表现为 与 ⁠平行 随x的增大逐渐表现为与 ⁠平行 随α值的变化而 各有不同 y轴　 x轴　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 在一次实验中，某小组测得一组数据（xi，yi）（i＝1，2，…， 11），并由实验数据得到散点图.由此散点图，在区间[－2，3]上，下列 四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是 （　　） A. y＝a＋bx B. y＝a＋bx C. y＝a＋logbx D. y＝a＋ √ 解析： 由散点图的定义域可排除C、D选项，由散点图的增长方式可知 函数模型为指数型. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 用函数图象刻画变化过程的两种方法 （1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模 型，再结合模型选图象； （2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变 化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情 况的答案. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练1 已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点 运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f（x）的图 象是（　　） √ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　依题意知，当0≤x≤4时，f（x）＝2x；当4＜x≤8时，f （x）＝8；当8＜x≤12时，f（x）＝24－2x，观察四个选项知D项符合 要求. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 02 PART 考点二 已知函数模型解决实际问题 目 录 　几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0） 二次函数模型 f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0） 反比例函数模型 f（x）＝ ＋b（k，b为常数，k≠0） 指数函数模型 f（x）＝bax＋c（a，b，c为常数，a＞0且 a≠1，b≠0） 高中总复习·数学（创新版） 目 录 函数模型 函数解析式 对数函数模型 f（x）＝blogax＋c（a，b，c为常数，a＞0且 a≠1，b≠0） 幂函数模型 f（x）＝axα＋b（a，b，α为常数，a≠0，α≠0） 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （1）（2024·北京高考7题）生物丰富度指数d＝ 是河流水质的一 个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生 物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有 变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则 （　D　） A. 3N2＝2N1 B. 2N2＝3N1 C. ＝ D. ＝ 解析： 由题意，得 ＝2.1， ＝3.15.若S不变，则2.1ln N1＝ 3.15ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以 ＝ . D 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的 观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》 中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行 星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：T＝ · ，其 中M为太阳质量，G为引力常量.已知火星的公转周期约为水星的8倍，则 火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（　B　） A. 2倍 B. 4倍 C. 6倍 D. 8倍 B 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：设火星的公转周期为T1，椭圆轨道的长半轴长为a1，水星的公转周 期为T2，椭圆轨道的长半轴长为a2，则T1＝8T2，且 得 ＝ ＝8，所以 ＝4，即a1＝4a2. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 已知函数模型解决实际问题的关键 （1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数； （2）根据已知，利用待定系数法确定模型中的待定系数； （3）利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行 检验. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练2 （1）根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室 内甲醛浓度≤0.1 mg/m3为安全范围.已知某新建文化娱乐场所竣工时室内 甲醛浓度为6.05 mg/m3，使用了甲醛喷剂并处于良好通风环境下时，室内 甲醛浓度μ（t）（单位：mg/m3）与竣工后保持良好通风的时间t （t∈N）（单位：天）近似满足函数关系式μ（t）＝λ ＋0.05 （λ∈R），则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至 少需要放置的时间为（参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6） （　C　） C A. 32天 B. 33天 C. 34天 D. 35天 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 依题意可知当t＝0时，μ（t）＝6.05，即6.05＝λ ＋ 0.05，解得λ＝6，所以μ（t）＝6 ＋0.05，由μ（t）＝6 ＋ 0.05≤0.1，得 ≤ ，即－ ≤ln ，即 ≥ln 120＝3ln 2＋ln 3＋ln 5≈3×0.7＋1.1＋1.6＝4.8，所以t≥33.6，又t∈N，所以tmin＝34，至少 需要放置的时间为34天. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）（2026·湖北襄阳模拟）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备 生产的产品可获得的总利润s（单位：百万元）与新设备运行的时间t（单 位：年，t∈N*）满足s＝ 当新设备生产的产 品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间t＝（　B　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 B 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润y＝ ＝ 当t＜8时，2t＋ ≥28，当且仅当t＝7时，等号 成立，则－2t－ ＋50≤22，所以当t＝7时， 取得最大值，且最大值为 22.当t≥8时，－t2＋10t－2＝－（t－5）2＋23，所以函数在[8，＋∞） 上单调递减，所以当t＝8时， 取得最大值，且最大值为14，故当新设备 生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间t＝7. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 03 PART 提能点 构建函数模型解决实际问题 目 录 “打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实 现多次弹跳，弹跳次数越多越好.小赵同学在玩“打水漂”游戏时，将一 石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为20 m/s，然后 石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素，假设石片每一次接触 水面时的速度均为上一次的85％，若石片接触水面时的速度低于6 m/s，石 片就不再弹跳，沉入水底，则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为 （参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48，lg 17≈1.23）（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 √ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　设石片第n次接触水面时的速度为vn，则vn＝20×0.85n－1，由 题意得20×0.85n－1≥6，即0.85n－1≥0.3，得n－1≤log0.850.3，又 log0.850.3＝ ＝ ＝ ＝ ≈7.4，所以n≤8.4， 故这次“打水漂”石片的弹跳次数为8. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 构造函数模型解决实际问题的步骤 建模 抽象出实际问题的数学模型 推理、演算 对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学 意义上的解 评价、解释 对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然 后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练3 近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便.某 共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每 座城市至少要投资40万元.由前期市场调研可知：甲城市收益P（单位：万 元）与投入a（单位：万元）满足P＝3 －6，乙城市收益Q（单位： 万元）与投入A（单位：万元）满足Q＝ A＋2，则投资这两座城市收益 的最大值为 万元. 44 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：设甲城市投资a万元，则乙城市投资（120－a）万元，由题意可知 解得40≤a≤80，设投资这两座城市收益为y，则 有y＝3 －6＋ （120－a）＋2＝3 － a＋26，令 ＝ t⇒t∈[2 ，4 ]，则有f（t）＝－ t2＋3 t＋26，该二次函数的图 象开口向下，且对称轴t＝6 ∈[2 ，4 ]，所以f（t）max＝f （6 ）＝－ ×（6 ）2＋3 ×6 ＋26＝44.故投资这两座城市收益 最大值为44万元. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：90分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1. 现有一组关于速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的实验数据 如表： t 2.0 3.0 4.0 5.1 6.18 v 1.5 4.02 7.5 12 18.3 用下列函数中的一个近似地表示这组数据满足的规律，其中最接近的一个 是（　　） A. v＝log2t B. v＝lo t C. v＝ D. v＝2t－2 √ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 从表中数据的变化趋势看，函数递增的速度不断加快，A项， 是对数函数模型，其递增速度越来越慢，不符合题意；B项，随着t的增 大，速度变小，不符合题意，C项，是二次函数模型，对比数据，其最接 近实验数据的变化趋势，符合题意；D项，是一次函数模型，增长速度不 变，不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. 高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，若鱼缸水深为h时水 的体积为v，则函数v＝f（h）的大致图象是（　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　由图可知水深h越大，水的体积v就越大，故函数v＝f（h）是 个增函数，故排除A、C项，由鱼缸形状可知，下面细中间粗上面细，所以 随着水深的增加，体积的变化的速度是先慢后快再慢，所以B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 3. 我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要 求.音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大 小η可由如下公式计算：η＝10lg （其中I0是人耳能听到声音的最低声波 强度），则70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的 （　　） A. 倍 B. 10 倍 C. 10倍 D. ln 倍 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　由η＝10lg 得I＝I01 ，所以I1＝I0107，I2＝I0106，所以 ＝ 10，所以70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的10倍. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 4. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2023年全年 投入研发资金160万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 10％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数 据：lg 1.1≈0.04，lg 2≈0.30）（　　） A. 2024年 B. 2025年 C. 2026年 D. 2027年 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　设x年后，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，则160 （1＋10％）x＞200，即1.1x＞ ，取常用对数得xlg 1.1＞lg 5－2lg 2，x ＞ ＝ ＝ ≈ ＝2.5，故该公司全年投入的研发资 金开始超过200万元的年份是2026年. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 5. 某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f（x）（毫克/毫升）随时间x（小 时）变化的规律近似满足表达式f（x）＝ 《酒后驾车 与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过 0.02毫克/毫升，若此驾驶员至少要过（精确到1小时）n小时后才能开车. 则n＝（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　当0≤x≤1时，由f（x）≤0.02，得5x－2≤0.02，解得x≤2＋ log50.02＝log50.5＜0，不符合题意；当x＞1时，由f（x）≤0.02，得 · ≤0.02，即31－x≤0.1，解得x≥1－log30.1＝1＋log310.因为3＜1 ＋log310＜4，所以此驾驶员至少要过4小时后才能开车. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 6. 〔多选〕某智能手机生产厂家对其旗下的某款手机的续航能力进行了一 轮测试（一轮测试时长为6 h），得到了剩余电量y（单位：百分比）与测 试时间t（单位：h）的函数图象如图所示，则下列判断正确的有（　　） A. 测试结束时，该手机剩余电量为85％ B. 该手机在前5 h内电量始终在匀速下降 C. 该手机在0 h～3 h内电量下降的速度比3 h～5 h内下降 的速度更快 D. 该手机在5 h～6 h进行了充电操作 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　对于A，由题图可得，当t＝6时，y＝85，所以测试结束 时，该手机剩余电量为85％，故A正确；对于B，由题图可得该手机在前5 h内电量下降不是一条直线，故不是匀速下降，故B错误；对于C，由题图 可得，在0 h～3 h内电量下降的速度为 ＝ ，在3 h～5 h内电量下降 的速度为 ＝10， ＞10，故C正确；对于D，由题图可得该手机在5 h～6 h电量上升了55％，所以进行了充电操作，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 7. （2026·山东青岛检测）一个动力船拖动载重量相等的小船若干只，在 两个港口之间来回运货.若拖4只小船，则每天能往返16次；若拖7只小 船，则每天能往返10次.已知增加的小船只数与相应减少的往返次数成正 比例.为使得每天运货总量最大，则每次要拖 只小船. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：设每天每次拖x只小船，每天往返y次，每只小船的载重量为M， 每天的运货总重量为G. 由题意设y＝kx＋b（k≠0），则 解得 所以y＝－2x＋24，所以每天运货总重量G＝Mxy＝Mx （－2x＋24）＝－2M（x－6）2＋72M，所以当x＝6，y＝12时，G取得 最大值为72M，即每次要拖6只小船. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 8. 某地要建造一批外形为长方体的简易工作房，如图所示.房子的高度为3 m，占地面积为6 m2，墙体ABFE和DCGH的造价均为80元/m2，墙体 ADHE和BCGF的造价均为120元/m2，地面和房顶的造价共2 000元.则一个 这样的简易工作房的总造价最低为 元. 4 880 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：设AB＝x，x＞0，则BC＝ ，则这个简易工作房总造价为 2×3x×80＋2× ×3×120＋2 000＝480x＋ ＋2 000，因为480x＋ ＋2 000≥2 ＋2 000＝4 880，当且仅当480x＝ ，即x ＝3时等号成立，所以一个这样的简易工作房的总造价最低为4 880元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 9. 为弘扬“中国女排精神”，加强青少年体育发展.学校在体育课中组织 学生进行排球练习，某同学以初速度v0＝12 m/s竖直上抛一排球，该排球 能够在抛出点2 m以上的位置最多停留时间为 s（保留两位小数）. （注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h（m）与 时间t（s）满足关系式h＝v0t－ gt2，其中g＝9.8 m/s2， ≈25.59） 2.09 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：由题意，竖直上抛的物体距离抛出点的高度h（m）与时间t（s） 满足关系式h＝v0t－ gt2，因为v0＝12 m/s，所以h＝12t－ ×9.8t2.令h ＝2，可得12t－ ×9.8t2＝2，即49t2－120t＋20＝0，所以t1＋t2＝ ， t1t2＝ ，所以｜t1－t2｜＝ ＝ ≈2.09 s.所以排 球能够在抛出点2 m以上的位置最多停留时间为2.09 s. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 10. （13分）近年来城市交通拥堵严重，某市区内主要街道经常出现堵车 现象.电动自行车由于其体型小、灵活性强、易操作，成为市民出行的常 用交通工具.据观测，出行高峰时段某路段内的电动自行车流量Q（千辆/ 小时）与电动自行车的平均速度v（千米/小时）（注：国家规定电动自行 车最大设计时速为25千米/小时）具有以下函数关系： Q（v）＝ （0＜v≤25）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （1）欲使电动自行车流量不少于10千辆/小时，求v的取值范围； 解：电动自行车流量不少于10千辆/小时，即Q（v）＝ ≥10， 化简可得v2－58v＋400≤0，解得8≤v≤50. 又因为最高设计时速为25千米/小时，故8≤v≤25， 所以欲使电动自行车流量不少于10千辆/小时，v的取值范围应为[8，25]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）当电动自行车流量Q最大时，求v的值并估计最大流量（精确到 0.1）. 解： Q（v）＝ ＝ ，由基本不等式可得v＋ ≥2 ＝2 ＝40， 当且仅当v＝ ，即v＝20时取等号. 此时电动自行车流量有最大值，最大值为Q（20）＝ ＝ ≈14.3， 故当平均速度为20千米/小时时，电动自行车流量最大，最大值约为14.3千 辆/小时. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 11. 2024年中国载人航天工程统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测 两大任务，其中，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推 进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，当空间站运 行周期增加1倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是（参考数据：ln 2≈0.693，e0.462≈1.587）（　　） A. 1.587 B. 1.442 C. 0.587 D. 0.442 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，设T2＝ kR3，当空间站运行周期增加1倍时，设此时半径为R1，则（2T）2＝ k ，两式相除得4＝ ，即ln 4＝ln ，ln ＝ ≈0.462，故 ≈e0.462≈1.587，故圆轨道半径增加的倍数大约是1.587－1＝0.587. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 12. 〔多选〕（2023·新高考Ⅰ卷10题）噪声污染问题越来越受到重视.用声 压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0（p0＞0） 是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别 为p1，p2，p3，则（　　） A. p1≥p2 B. p2＞10p3 C. p3＝100p0 D. p1≤100p2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： 　由Lp＝20×lg ，得p＝p0×1 .由题表中的数据可知 p0×103≤p1≤p0×1 ，p0×1 ≤p2≤p0×103，p3＝p0×102＝100p0， 故A、C正确；因为10p3＝10×100p0＝p0×103≥p2，故B错误；因为 p0×1 ≤100p2≤p0×105，所以p1≤100p2，故D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 13. “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展 和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物 的含量为1.2 mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20 ％，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2 mg/cm3，若要 使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为（参考数 据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.477） ⁠. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：过滤第1次污染物的含量为1.2×（1－0.2）（mg/cm3）；过滤第2 次污染物的含量为1.2×（1－0.2）2（mg/cm3）；过滤第3次污染物的含量 为1.2×（1－0.2）3（mg/cm3）；…；过滤第n次污染物的含量为1.2× （1－0.2）n（mg/cm3）.要求废气中该污染物的含量不能超过0.2 mg/cm3，则1.2（1－0.2）n≤0.2，即（ ）n≥6，两边取以10为底的对数 可得lg（ ）n≥lg 6，即nlg（ ）≥lg 2＋lg 3，所以n≥ ，因为 lg 2≈0.3，lg 3≈0.477，所以 ≈ ＝7.77，所以n≥7.77， 又n∈N*，所以nmin＝8，故排放前需要过滤的次数至少为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 14. （15分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点. 研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均 生长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数. 当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4＜x≤20时，v是x的一 次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年. （1）当0＜x≤20时，求v关于x的函数解析式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解： 由题意得，当0＜x≤4时，v＝2；当4＜x≤20时，设v＝ax＋b （a≠0）， 显然v＝ax＋b在（4，20]内单调递减， 由已知得 解得 所以v＝－ x＋ . 故函数v＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以 达到最大？并求出最大值. 解： 设年生长量为f（x）千克/立方米，依题意并由（1）可得 f（x）＝ 当0＜x≤4时，f（x）单调递增， 故f（x）max＝f（4）＝4×2＝8； 当4＜x≤20时，f（x）＝－ x2＋ x＝－ （x2－20x）＝－ （x－10）2＋ ， f（x）max＝f（10）＝12.5.所以当0＜x≤20时，f（x）的最大值为12.5. 即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为 12.5千克/立方米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $