5.1.2 导数的概念及其几何意义 课时同步作业-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦导数概念与几何意义，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|导数几何意义、定义|选择题1-5直接考查概念，填空题9-10强化基础运算| |能力提升|导数与函数图象、平均/瞬时变化率|多选题7-8结合图象分析推理，填空题11-12深化综合理解| |综合应用|切线方程、最短距离、实际意义|解答题13-15融合几何问题与实际情境，提升应用意识|

课时同步作业 5.1.2导数的概念及其几何意义 一、选择题 1.函数在处的导数的几何意义是（ ） A.在处的函数值 B.在点处的切线与轴所夹锐角的正切值 C.曲线在点处的切线的斜率 D.点与原点连线的斜率 2.已知函数在处存在导数，则（ ） A. B. C. D. 3.若可导函数的图象过原点，且满足，则等于（ ） A. B. C. D. 4.曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5.若，则等于（ ） A. B. C. D.以上都不是 6.若函数的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 7.(多选题)已知函数和在区间上的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A.在到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化率 B.在到之间的平均变化率小于在到之间的平均变化率 C.对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在 处的瞬时变化率 D.存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在 处的瞬时变化率 8.(多选题)已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则对于任意，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 9.设，若，则． 10.已知二次函数的图象如图所示，则在两点处的导数与的大小关系为(填“”或“”)． 11.已知直线与抛物线相切，则． 12.已知，，，则的值是． 三、解答题 13.已知函数的图象在处的切线为，求与两坐标轴围成的三角形面积的最小值． 14.服用某种药物后，人体血液中药物的质量浓度(单位:)关于时间(单位:)的函数解析式是，假设函数在和处的导数分别为和，试解释它们的实际意义． 15.已知抛物线，直线，求抛物线上的点到直线的最短距离． 参考答案 一、选择题 1.解析:由导数的几何意义知应选． 2.解析: 故选． 3.解析:的图象过原点，， 4.解析: 所以当时，，即． 所以切线方程为，即．故选． 5.解析: 故选． 6.解析:是函数的图象在(即点)处切线的斜率，是函数的图象在(即点)处切线的斜率，是割线的斜率． 由图象知，即．故选． 7.解析:在到之间的平均变化率是，在到之间的平均变化率是，，， ，错误； 易知函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数，即函数在该点处的切线的斜率，同理函数在处的瞬时变化率是函数在该点处的导数，即函数在该点处的切线的斜率，由题中图象知错误，正确．故选． 8.解析:由题中图象可知，导函数的图象在轴下方，即，且其绝对值越来越小，因此过函数图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得的大致图象． A选项表示与异号，即图象的割线斜率为负，故A正确；B选项表示与同号，即图象的割线斜率为正，故B不正确；表示对应的函数值，即图中点的纵坐标，表示当和时所对应的函数值的平均值，即图中点的纵坐标，则，故C不正确，D正确．故选． 二、填空题 9.解析: 10.解析:与分别表示函数图象在点处的切线斜率，故． 11.解析: 当趋于时，得切线的斜率，所以，，又切点在直线上，所以，解得． 12.解析: 由于，上式可化为 三、解答题 13.解:由题意可得 又，故切线方程为． 因此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 当且仅当，即时面积最小，且最小值为． 14.解:表示服药后时，血液中药物的质量浓度上升的速度为．也就是说，如果保持这一速度，那么每经过，血液中药物的质量浓度将上升． 表示服药后时，血液中药物的质量浓度下降的速度为，也就是说，如果保持这一速度，那么每经过，血液中药物的质量浓度将下降． 15.解:根据题意可知与直线平行的抛物线的切线对应的切点到直线的距离最短，设切点坐标为，则 所以，所以切点坐标为，切点到直线的距离 所以抛物线上的点到直线的最短距离为． 学科网（北京）股份有限公司 $