精品解析：2026年四川省宜宾市第二中学中考考前诊断性考试数学试卷

宜宾市二中2026年春期九年级第三次诊断性考试 数学试卷 考试时间：120分钟；全卷满分：150分 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2026 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 根据一个负数的绝对值等于它的相反数求解即可． 【详解】解：∵是负数， ∴其绝对值为其相反数，即． 故选A． 2. 2026年“五一”假期，宜宾旅游市场表现火爆．全市共接待游客约307万人次，将数据“307万”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：307万． 3. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】从上往下看这个几何体即可解题． 【详解】解：从上往下看这个几何体，可得到俯视图是，一个大矩形的左侧有一个小矩形，故选项A正确． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方，根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方的运算法则计算即可得解． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 六位同学的年龄分别是13、14、15、14、14、15岁，关于这组数据，正确说法是（ ） A. 平均数是14 B. 中位数是14.5 C. 方差3 D. 众数是14 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出平均数、中位数、方差、众数后，进行判断即可． 【详解】解：A．六位同学的年龄的平均数为，故选项错误，不符合题意； B．六位同学的年龄按照从小到大排列为：13、14、14、14、15、15， ∴中位数为，故选项错误，不符合题意； C．六位同学的年龄的方差为，故选项错误，不符合题意； D．六位同学的年龄中出现次数最多的是14，共出现3次，故众数为14，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了平均数、中位数、方差、众数，熟练掌握平均数、中位数、方差、众数的求法是解题的关键． 6. 如图，平行光线和经过凹面镜反射后汇聚于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，根据平行线的性质得出，再证明，得出，根据角的和差即可得出答案． 【详解】解：过点作，如图： ，， ， ∵， ∴， ， ∴， ． 7. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱”列方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 8. 如图，矩形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于二分之一长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交，于点，，则的长为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设与交于点，由作图可知平分，证明，得出，进而求出的长；利用证明，求出的长，最后在中利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，设与交于点， 由作图过程可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，． 9. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数的图象上，延长交轴于点．若点的横坐标为4，则的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】作轴于点，轴于点，可证明，得到，设，得到，设直线的函数解析式为，求出直线的函数解析式为，得到，，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解∶如图，作轴于点，轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 点、点在函数（，）的图象上， 设， ， ， ，， ， ， ， 设直线的函数解析式为， 将代入得 解得， 直线的函数解析式为， ， ， ， ， 解得或， 经检验或是原方程的解， 当时轴，点在轴上，不符合题意，舍去， ， ． 10. 如图，是的直径，为上一点，且，为圆上一动点，点为的中点，连接．若的半径为，则的长最小时的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，连接、、，过点作于，根据垂径定理得出，确定出点的运动轨迹为以为直径的，当，，三点共线时，的值最小，利用勾股定理得出，利用“等积法”求出，利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图，取的中点，连接、、，过点作于， ∵点为的中点，为圆心， ∴，即， ∴点在以点为圆心，为直径的圆上， ∴当，，三点共线时，的值最小， ∵的半径为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 11. 如图，中，，，分别以的三边为腰向外作等腰直角三角形：，，，其中．，，，分别是，，的中点．连接，，，．下列结论正确的有（ ） ①．②．③．④四边形的面积为34． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①根据等腰直角三角形的性质和角之间的数量关系，即可求解；②根据等腰直角三角形的性质，可得，，三点共线，再根据勾股定理求，，利用“三线合一”和“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”，可得，，，的长，最后利用勾股定理，即可求；③连接，，作于点，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，可得，再根据，可得点、、、四点在以为直径的圆上，利用圆周角定理可得，从而，，是等腰直角三角形，利用勾股定理，可得，，，代入计算即可；④根据，计算即可求解． 【详解】解：①是等腰直角三角形，， ， 是等腰直角三角形，，是的中点， ， ， ， ，故①正确； ②，是等腰直角三角形，， ，，， ， ，即，，三点共线， 在中，， 同理可得，， ，，分别是，的中点， ，，， ， 在中，，故②正确； ③如图，连接，，作于点， 是等腰直角三角形，，是的中点， ，，， 在中，， ， 在中，， ， ，，即， 点、、、四点共圆，即在以为直径的圆上， ， ，，即是等腰直角三角形， 设，则， 在中，， 即，解得或， 点在上方， ， 在中，， 在中，， ，， ，故③正确； ④， 故④正确； 综上所述：正确的有4个． 12. 已知点的坐标分别为，，连接，若线段（包括端点）与函数的图象有两个公共点，则的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当线段与函数的图象恰有1个公共点，令，，求出c的值，当线段与函数的图象恰有3个公共点，抛物线与轴交点纵坐标为1，可求c的值，进而得出取值范围；当线段与函数的图象恰有3个公共点，抛物线经过点，求出c的值，当线段与函数的图象恰有2个公共点，抛物线经过点，可求c的值，进而得出取值范围． 【详解】解：如图1所示：线段与函数的图象恰有1个公共点． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，，即， 解得； 如图2所示：线段与函数的图象恰有2个公共点． 抛物线与轴交点纵坐标为1， ， 解得：； 当时，线段与二次函数的图象恰有2个公共点； 如图3所示：线段与二次函数的图象恰有3个公共点． 抛物线经过点， ． 如图4所示：线段与二次函数的图象恰有2个公共点． 抛物线经过点， ， 解得：． 当时，线段与函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，c的取值范围是或． 【点睛】本题以分段二次函数与线段交点为载体，结合抛物线对称轴、顶点与特殊点代入，通过临界值分析与分类讨论确定参数范围，体现了数形结合与分类讨论的核心数学思想． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将答案直接填在答题卡对应题目中横线上． 13. 因式分解： _______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：． 14. 若方程的两个根是和，则的值为______． 【答案】2025 【解析】 【分析】根据方程根的定义得到与a的等量关系，再结合根与系数的关系得到两根之和，整体代入化简即可求解． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴，即． ∴． ∵a，b是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得． ∴原式． 15. 对于两个非零的实数，定义运算※如下：例如：若，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的加减运算，解题的关键是结合新运算法则转化为分式运算．已知等式利用题中的新定义化简，计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 16. 如图，一次函数图像过点．设，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质，先根据一次函数图像过点，得出，根据一次函数与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为，结合函数图像得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数图像过点， ∴， ∴， 把代入得： ， 把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴一次函数与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， 根据函数图象可得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 17. 代数式的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两点距离公式可把的最小值转化为点到三个顶点的距离之和的最小值，这其实就是费马点问题，据此求解即可． 【详解】解：整理得， ， 可以看作点到点的距离， 可以看作点到点的距离， 可以看作点到点的距离， 如图①，建立平面直角坐标系， 设点， 的最小值就转化为点到三个顶点的距离之和的最小值， 如图②，将绕点顺时针旋转得到， 可得， 均是等边三角形， ， ， 当点四点共线时取得最小值，即的长， ，， ， ，， 是等腰三角形，是等边三角形， 垂直平分， 设和的交点为，由勾股定理得， ， 在中，， ， 由勾股定理得， ， 代数式的最小值为． 18. 如图，锐角中，，，于点，于点，连接，则面积的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先证，由求得，得到，利用相似三角形的性质得到，可知当的面积最大时，则的面积最大；作的外接圆，连接，作于点F，交于点H，作于点G，当点A与点H重合时，，此时的值最大，求出此时的面积，再求出的面积即可． 【详解】解：∵于点D，于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当的面积最大时，则的面积最大， 如图，作的外接圆，连接，作于点F，交于点H，作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当点A与点H重合时，，此时的值最大， ∵为定值， ∴此时的面积最大， ∴，， ∴此时是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答中应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）若AE=4，CF=2，求菱形的边长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）利用AAS即可证明△ABE≌△ADF； （2）设菱形的边长为x，利用全等三角形的性质得到BE=DF=x−2，在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD（菱形的四条边相等），∠B=∠D（菱形的对角相等）， ∵AE⊥BC AF⊥CD， ∴∠AEB=∠AFD=90°（垂直的定义）， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF(AAS)； 【小问2详解】 解：设菱形的边长为x， ∴AB=CD=x，CF=2， ∴DF=x−2， ∵△ABE≌△ADF， ∴BE=DF=x−2（全等三角形的对应边相等）， 在Rt△ABE中，∠AEB=90°， ∴AE2+BE2=AB2（勾股定理）， ∴42+(x−2)2=x2， 解得x=5， ∴菱形的边长是5． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 21. 为了启发学生的阅读自觉性，培养学生的学习毅力，学校决定开展“读书月”活动，对学生最喜欢的图书种类进行了一次抽样调查，所有图书分成五类:艺术、文学、科普、传记、其他．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图(每位同学必选且只选最喜欢的一类)，根据图中提供的信息，解答下列问题: （1）这次调查的学生共有________名，喜欢“文学”类的学生有_______名； （2）在扇形统计图中“科普”类所对应的圆心角的度数是________°，“其他”类所对应的百分比是_______； （3）如果要在这五类图书中任选两类进行调查，恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的概率是_________． 【答案】（1）300；75 （2）90；16% （3） 【解析】 【分析】（1）根据喜欢“艺术”类的学生人数和所占百分比可进行求解； （2）根据（1）中的数据可直接进行求解； （3）根据列表法可进行求解概率． 【小问1详解】 解：由统计图可知：这次调查的学生共有（名）；喜欢“文学”类的学生有（名）； 故答案为300；75； 【小问2详解】 解：由（1）可知：“科普”类所对应的圆心角的度数是； “其他”类所对应的百分比是； 故答案为90；16％； 【小问3详解】 解：由题意可列表如下： 艺术 文学 传记 科普 其他 艺术 / √ √ √ √ 文学 √ / √ √ √ 传记 √ √ / √ √ 科普 √ √ √ / √ 其他 √ √ √ √ / ∴在这五类图书中任选两类进行调查共有20种，其中恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的共有2种，则恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的概率为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查扇形与条形统计图及概率，熟练掌握条形统计图与扇形统计图及概率的求解是解题的关键． 22. 西安滨河学校九年级某班七组同学利用课后服务时间进行综合实践活动，在操场看台上测量对面体育馆的高度． 活动主题 测量操场看台对面体育馆的高度 测量工具 测角仪，皮尺，计算器等 测量示意图 测绘过程与数据信息 ①用皮尺测得看台的长为米，坡度i为，看台最低点A到地面的距离为1米，，，，，； ②用测角仪在看台最低点A处测得体育馆顶部D点的仰角为，在看台顶部点B处测得体育馆顶部D点的仰角为； ③用计算器计算得：，，，． 请你根据测量结果，帮助七组同学求出体育馆的高度（结果精确到米）． 【答案】米． 【解析】 【分析】延长交于点N，设，则，求得，设米，则米，，，根据特殊角的正切列式求解即可． 【详解】解：延长交于点N， 根据题意，得， 因为看台的长为米，坡度i为， ， 设，则， ， 解得， ， 根据题意，易证四边形，四边形都是矩形， ，， 设米，则米， 根据题意，得， ， ， 根据题意，得， ， 根据题意，得， 解得（米）， 经检验，，符合题意， 故（米）； 故体育馆的高度为米． 23. 在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于和两点． （1）分别求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）在反比例函数图象上取点，过点作直线（不与轴垂直），交轴于点，连接． （i）如图，当直线与反比例函数的图象有且只有交点时，求点的坐标； （ii）设直线与反比例函数的图象在第一象限内相交于另一点，连接．当时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）（i） （ii） 【解析】 【分析】（1）先求出点A坐标，再将点A坐标代入反比例函数求解即可，反比例函数与正比例函数图象交点关于原点对称； （2）（i）先求出点M的坐标，直线与反比例函数的图象有且只有一个交点时，联立直线l和反比例函数的表达式，，即可求出直线的表达式，令，即可求出点C的坐标； （ii），则和所在直线的K相等，C、D、M三点共线，则和所在直线的K相等． 【小问1详解】 解：∵在直线的图象上， ∴， ∴， ∵直线与反比例函数的图象相交于A和两点， ∴点A、点B关于原点对称， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数的表达式为， 答：反比例函数的表达式为，点的坐标为； 【小问2详解】 （i）∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 将代入得：， 即， ∴直线的表达式为， 联立，得：， 整理得：， ∵直线与反比例函数的图象有且只有交点， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为， 令， 解得： ， ∴点的坐标； （ii）设点的坐标为，点C的坐标为， 设所在直线的表达式为：， 将和代入得：， 解得：， 设所在直线的表达式为：， 将代入得：， 解得：， ∵， ∴， 即， 解得：， 设所在直线的表达式为：， 将、代入得：， 解得：； 设所在直线的表达式为：， 将、代入得：， 解得： ， ∵点C、D、M在同一条直线上， ∴， 解得：， ∴， 解得：， ∵点D在第一象限内， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】直线与反比例函数的图象有且只有一个交点时，联立两个表达式，，两条直线平行，则两条直线的所在直线的比例系数相等． 24. 如图，中，，以为直径的与边分别交于点D、E，过E作直线与垂直，垂足为F，且与的延长线交于点G． （1）求证：直线是切线； （2）求证：； （3）若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图：连接，根据圆周角定理可得，再证明是的中位线可得，然后说明即可证明结论； （2）先证明可得，即；再根据勾股定理可得并结合即可证明结论； （3）设，则，由勾股定理可得，再证明可得；设，则，然后证明可得并结合可得，即；最后求比例即可解答． 【小问1详解】 证明：如图：连接， 是的直径， ， ， 又， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线． 【小问2详解】 证明：由（1）可知：， ， 又， ， ， ， 在中，， ， 又， ， ． 【小问3详解】 解：， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， ，， ， ， 设，则， ， ，， ， 又， ， 又， ， 又 ． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为（6，0）且． （1）求抛物线的表达式； （2）若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为的动线段，轴上一点，连接，若四边形为平行四边形，求点的坐标； （3）为（1）中抛物线的顶点，连接．分别是三边上的动点，求周长的最小值． 【答案】（1）抛物线的表达式为． （2）点的横坐标为或． （3）周长的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，，由三角形面积得到，，再利用待定系数法即可求解； （2）连接交于点，利用待定系数法求出直线的解析式为，利用平行四边形的性质得到，，设，利用中点坐标公式可得，代入点到，求出的值得到点的坐标，设，利用勾股定理列出方程，求出的值即可得出答案； （3）求出顶点，作点M关于直线的对称点，点M关于直线的对称点F，连接，分别交于点G，N，此时的周长，要使周长的最小，即应使最小，过点D作于点H，，且为定值，，要最小，则最小，故最小，最小，此时轴，利用三角形相似求出点F，E的坐标，根据两点间距离公式求出，即可得到周长的最小值为． 【小问1详解】 解：抛物线：（）， 当时，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 代入得，， 解得：， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，连接交于点， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 设， ∵， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：，， 当时，， 设，则， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴； ∴ 当时，， 设，则， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴； ∴ ∴综上所述，点的横坐标为或． 【小问3详解】 ∵， ∴顶点， 作点M关于直线的对称点，点M关于直线的对称点F，连接，分别交于点G，N， 此时的周长， 要使周长的最小，即应使最小， 过点D作于点H， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴，且为定值， ∴， ∴， ∴要使最小，则最小，故最小， ∴最小，此时轴， 如图，交于P，过点E作轴于点Q，过点F作轴于点T， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由轴对称得， ∴， 解得，， ∴， 同理可得， ∴ 即最小值为， ∴周长的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜宾市二中2026年春期九年级第三次诊断性考试 数学试卷 考试时间：120分钟；全卷满分：150分 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2026 2. 2026年“五一”假期，宜宾旅游市场表现火爆．全市共接待游客约307万人次，将数据“307万”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 六位同学的年龄分别是13、14、15、14、14、15岁，关于这组数据，正确说法是（ ） A. 平均数是14 B. 中位数是14.5 C. 方差3 D. 众数是14 6. 如图，平行光线和经过凹面镜反射后汇聚于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于二分之一长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交，于点，，则的长为（） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数的图象上，延长交轴于点．若点的横坐标为4，则的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 4 D. 8 10. 如图，是的直径，为上一点，且，为圆上一动点，点为的中点，连接．若的半径为，则的长最小时的面积是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，中，，，分别以的三边为腰向外作等腰直角三角形：，，，其中．，，，分别是，，的中点．连接，，，．下列结论正确的有（ ） ①．②．③．④四边形的面积为34． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 已知点的坐标分别为，，连接，若线段（包括端点）与函数的图象有两个公共点，则的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将答案直接填在答题卡对应题目中横线上． 13. 因式分解： _______． 14. 若方程的两个根是和，则的值为______． 15. 对于两个非零的实数，定义运算※如下：例如：若，则的值为_______． 16. 如图，一次函数图像过点．设，则的取值范围是__________． 17. 代数式的最小值为___________． 18. 如图，锐角中，，，于点，于点，连接，则面积的最大值为___________． 三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答中应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）化简：． 20. 如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）若AE=4，CF=2，求菱形的边长． 21. 为了启发学生的阅读自觉性，培养学生的学习毅力，学校决定开展“读书月”活动，对学生最喜欢的图书种类进行了一次抽样调查，所有图书分成五类:艺术、文学、科普、传记、其他．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图(每位同学必选且只选最喜欢的一类)，根据图中提供的信息，解答下列问题: （1）这次调查的学生共有________名，喜欢“文学”类的学生有_______名； （2）在扇形统计图中“科普”类所对应的圆心角的度数是________°，“其他”类所对应的百分比是_______； （3）如果要在这五类图书中任选两类进行调查，恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的概率是_________． 22. 西安滨河学校九年级某班七组同学利用课后服务时间进行综合实践活动，在操场看台上测量对面体育馆的高度． 活动主题 测量操场看台对面体育馆的高度 测量工具 测角仪，皮尺，计算器等 测量示意图 测绘过程与数据信息 ①用皮尺测得看台的长为米，坡度i为，看台最低点A到地面的距离为1米，，，，，； ②用测角仪在看台最低点A处测得体育馆顶部D点的仰角为，在看台顶部点B处测得体育馆顶部D点的仰角为； ③用计算器计算得：，，，． 请你根据测量结果，帮助七组同学求出体育馆的高度（结果精确到米）． 23. 在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于和两点． （1）分别求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）在反比例函数图象上取点，过点作直线（不与轴垂直），交轴于点，连接． （i）如图，当直线与反比例函数的图象有且只有交点时，求点的坐标； （ii）设直线与反比例函数的图象在第一象限内相交于另一点，连接．当时，求点的坐标． 24. 如图，中，，以为直径的与边分别交于点D、E，过E作直线与垂直，垂足为F，且与的延长线交于点G． （1）求证：直线是切线； （2）求证：； （3）若，求的值． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为（6，0）且． （1）求抛物线的表达式； （2）若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为的动线段，轴上一点，连接，若四边形为平行四边形，求点的坐标； （3）为（1）中抛物线的顶点，连接．分别是三边上的动点，求周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $