精品解析：2026年四川成都市双流区成都金苹果锦城第一中学第三次阶段测试数学试题

初2023级中考数学模拟试题卷 （时间：120分钟；满分150分） A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. “一丝一粟，来处不易”是中国民间谚语，一粒粟的重量非常轻，大约为千克，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 估计的值应在( ) A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为的直径，点，在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若与是以点为位似中心的位似图形，若的周长等于周长的，，则，两点之间的距离为（ ） A. 2 B. C. 5 D. 6. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 某新能源企业第一个月生产钠离子电池成本为605万元，因技术升级，生产成本逐月下降，第三个月生产钠离子电池成本为500万元.设该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，与轴负半轴的交点横坐标在和之间．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若点，关于轴对称，则的值是________． 10. 因式分解：________． 11. 直线y=k1x+b与双曲线y=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式＞k1x+b的解集为____． 12. 如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于两点，过这两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为______． 13. 如图，在中，，．现随机向三角形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算和化简 （1）计算：． （2）先化简：，再从，1，3三个数中选取一个合适的数值作为的值代入求值． 15. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．我校七年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型项目，分别是决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能（分别记为，，，）．每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并制作了如下统计图表： 项目 选择人数 频率 8 0.25 28 24 0.3 （1）填空：________，________；扇形统计图中“（语音类人工智能）”所对应的圆心角的度数为________； （2）若我校共有名七年级学生参加此次活动，那么估计其中选择“（人工智能机器人）”项目意向的学生大概有________人； （3）已知甲、乙两位同学都选了，丙同学选了，丁同学选了，从中选人到人工智能研究院观摩学习，请利用画树状图或列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率． 16. 综合实践：如何测量出路灯的灯杆和灯管支架的长度？ 素材1：如图1，一种路灯由灯杆和灯管支架两部分构成，已知灯杆与地面垂直，灯管支架与灯杆的夹角． 素材2：如图2，在路灯正前方的点D处测得，，． 根据以上素材解决问题： （1）求灯杆的长度． （2）求灯管支架的长度．（结果精确到．参考数据：） 17. 如图，为的直径，为上一点，点为的中点，连接，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）延长交的延长线于点，连接交于点（如图2），若，，求的半径和的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴相交于点，点在反比例函数图象上． （1）求的值及点的坐标； （2）若为等腰直角三角形，，求反比例函数的解析式； （3）过点，的直线与轴交于点，点与点关于点对称，若存在，使得，请直接写出的值． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，，那么代数式的值_____． 20. 若关于的不等式只有负数解，则的取值范围是___________． 21. 已知关于的方程的两实根为，，则的最小值是________． 22. 如图，在中，，，．是边上一动点，连接，以为边，在的右侧作，使得，连接．若，则的长为________． 23. 若平面直角坐标系内的点满足横，纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．例如：、 都是“整点”．抛物线与x轴交于点、两点，当时，该抛物线在、之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有__________个整点；若该抛物线在、之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则的取值范围是__________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为12米．设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米． （1） ______米， ______平方米．（用含x的代数式表示） （2）若，求x的值． （3）如图2，若在分成的两个小矩形的正前方和中间的篱笆隔墙各开一个1米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值？最大值为多少？ 25. 【问题背景】 （1）如图1，在中，，于．求证：． 【问题迁移】 （2）如图2，在中，，于，为线段上一点，连接并延长至点，连接，．当时，请判断的形状，并说明理由． 【问题延伸】 （3）如图3，中，，，，将边绕点旋转得到线段，在射线上取一点，连接，．若，当线段的长度最小时，求线段的长． 26. 如图，平面直角坐标系中，顶点为的抛物线交轴于，两点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）作直线，分别交轴、线段及抛物线于，，三点，连接，若与相似，求的值； （3）设为线段的中点，过点的直线（异于直线）交抛物线于，两点（点在点的左侧），直线与直线交于点．试问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2023级中考数学模拟试题卷 （时间：120分钟；满分150分） A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. “一丝一粟，来处不易”是中国民间谚语，一粒粟的重量非常轻，大约为千克，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：科学记数法表示绝对值小于的数的形式为，要求 ，为原数左起第一个非零数字前所有零的个数（包含小数点前的零）， ∵左起第一个非零数字为，其前面共有个零，且满足， ∴． 2. 估计的值应在( ) A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】先将原式化简为最简二次根式，再估算无理数的取值范围即可得到结果． 【详解】解： ，且 即原式的值在和之间． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘除，同类项的概念与合并规则，积的乘方运算法则，掌握整式的幂运算法则是解题关键． 根据整式的幂运算及同类项运算规则对选项依次判断即可． 【详解】解：∵，∴正确； ∵，∴错误； ∵，∴错误； ∵，∴错误． 故选：． 4. 如图，为的直径，点，在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，再根据直径所对的圆周角为直角，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 5. 如图，若与是以点为位似中心的位似图形，若的周长等于周长的，，则，两点之间的距离为（ ） A. 2 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似图形的性质，周长比等于相似比，对应点到位似中心的距离之比等于相似比，求出的长，再利用线段的和差关系求解即可． 【详解】 解：与是以点为位似中心的位似图形 的周长等于周长的 与的相似比为 ．  6. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在一三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选B． 7. 某新能源企业第一个月生产钠离子电池成本为605万元，因技术升级，生产成本逐月下降，第三个月生产钠离子电池成本为500万元.设该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用第三个月生产钠离子电池的成本=第一个月生产钠离子电池的成本该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵第一个月生产钠离子电池成本为605万元，平均月下降率为x， ∴第二个月成本为万元， 第三个月成本为第二个月成本再下降x，即万元， 又∵题目给出第三个月成本为500万元， ∴可列方程为． 8. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，与轴负半轴的交点横坐标在和之间．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线开口方向、对称轴及与坐标轴交点位置确定的符号及数量关系；利用和时的函数值符号结合进行判断． 【详解】解：抛物线开口向上，  ．  对称轴为直线，  ，即．  抛物线与轴交于负半轴，  ．  ，故A错误．  ，  ，故B错误．  抛物线与轴负半轴交点在和之间，  当时，，即，故C错误． 当时，，  ． 又，  ，即，故D正确． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若点，关于轴对称，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出和的值，再计算即可． 【详解】解：由点和点关于轴对称，得 ，， ． 10. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，解题思路为先将原式整理为平方差的形式，利用平方差公式分解后，再对可分解的多项式继续分解，直到不能再分解为止． 【详解】解： ． 11. 直线y=k1x+b与双曲线y=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式＞k1x+b的解集为____． 【答案】x＜-2或0＜x＜3 【解析】 【分析】先根据图象得出两函数的交点的横坐标，根据交点的横坐标结合图像即可得出答案； 【详解】∵直线y=k1x+b与双曲线y=在同一平面直角坐标系中的图象交点的横坐标是-2和3， ∴关于x的不等式＞k1x+b的解集是x＜-2或0＜x＜3； 故答案是x＜-2或0＜x＜3． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，准确分析判断是解题的关键． 12. 如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于两点，过这两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数；根据作图痕迹判断出直线是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质得到，进而求出的度数；最后根据角的和差关系计算的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由作图可知，点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴． 13. 如图，在中，，．现随机向三角形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率，相似三角形的判定与性质，熟练掌握几何概率公式，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴针尖落在阴影区域内的概率为． 故答案为： 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算和化简 （1）计算：． （2）先化简：，再从，1，3三个数中选取一个合适的数值作为的值代入求值． 【答案】（1） （2） 化简结果为，代入求值的结果为 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 要使分式有意义，则分母不能为， 因此，，即， 因此选取代入，当时，原式． 15. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．我校七年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型项目，分别是决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能（分别记为，，，）．每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并制作了如下统计图表： 项目 选择人数 频率 8 0.25 28 24 0.3 （1）填空：________，________；扇形统计图中“（语音类人工智能）”所对应的圆心角的度数为________； （2）若我校共有名七年级学生参加此次活动，那么估计其中选择“（人工智能机器人）”项目意向的学生大概有________人； （3）已知甲、乙两位同学都选了，丙同学选了，丁同学选了，从中选人到人工智能研究院观摩学习，请利用画树状图或列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率． 【答案】（1），， （2） （3）这两位同学选的项目一样的概率为 【解析】 【分析】（1）用表格中的人数除以频率可得调查的人数，用的人数除以调查的人数可得的值，用调查的人数乘以的频率可得的值，用乘以的人数所占的百分比，即可得出答案； （2）根据用样本估计总体，用乘以的频率，即可得出答案； （3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及这两位同学选的项目一样的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：调查的学生人数为（人）， ，， “（语音类人工智能）”所对应的圆心角的度数为； 【小问2详解】 解：估计其中选择“（人工智能机器人）”项目意向的学生大概有（人）； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两位同学选的项目一样的结果有种， 这两位同学选的项目一样的概率为． 16. 综合实践：如何测量出路灯的灯杆和灯管支架的长度？ 素材1：如图1，一种路灯由灯杆和灯管支架两部分构成，已知灯杆与地面垂直，灯管支架与灯杆的夹角． 素材2：如图2，在路灯正前方的点D处测得，，． 根据以上素材解决问题： （1）求灯杆的长度． （2）求灯管支架的长度．（结果精确到．参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． （1）在中，利用直角三角形的边角间关系得结论； （2）过点作，过点作，构造直角三角形、．设，用含的代数式表示，，先利用直角三角形的边角间关系求出，再利用直角三角形的边角间关系求出． 【小问1详解】 ∵在中，， ， ． 【小问2详解】 如图，过点C作于点E，过点B作于点E． 设． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，， 所以灯管支架的长约为． 17. 如图，为的直径，为上一点，点为的中点，连接，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）延长交的延长线于点，连接交于点（如图2），若，，求的半径和的长． 【答案】（1）证明：连接，如图1： ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）半径为， 【解析】 【分析】（1）连接，由圆周角定理得到，进而得到，证明，即可得出结论； （2）连接，作于点H，由解直角三角形得到，由勾股定理得到，即的半径为，证明，得到，即，求出，得出的长，证明四边形是矩形得，，证明可求出，进而可求出的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图2，连接，作于点H， 在中，， ∵， ∴， ∴，即的半径为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴相交于点，点在反比例函数图象上． （1）求的值及点的坐标； （2）若为等腰直角三角形，，求反比例函数的解析式； （3）过点，的直线与轴交于点，点与点关于点对称，若存在，使得，请直接写出的值． 【答案】（1）， （2）反比例函数的解析式为或 （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求出的表达式，进而求解； （2）当点在第一象限或第三象限时，利用一线三垂直构造三角形全等求点的坐标即可； （3）当点在第一象限或第三象限时，证明，则，即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入得，， ， 将点代入得，，解得， 直线的表达式为：， 令，即，解得， ； 【小问2详解】 解：当点在第一象限时，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，如图所示， ，， 为等腰直角三角形，， ，， ， ，，， ， ，， ， ， 点在反比例函数图象上， ，解得， 反比例函数的解析式为； 当点在第三象限时，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，如图所示， ，， 为等腰直角三角形，， ，， ， ，，， ， ，， ， ， 点在反比例函数图象上， ，解得， 反比例函数的解析式为； 综上所述：反比例函数的解析式为或； 【小问3详解】 解：如图，当点在第一象限时，设点， 点与点关于点对称， 点， ，，， ，， ， ，即， ， 解得（负值已舍去）， ， ， 为的中点， 由中点坐标公式得：点，即， ． 如图，当点在第三象限时，过点作轴于，过点作轴交延长线于点， 设点， 点与点关于点对称， 点， ，，， ，， ， ，即， ， 解得（正值已舍去）， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ，， ，即， ． 综上所述，的值为或． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，，那么代数式的值_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解与平方差公式，根据即可求解． 【详解】解：， ∵，， ∴ ∴ 故答案为： 20. 若关于的不等式只有负数解，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据不等式的解集的情况求参数的范围，先求出不等式的解集，根据不等式的解集的情况，得到关于的不等式，进行求解即可． 【详解】解：由，得：， ∵的不等式只有负数解， ∴， ∴； 故答案为：． 21. 已知关于的方程的两实根为，，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程有两个实根，由根的判别式求出的取值范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积. 将所求代数式整理为关于的二次函数，根据二次函数的性质结合的范围求出最小值． 【详解】解：关于的方程有两个实根， 根的判别式，即 ， 解得， 由根与系数的关系可得，， ， 设，对称轴为， 二次项系数， 抛物线开口向上， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为， 即的最小值是． 22. 如图，在中，，，．是边上一动点，连接，以为边，在的右侧作，使得，连接．若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，结合已知条件证明，利用三角函数求出的长． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， 又， ， 即， 即， ， ， ， ． 23. 若平面直角坐标系内的点满足横，纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．例如：、 都是“整点”．抛物线与x轴交于点、两点，当时，该抛物线在、之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有__________个整点；若该抛物线在、之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则的取值范围是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和性质，二次函数图象与轴的交点问题． 当时，抛物线解析式为，数形结合找出整点，即可得整点个数；当抛物线经过点时，结合图形找出整点，结合题意即可求解． 【详解】解：中， 令，， ∴当时，抛物线解析式为， 如图所示， 由， 解得， ∴此时区域内的整点有，共个整点， ∴当时，该抛物线在、之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有个整点， ∵的值越大，二次函数图象开口越小，的值越小，二次函数图象开口越大， ∴， ∴当抛物线经过点时， ∴， 解得，， ∴此时区域内的整点有：，共9个整点，不符合题意， ∴， ∴若该抛物线在、之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则的取值范围是， 故答案为：，． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为12米．设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米． （1） ______米， ______平方米．（用含x的代数式表示） （2）若，求x的值． （3）如图2，若在分成的两个小矩形的正前方和中间的篱笆隔墙各开一个1米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值？最大值为多少？ 【答案】（1）， （2） （3）当时，S有最大值，最大值为． 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出对应的代数式，方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据矩形的性质列式求出，再根据矩形面积公式求出S即可； （2）根据（2）所求得到方程，进而解方程并检验即可得到答案； （3）先求出，再求出x的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，米， ∴矩形菜园的面积为平方米； 【小问2详解】 解：当时，则， ∴， 解得，， ∵墙长为12米， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 解：由题意，米， ∴， ∵墙长为12米，篱笆长为33米， ∴， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为． 25. 【问题背景】 （1）如图1，在中，，于．求证：． 【问题迁移】 （2）如图2，在中，，于，为线段上一点，连接并延长至点，连接，．当时，请判断的形状，并说明理由． 【问题延伸】 （3）如图3，中，，，，将边绕点旋转得到线段，在射线上取一点，连接，．若，当线段的长度最小时，求线段的长． 【答案】（1）， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）是直角三角形；理由如下： ，， ， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， 是直角三角形； （3）线段的长为 【解析】 【分析】（1）根据余角的性质证明，再根据相似三角形的性质进行证明即可； （2）证明，得出，证明，得出，即可得出答案； （3）证明，得出，求出的值，以点为圆心，为半径作，则，都在上，延长交于，在上取，连接，证明，得出，由直径所对的圆周角是直角可得，说明点在过点且与垂直的直线上运动，过点作，垂足为，连接，根据垂线段最短，根据勾股定理求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中，，，， ，， ，， ， ， ， 由旋转可得，， 如图，以点为圆心，为半径作，则，都在上，延长交于，在上取，连接， 则， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， 点在过点且与垂直的直线上运动， 过点作，垂足为，连接， 垂线段最短， 当点在点处时，最小，即的最小值为的长， ， 四边形是矩形， ， 在中，根据勾股定理得：， 即当线段的长度取得最小值时，线段的长为． ， ， 即当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 26. 如图，平面直角坐标系中，顶点为的抛物线交轴于，两点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）作直线，分别交轴、线段及抛物线于，，三点，连接，若与相似，求的值； （3）设为线段的中点，过点的直线（异于直线）交抛物线于，两点（点在点的左侧），直线与直线交于点．试问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式，点的坐标为 （2）的值为或 （3）点在一条定直线上，该直线的解析式为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，再将解析式化为顶点式，即可确定顶点的坐标； （2）分类讨论：当时，利用对称性可直接得解，当时，构造三垂直相似，再利用抛物线上点的坐标特征建立方程求解即可； （3）用参数分别表示出和的解析式，联立求出点坐标，进而观察横纵坐标之间的关系即可得解． 【小问1详解】 解：抛物线交轴于，两点， ，解得， 抛物线的解析式， 顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：当时，如图， ， ， 在轴上， 轴， 点和点关于对称轴对称， 对于，令，得， ， 对称轴为直线， ， ； 当时，则， 如图，过点作轴于点，则， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， , 解得（舍去）或； 综上，的值为或； 【小问3详解】 解：∵，，为线段的中点， ， 设，，直线的解析式为, ， 解得， 直线的解析式为， 代入点， 得：， 整理得， 设直线的解析式为, 将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为, 设直线的解析式为, 将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为, 联立, 解得， ， 设经过点的直线解析式为, 将代入得，， 整理得， 比较系数得，解得， 当，时，无论,为何值，该式子恒成立， 点在一条定直线上，该直线的解析式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $