专题06图形的轴对称期末复习讲义(17大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题06图形的轴对称期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解轴对称图形、两个图形关于直线对称的区别与联系，能准确辨别常见轴对称图形。 2.掌握轴对称的核心性质：对称轴垂直平分对应点连线、对应线段相等、对应角相等。 3.熟练掌握线段垂直平分线、角平分线的性质与判定。 4.掌握等腰三角形、等边三角形的定义、性质及判定定理。 5.知道轴对称作图的基本原理，理解最短路径问题的几何依据。 1.能准确找出轴对称图形的对称轴，会数对称轴条数。 2.能利用垂直平分线、角平分线性质，快速进行线段、角度计算。 3.熟练运用等腰三角形 “等边对等角、等角对等边” 解决计算与证明。 4.能规范完成轴对称画图、补全轴对称图形。 5.掌握 ** 将军饮马（最短路径）** 基础模型，能解决线段最值问题。 1.选填题：轴对称图形辨析、对称轴数量、等腰三角形角度边长计算零失误。 2.基础解答：熟练运用角平分线、垂直平分线性质解题，步骤规范。 3.中档题型：等腰三角形分类讨论、轴对称性质综合计算稳拿分。 4.压轴题型：掌握轴对称最短路径问题，能解决简单最值探究题。 题型01.轴对称图形的识别 题型02.成轴对称的两个图形识别 题型03.成轴对称图形特征的判断 题型04.成轴对称图形特征的求解 题型05.求对称轴条数 题型06.折叠问题 题型07.画轴对称图形 题型08.设计轴对称图案 题型09.镜面对称的实际应用 题型10.轴对称的反射问题 题型11.等边对等角 题型12.三线合一 题型13.线段垂直平分线的性质 题型14.作角平分线 题型15.角平分线的性质定理 题型16.最短路径 题型17.轴对称综合 知识点01:轴对称相关概念 1. 两个概念区分 名称 定义 关键点 轴对称图形 一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合 单个图形，直线为对称轴 成轴对称（两个图对称） 两个图形沿一条直线对折后完全重合 两个独立图形，直线是对称轴 联系：把成轴对称的两个图形看成整体就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴拆分，两部分成轴对称。 2.轴对称图形与轴对称 对比维度 轴对称图形 两个图形成轴对称 研究对象 一个图形 两个图形 本质 图形自身的对称属性 两个图形的位置关系 图示 知识点02: 轴对称核心性质（解题根本，必熟记） 对应点所连线段被对称轴垂直平分。 对应线段相等，对应角相等。 对称轴是任意一对对应点连线的垂直平分线。 是轴对称图形,对称轴为直线I. 则:线段AC=DF,AB=ED,BC=EF 对应角: 对称轴I垂直对应点连线BE,且交点O是BE的中点. 知识点03:两个重要的特殊轴对称线（必考） (一)线段的垂直平分线（中垂线） 1. 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 几何语言： ∵ 直线 MN⊥AB 于点 O，且 AO=BO，∴ 直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 (二）角平分线 1. 定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 几何语言： ∵ 射线 OC 把 ∠AOB 分成两个相等的角，即 ∠1=∠2，∴ 射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 3尺规作图：作已知角的平分线 已知：∠AOB。作法： 1.以 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA,OB 于 M,N； 2.分别以 M,N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在角内交于点 C； 3.作射线 OC，即为 ∠AOB 的平分线。 知识点04:等腰三角形的性质与判定（本章重难点） 性质 内容 几何语言 图示 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”） 在△ABC 中，若 AB=AC，则∠B=∠C 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 在△ABC 中，AB=AC，若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD=DC 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线 沿对称轴折叠，两边完全重合 核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 图示 定义判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 若 AB=AC，则△ABC 为等腰三角形 等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”） 在△ABC 中，若∠B=∠C，则 AB=AC 题型01.轴对称图形的识别 1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：轴对称图形的定义为：沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合的图形， 选项A：存在一条竖直对称轴，沿对称轴对折后两边完全重合，是轴对称图形， 选项B：无法找到这样的直线，不是轴对称图形， 选项C：无法找到这样的直线，不是轴对称图形， 选项D：无法找到这样的直线，不是轴对称图形． 2．下列图形：①角；②直角三角形；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形；⑥平行四边形．其中一定是轴对称图形的有_____ 个． 【答案】 4 【分析】根据轴对称图形的概念，对各图形逐一分析判断，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：①角，沿角平分线所在直线折叠可重合，一定是轴对称图形； ②直角三角形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，普通直角三角形不是轴对称图形，因此不一定是轴对称图形； ③等边三角形，一定是轴对称图形，有三条对称轴； ④线段，沿过中点的垂线折叠可重合，一定是轴对称图形； ⑤等腰三角形，沿底边上的高所在直线折叠可重合，一定是轴对称图形； ⑥平行四边形，普通平行四边形不是轴对称图形，只有特殊的平行四边形才是轴对称图形，因此不一定是轴对称图形； 综上，一定是轴对称图形的共4个． 3．下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义判断即可，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C、是轴对称图形，故该选项符合题意； D、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 题型02.成轴对称的两个图形识别 4．下图中各组图形，成轴对称的为_____（只写序号①，②等）． 【答案】①②④ 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称． 【详解】解：①②④中的图形沿着一条直线对折能够重合，因此成轴对称，③中的伞柄不对称， 综上，成轴对称的为①②④． 5．窗格经历了千年的传承与发展，是中国建筑装饰文化的重要标志之一．在如图所示的窗格中，与①成轴对称的是_____________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：如图所示，图形①与图形②关于直线成轴对称，图形①与图形③关于直线成轴对称，图形①与图形④关于直线成轴对称． 故答案为：②③④． 6．如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成轴对称图形的相关概念，掌握成轴对称图形的概念是解答本题的关键．根据成轴对称图形的相关概念逐项判断即可解答． 【详解】解：A、不符合成轴对称图形的相关概念，故A不符合题意； B、不符合成轴对称图形的相关概念，故B不符合题意； C、符合成轴对称图形的相关概念，故C符合题意； D、不符合成轴对称图形的相关概念，故D不符合题意； 故选：C． 题型03.成轴对称图形特征的判断 7．已知与分别在直线l的两侧且关于直线l对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线l的对称点，下列线段被直线l垂直平分的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的基本性质，根据对称点的连线被对称轴垂直平分即可判断求解． 【详解】解：∵ 点与点是关于直线的对称点， ∴ 线段被直线垂直平分． 8．如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质逐项判断即可得解． 【详解】解：由题意可得，，，故A、B、C正确，不符合题意． 9．如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（   ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与周长相等 D．直线、的交点不一定在上 【答案】D 【分析】本题考查了成轴对称的两个图形的性质，掌握这一性质是解题的关键． 利用轴对称的性质即可作出判断． 【详解】解：由线段垂直平分线的性质得，即是等腰三角形，选项A正确； 两个图形关于直线成轴对称，则对称轴垂直平分对应点的连线段，选项B正确； 两个图形关于直线对称，则这两个图形重合，所以这两个三角形周长相等，选项C正确； 直线、直线的交点一定在对称轴上，选项D错误； 故选：D． 题型04.成轴对称图形特征的求解 10．如图，点O为内部一点，且，E，F分别为点O关于射线，射线的对称点，当时，则的长为_______． 【答案】10 【分析】先求出，，再得出点三点共线，根据解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点分别为点关于射线，射线的对称点， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴点三点共线， ∴． 11．如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为______． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质可得，，再根据得出答案． 【详解】解：∵点P关于的对称点是Q， ∴， 同理． ∵， ∴． 12．如图，正方形网格中，A，B两点均在直线a上方，要在直线a上求一点P，使的值最小，则点P应选在（） A．C点 B．D点 C．E点 D．F点 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质作图确定点的位置即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，则交直线于点，此时的值最小， 点与点重合． 13．如图，与关于直线对称，点、的对称点分别为点、，且点、、在一条直线上，其中，，． (1)求的周长； (2)连接，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据对称的性质得到，，然后等量代换求解即可； （2）首先根据对称的性质得到，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴，， ∴的周长； （2）解：∵与关于直线对称， ∴， ∵，， ∴的面积． 题型05.求对称轴条数 14．我国传统的木结构房屋，窗子常用各种图案装饰，如图是一种常见的图案，这种图案有______条对称轴． 【答案】2 【分析】这是一个组合图形，它的外部是一个长方形，再根据它的组合特点，显然有2条对称轴． 【详解】解：如图所示，有2条对称轴，即两组对边的垂直平分线． 【点睛】本题考查轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 15．在等腰直角三角形、等边三角形、半圆、正方形这四种常见的轴对称图形中，对称轴最多的是___． 【答案】正方形 【分析】本题考查了求对称轴条数，分别写出各个图形的对称轴的条数，比较即可得出答案． 【详解】解：等腰直角三角形有条对称轴； 等边三角形有条对称轴； 半圆由条对称轴； 正方形有条对称轴； ∴对称轴最多的是正方形， 故答案为：正方形． 16．下列图形中，对称轴最多的是（）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称图形，根据对称轴的概念判断各个图形中的对称轴的条数，得到答案，掌握对称轴的概念是解题的关键． 【详解】 解：A、有无数条对称轴； B、只有条对称轴； C、有条对称轴； D、有条对称轴， ∴图形中对称轴最多的是选项图形， 故选：A． 17．（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：    正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴， 正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴， 正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴； （2）一个正n边形有______条对称轴； （3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；    在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）    【答案】（1）3， 4，5， 6，7， 8；（2）n；（3）见解析 【分析】（1）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案； （2）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案； （3）利用正六边形有偶数条边，画出正六边形的对称轴即可，利用全等三角形的性质或等腰三角形的性质画正五边形的对称轴即可． 【详解】解：（1）正三角形有3条对称轴，正四边形有4条对称轴， 正五边形有5条对称轴，正六边形有6条对称轴， 正七边形有7条对称轴，正八边形有8条对称轴； （2）一个正n边形有条对称轴； （3）如图所示，在图①中直线l即为所求；在图②中直线m即为所求．    图②也可以如下作法．    【点睛】本题考查的是正多边形的性质，理解正多边形是轴对称图形，正多边形有几个顶点就有几条对称轴是解本题的关键． 题型0.6折叠问题 18．如图，将一张长方形纸带沿折叠，将点、分别折至、，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】首先由折叠的性质得到，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：由折叠得， ，， ， 四边形是长方形， ， ， ． 19．如图，在中，，，点，分别在，上，将沿折叠得到，且满足，则_______． 【答案】 【分析】先求出，由平行线的性质可得，再结合折叠的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴． 20．如图，现有长方形纸片，将沿对角线折叠，得到，与相交于点，将沿折叠，得到．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据平行线的性质可得，由折叠的性质可知，．从而可利用x表示出，再根据，列出等式，解出x即可． 【详解】解：设， ∵， ∴ 由翻折的性质可知，， ∵， ∴， ∴， ∵长方形纸片， ∴， ∴， 解得：， ∴． 21．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边，将纸片沿折痕折叠，点E是折痕与边的交点，点F是折痕与边的交点，点A，B的对应点分别为点，，线段与交于点G．（说明：折叠后纸带的边始终成立） 操作探究： (1)如图1，若点E与点A重合，使点恰好落在线段上，与______是内错角，如图2，若，则的度数为______°； (2)如图3，改变折痕的位置，其余条件不变，猜想图中和的大小关系，并说明理由； (3)如图3，若，求的度数． 【答案】(1)，45 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据内错角的定义即可得到与是内错角，先推导出，再根据折叠的性质，得到，即可解答； （2）先推导出，，则，即可解答； （3）先推导出，再求出，根据将纸片沿折痕EF折叠，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图1 ∵点E与点A重合，使点恰好落在线段上， ∴与是内错角， 如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图 ， ， ， ， ； （3）解：如图 ， ， ， ， ∵将纸片沿折痕折叠， ， ， ． 题型07.画轴对称图形 22．如图，试在给定的网格中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点D的个数是_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，动手逐个判断即可求解． 【详解】解：如图所示， 即：满足条件的点的个数为2个， 故答案为：2． 23．如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点．以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如为格点三角形，与成轴对称的格点三角形可以画出（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，根据网格结构以及轴对称图形的性质作出对称三角形即可，画出对应的图形是解此题的关键． 根据网格特点及题的要求，把所有可能的图形画出即可得答案． 【详解】解：如图，与成轴对称的格点三角形可以画出6个， ， 故选：D． 24．四边形在正方形网格中的位置如图所示，四边形的顶点都在格点上．四边形与四边形关于直线对称，请在图中画出四边形（点、、、的对应点分别是点、、、）． 【答案】解：四边形如图所示： 【分析】根据轴对称的性质确定对应点的位置，再顺次连接即可． 【详解】略 题型08.设计轴对称图案 25．在下列各图中的适当位置添加一个小方格，能使得到的图形关于虚线成轴对称的是（   ） A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的应用，利用轴对称图形的性质画出图形即可求解，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，甲和丙添加一个小方格，能使得到的图形关于虚线成轴对称，乙不能， 故选：． 26．如图是的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．在该网格中存在___________个格点三角形与三角形成轴对称． 【答案】5 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称的性质，难点在于确定出对称轴的不同位置．根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向、纵向、上斜及下斜四种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作出与三角形成轴对称的格点三角形，从而得解． 【详解】解：如图，存在4个格点三角形与三角形成轴对称． 故答案为：5． 27．已知网格中每个小正方形的边长都是1，图①中的阴影图案是由四个小正方形组成的大正方形的一条对角线和以其中一个小正方形顶点为圆心、2为半径所画的圆弧围成的弓形．请你在图②中以图①为基本图案，借助轴对称和平移设计一个图案，使该图案为轴对称图形． 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查利用平移和轴对称设计图案，利用基本图形结合轴对称以及平移得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图，借助轴对称和平移可以得到下图，该图案为轴对称图形． （答案不唯一） 题型09.镜面对称的实际应用 28．如图所示的是驾驶员在后视镜中看到的后面一辆汽车的车牌号码，则后面汽车的车牌号码是（   ） A．TB209 B．902BT C．209TB D．TB902 【答案】B 【分析】本题考查了镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，作出对称图形即可得出答案． 【详解】解：根据镜面对称的性质可得：实际车牌号应从右向左读， 后面汽车的车牌号码是． 故选：B． 29．电子钟示数“”在平面镜中的像为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平面镜成像左右颠倒，但上下不变；对于电子钟数字，需考虑每个数字在七段数码管中的镜像映射，其中0、1、8映射为自身，2和5互映射，其他数字类似；然后整体顺序左右反转． 【详解】解：∵ 电子钟示数“”的数字序列为0、1、0、5， 数“”的字符顺序左右反转为“” ∵镜像映射：“0”的镜像是“0”，“1”的镜像是“1”，“0”的镜像是“0”，“5”的镜像是“2”； ∴ 电子钟示数“”在平面镜中的像为“”， 故选：B． 30．时钟在水中的倒影如图所示，此时时钟显示的时间是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了应用轴对称的性质来分析实际问题．根据轴对称的性质解答即可． 【详解】解：在时钟在水中的倒影与现实中的时钟恰好上下对称．由图可知时钟在水中的倒影是，它与成轴对称， 所以它的实际时间是． 故选：A． 31．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 【答案】 【分析】实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，据此解答即可． 【详解】解：根据实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称可知： 时间应该是． 32．河对岸的大楼上镶嵌的钟面在河水中的倒影如图所示，则实际时间是_________． 【答案】3时35分 【分析】本题考查轴对称，掌握轴对称的性质是解题的关键. 大楼上镶嵌的钟与它在河水中的倒影成轴对称，图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好上下相反，据此作答即可. 【详解】解：∵大楼上镶嵌的钟与它在河水中的倒影成轴对称， 如图， 图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好上下相反， ∴实际时间是，即3时35分. 故答案为：3时35分. 33．李明从镜子里看到自己身后的钟表上的时间是8点35分，请问钟表上显示的实际时间是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了镜面对称的知识，画出草图，根据镜面对称的性质，分析可得答案． 【详解】解：如图， 根据对称性可得：与时的指针指向成轴对称，故实际时间是， 故选：C． 题型10.轴对称的反射问题 34．如图，在一个规格为的球台上，有两个小球P和Q．若击打小球P经过球台的边反弹后，恰好击中小球Q，则小球P击出时，应瞄准边上的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知小球P走过的路径为： 根据入射角等于反射角可知应瞄准AB边上的点O2． 故选：B． 【点睛】主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意数形结合思想的运用． 35．如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等，即可得出答案． 【详解】解：∵平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等， ∴． 故选：B． 36．如图，光线经两个平行放置的平面镜反射，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据光的反射性质，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，结合平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，设光线在上方平面镜的反射点为点A、在下方平面镜的反射点为点B， 根据光的反射性质，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角， ， 两个平面镜平行， ， 根据光的反射性质、光线在点B处再次反射， ， ． 37．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，最后由垂直的概念可得答案． 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， 由题意可知：， ， ， ， ， ． 题型11.等边对等角 38．如图，在中，，将三角形折叠，使点与点重合，折痕为．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、折叠的性质，熟记折叠的性质是解题的关键． 由等腰三角形性质可得，由折叠得到，即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠得， ∴． 故选：B． 39．已知一个等腰三角形的顶角是底角的倍，则它的顶角的度数为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形两底角相等的性质以及三角形内角和为是解题的关键． 利用等腰三角形两底角相等的性质，设底角为度，则顶角为度，根据三角形内角和定理列方程求解． 【详解】解：设底角为度，则顶角为度． 根据三角形内角和定理，得，即， 解得． 所以顶角为度． 故答案为：． 40．已知：如图，，，求证：． 【答案】证明过程见解析 【分析】本题考查等边对等角，三角形全等的判定． 由，可得，利用“”即可证得结论． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴ 题型12.三线合一 41．八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，，为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边垂直的水渠， 已知， 则_______m． 【答案】20 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一，熟练掌握等腰三角形的性质，是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：20． 42．如图，是等腰三角形底边上的中线，平分，交于点．若的面积为，则的长为（    ） A． B．5 C．7 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，过点作于，由等腰三角形的性质得，进而由角平分线的性质得到，再根据三角形的面积求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵是等腰底边上的中线， ∴， 又∵平分， ∴， ∵的面积为7， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，是底边， ∴， 故选：． 43．已知：如图，，，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质及垂直平分线的性质．通过证明两个三角形全等，进而利用全等三角形的性质和垂直平分线的性质来证明线段相等，需要用到的概念有全等三角形的判定条件和垂直平分线的性质． 【详解】证明：如图，连接、， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 题型13.线段垂直平分线的性质 44．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质可得，然后利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ． 45．如图，的垂直平分线交于点，是上一点，平分．若，则点到直线的距离为____________． 【答案】1 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线平分线段是解题的关键． 先由垂直平分线的性质求出的长度，再利用角平分线的性质，得到点到直线的距离等于． 【详解】解：过点作 于点 ∵是 的垂直平分线，且 ∴是的中点， ∵，即 ∴点到直线的距离为 ∵平分 ∴点到直线 的距离等于点到直线的距离 ∴点到直线的距离为． 故答案为：． 46．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质、三角形内角和等于180度的应用，解题的关键是熟练掌握角度之间的关系，得出．根据角平分线和垂直平分线的性质得到角之间的关系，再利用三角形内角和180度求角即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 题型14.作角平分线 47．如图，利用尺规作的角平分线的作法，用到的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，，由作图得，，，然后利用证明即可． 【详解】解：如图，连接，， 由作图得，，，， ∴， ∴，即平分． ∴用到的三角形全等的判定方法是． 48．如图，中，，①以A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交、于点E、F，②分别以E、F为圆心，以大于线段为半径画弧，两弧交于点P，③作射线交于点D．若，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理得到，由作图可知平分，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知平分， 即． 故答案为：． 49．如图，点C在的边上，．请用尺规作图法，在上找一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】作的角平分线交于点D，连接即可． 【详解】解：作的角平分线交于点D，连接， ∵, ∴， 则点D即为所求． 题型15.角平分线的性质定理 50．如图，平分，，则点D到的距离为__________． 【答案】3 【详解】解：∵平分，， ∴点D到的距离． 51．点在的平分线上，点到边的距离为6，点是边上的任意一点，请写出一个符合条件的线段的长是_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了角平分线的性质．点在角平分线上，故到两边和的距离相等，均为．点在上，当为垂足时最小为，因此可写出． 【详解】解：因为点在的平分线上，所以点到角的两边和的距离相等． 已知点到边的距离为，所以点到边的距离也为．点是边上的任意一点，当点为点到边的垂足时，线段的长度最小，为． 因此，符合条件的线段的长可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 52．如图，在中，，，，，平分，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练运用角平分线的性质是本题的关键． 过点D作于点E，根据角平分线的性质可得，结合三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为． 故选：C 53．如图，已知，，为上一点，且到，两边的距离相等． (1)用直尺和圆规作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积15 【分析】本题考查了作图—角平分线、角平分线的性质定理和三角形的面积，作出正确的图形是解决本题的关键． （1）根据角平分线的性质定理作的角平分线即可； （2）过点D作于点E，由（1）可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求， （2）解：过点D作于点E，如图， 由（1）可得，， ∴ ． 题型16.最短路径 54．如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①和路线②相比，路程更短的路线是________（填序号）． 【答案】② 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边式解决问题的关键． 由三角形三边关系得到，根据图形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴ 路线的长度为， 路线的长度为， 故答案为：②． 55．如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________． 【答案】//4.8 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路径问题以及三角形面积公式的应用，熟练掌握利用轴对称转化线段是解题的关键． 通过作点关于的对称点，将转化为，则，当时，的长度即为的最小值，再利用三角形面积公式求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过作于，交于．则此时值最小，最小值为的长， ∵点与关于对称， ∴，， ∴． ∵，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 56．如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接 点B与点关于直线l对称 ________，_________； 当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题：补全证明过程； (2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题是几何变换综合题，考查轴对称的最短路径问题中的应用，两点之间，线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意补全即可； （2）根据轴对称的最短路径问题，作图即可． 【详解】（1）解：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，， ，， ， 当，，三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置， 故答案为：，，； （2）解：如图，作点A关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短． 题型17.轴对称综合 57．如图，在中，，点，，分别是各边上的动点，若，，，则的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查了线段最短问题，轴对称，解题的关键是正确作出辅助线． 作，交于点E，作点E关于的对称点，关于的对称点． 将转化为求线段的长度；再利用三角形面积公式求出边上的高，进而得到的最小值． 【详解】解：作，交于点E， ∴为到的垂线段，即高，是的最小值， 作点E关于的对称点，关于的对称点． ∴，，则． 当M，N与C重合时，， ，， 路径 ∴当、N、M、共线时，和最小，即的长度． ， ∴，即、C、共线， 故． 面积， 又，即， 解得．   ∴，即的最小值为． 故答案为：． 58．如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，难度一般，要求学生熟练掌握轴对称的性质特点，并能灵活运用，便能简单做出此题． 连接，，根据轴对称的性质得到，，，求出，根据面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， 点P、关于对称，点P、关于对称，， ，，， ， 的面积， 故答案为：． 59．矩形，若按如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为；若按如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为______． 【答案】/12度 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平角定义，角的和差，解题关键是根据折叠梳理相等关系． 根据折叠的性质得，，结合进而得出，再求出即可求解． 【详解】解：根据折叠性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 60．某景区有一条笔直的观光车道和两个著名景点，景区计划在观光车道旁修建一个休息站，并铺设步道分别连接两个景点．某同学用直线（虚线）表示车道，，两点表示景点，线段（实线）表示步道，画出了如下四个示意图，则所需步道最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查最短路径问题，应作对称点，使三点的连线在同一直线上，这是此类问题的解题目标，把握此目标即可正确解题．根据轴对称分析即可得到答案． 【详解】根据题意，所需步道最短，应过点或点作对称点，再连接另一点，与直线的交点即为休息站，故选项A、B、D均错误，选项C正确， 故选：C． 61．如图，在中，，，点A关于的对称点为，点B关于的对称点为，点C关于的对称点为． (1)在图中画出； (2)若的面积为，则的面积是______． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查作图轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作点A关于的对称点为，即过点A向引垂线并倍长得到对称点，其他点同理作图即可． （2）设交于点，延长交于点，根据轴对称的性质可得，，，，则与关于点成中心对称，可得，，，，进而可得．根据三角形的面积公式可得，则可得的面积． 【详解】（1）解：如图，作点A关于的对称点为，即过点A向引垂线并倍长得到对称点，其他同理， 即为所求． （2）设交于点，延长交于点， 点关于的对称点为， ，． 点关于的对称点为， ， 点关于的对称点为， ， 与关于点成中心对称， ，， ，， ． 的面积为， ， 的面积是． 故答案为：． 62．如图，在正方形网格中有一个． (1)作关于直线对称的轴对称图形； (2)请在直线上找一点，使的长最短． 【答案】(1)如图即为所求； (2)如图所示，点即为所求． 【分析】（1）利用轴对称的性质画图； （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时的长最短． 【详解】（1）略； （2）略． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06图形的轴对称期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解轴对称图形、两个图形关于直线对称的区别与联系，能准确辨别常见轴对称图形。 2.掌握轴对称的核心性质：对称轴垂直平分对应点连线、对应线段相等、对应角相等。 3.熟练掌握线段垂直平分线、角平分线的性质与判定。 4.掌握等腰三角形、等边三角形的定义、性质及判定定理。 5.知道轴对称作图的基本原理，理解最短路径问题的几何依据。 1.能准确找出轴对称图形的对称轴，会数对称轴条数。 2.能利用垂直平分线、角平分线性质，快速进行线段、角度计算。 3.熟练运用等腰三角形 “等边对等角、等角对等边” 解决计算与证明。 4.能规范完成轴对称画图、补全轴对称图形。 5.掌握 ** 将军饮马（最短路径）** 基础模型，能解决线段最值问题。 1.选填题：轴对称图形辨析、对称轴数量、等腰三角形角度边长计算零失误。 2.基础解答：熟练运用角平分线、垂直平分线性质解题，步骤规范。 3.中档题型：等腰三角形分类讨论、轴对称性质综合计算稳拿分。 4.压轴题型：掌握轴对称最短路径问题，能解决简单最值探究题。 题型01.轴对称图形的识别 题型02.成轴对称的两个图形识别 题型03.成轴对称图形特征的判断 题型04.成轴对称图形特征的求解 题型05.求对称轴条数 题型06.折叠问题 题型07.画轴对称图形 题型08.设计轴对称图案 题型09..镜面对称的实际应用 题型10.轴对称的反射问题 题型11.等边对等角 题型12.三线合一 题型13.线段垂直平分线的性质 题型14.作角平分线 题型15.角平分线的性质定理 题型16.最短路径 题型17.轴对称综合 知识点01:轴对称相关概念 1. 两个概念区分 名称 定义 关键点 轴对称图形 一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合 单个图形，直线为对称轴 成轴对称（两个图对称） 两个图形沿一条直线对折后完全重合 两个独立图形，直线是对称轴 联系：把成轴对称的两个图形看成整体就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴拆分，两部分成轴对称。 2.轴对称图形与轴对称 对比维度 轴对称图形 两个图形成轴对称 研究对象 一个图形 两个图形 本质 图形自身的对称属性 两个图形的位置关系 图示 知识点02: 轴对称核心性质（解题根本，必熟记） 对应点所连线段被对称轴垂直平分。 对应线段相等，对应角相等。 对称轴是任意一对对应点连线的垂直平分线。 是轴对称图形,对称轴为直线I. 则:线段AC=DF,AB=ED,BC=EF 对应角: 对称轴I垂直对应点连线BE,且交点O是BE的中点. 知识点03:两个重要的特殊轴对称线（必考） (一)线段的垂直平分线（中垂线） 1. 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 几何语言： ∵ 直线 MN⊥AB 于点 O，且 AO=BO，∴ 直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 (二）角平分线 1. 定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 几何语言： ∵ 射线 OC 把 ∠AOB 分成两个相等的角，即 ∠1=∠2，∴ 射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 3尺规作图：作已知角的平分线 已知：∠AOB。作法： 1.以 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA,OB 于 M,N； 2.分别以 M,N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在角内交于点 C； 3.作射线 OC，即为 ∠AOB 的平分线。 知识点04:等腰三角形的性质与判定（本章重难点） 性质 内容 几何语言 图示 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”） 在△ABC 中，若 AB=AC，则∠B=∠C 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 在△ABC 中，AB=AC，若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD=DC 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线 沿对称轴折叠，两边完全重合 核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 图示 定义判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 若 AB=AC，则△ABC 为等腰三角形 等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”） 在△ABC 中，若∠B=∠C，则 AB=AC 题型01.轴对称图形的识别 1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列图形：①角；②直角三角形；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形；⑥平行四边形．其中一定是轴对称图形的有_____ 个． 3．下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 题型02.成轴对称的两个图形识别 4．下图中各组图形，成轴对称的为_____（只写序号①，②等）． 5．窗格经历了千年的传承与发展，是中国建筑装饰文化的重要标志之一．在如图所示的窗格中，与①成轴对称的是_____________． 6．如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 题型03.成轴对称图形特征的判断 7．已知与分别在直线l的两侧且关于直线l对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线l的对称点，下列线段被直线l垂直平分的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（   ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与周长相等 D．直线、的交点不一定在上 题型04.成轴对称图形特征的求解 10．如图，点O为内部一点，且，E，F分别为点O关于射线，射线的对称点，当时，则的长为_______． 11．如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为______． 12．如图，正方形网格中，A，B两点均在直线a上方，要在直线a上求一点P，使的值最小，则点P应选在（） A．C点 B．D点 C．E点 D．F点 13．如图，与关于直线对称，点、的对称点分别为点、，且点、、在一条直线上，其中，，． (1)求的周长； (2)连接，求的面积． 题型05.求对称轴条数 14．我国传统的木结构房屋，窗子常用各种图案装饰，如图是一种常见的图案，这种图案有______条对称轴． 15．在等腰直角三角形、等边三角形、半圆、正方形这四种常见的轴对称图形中，对称轴最多的是___． 16．下列图形中，对称轴最多的是（）． A． B． C． D． 17．（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：    正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴， 正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴， 正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴； （2）一个正n边形有______条对称轴； （3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；    在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）    题型0.6折叠问题 18．如图，将一张长方形纸带沿折叠，将点、分别折至、，若，则的度数为______． 19．如图，在中，，，点，分别在，上，将沿折叠得到，且满足，则_______． 20．如图，现有长方形纸片，将沿对角线折叠，得到，与相交于点，将沿折叠，得到．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 21．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边，将纸片沿折痕折叠，点E是折痕与边的交点，点F是折痕与边的交点，点A，B的对应点分别为点，，线段与交于点G．（说明：折叠后纸带的边始终成立） 操作探究： (1)如图1，若点E与点A重合，使点恰好落在线段上，与______是内错角，如图2，若，则的度数为______°； (2)如图3，改变折痕的位置，其余条件不变，猜想图中和的大小关系，并说明理由； (3)如图3，若，求的度数． 题型07.画轴对称图形 22．如图，试在给定的网格中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点D的个数是_______． 23．如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点．以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如为格点三角形，与成轴对称的格点三角形可以画出（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 24．四边形在正方形网格中的位置如图所示，四边形的顶点都在格点上．四边形与四边形关于直线对称，请在图中画出四边形（点、、、的对应点分别是点、、、）． 题型08.设计轴对称图案 25．在下列各图中的适当位置添加一个小方格，能使得到的图形关于虚线成轴对称的是（   ） A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙 26．如图是的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．在该网格中存在___________个格点三角形与三角形成轴对称． 27．已知网格中每个小正方形的边长都是1，图①中的阴影图案是由四个小正方形组成的大正方形的一条对角线和以其中一个小正方形顶点为圆心、2为半径所画的圆弧围成的弓形．请你在图②中以图①为基本图案，借助轴对称和平移设计一个图案，使该图案为轴对称图形． 题型09.镜面对称的实际应用 28．如图所示的是驾驶员在后视镜中看到的后面一辆汽车的车牌号码，则后面汽车的车牌号码是（   ） A．TB209 B．902BT C．209TB D．TB902 29．电子钟示数“”在平面镜中的像为（    ） A． B． C． D． 30．时钟在水中的倒影如图所示，此时时钟显示的时间是（） A． B． C． D． 31．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 32．河对岸的大楼上镶嵌的钟面在河水中的倒影如图所示，则实际时间是_________． 33．李明从镜子里看到自己身后的钟表上的时间是8点35分，请问钟表上显示的实际时间是(    ) A． B． C． D． 题型10.轴对称的反射问题 34．如图，在一个规格为的球台上，有两个小球P和Q．若击打小球P经过球台的边反弹后，恰好击中小球Q，则小球P击出时，应瞄准边上的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 35．如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 36．如图，光线经两个平行放置的平面镜反射，若，则的度数为______． 37．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 题型11.等边对等角 38．如图，在中，，将三角形折叠，使点与点重合，折痕为．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 39．已知一个等腰三角形的顶角是底角的倍，则它的顶角的度数为_____． 40．已知：如图，，，求证：． 题型12.三线合一 41．八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，，为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边垂直的水渠， 已知， 则_______m． 42．如图，是等腰三角形底边上的中线，平分，交于点．若的面积为，则的长为（    ） A． B．5 C．7 D．14 43．已知：如图，，，，．求证：． 题型13.线段垂直平分线的性质 44．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 45．如图，的垂直平分线交于点，是上一点，平分．若，则点到直线的距离为____________． 46．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，，求的度数． 题型14.作角平分线 47．如图，利用尺规作的角平分线的作法，用到的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 48．如图，中，，①以A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交、于点E、F，②分别以E、F为圆心，以大于线段为半径画弧，两弧交于点P，③作射线交于点D．若，则_________． 49．如图，点C在的边上，．请用尺规作图法，在上找一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 题型15.角平分线的性质定理 50．如图，平分，，则点D到的距离为__________． 51．点在的平分线上，点到边的距离为6，点是边上的任意一点，请写出一个符合条件的线段的长是_____． 52．如图，在中，，，，，平分，则的面积为（   ） A． B． C． D． 53．如图，已知，，为上一点，且到，两边的距离相等． (1)用直尺和圆规作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，．求的面积． 题型16.最短路径 54．如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①和路线②相比，路程更短的路线是________（填序号）． 55．如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________． 56．如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接 点B与点关于直线l对称 ________，_________； 当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题：补全证明过程； (2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 题型17.轴对称综合 57．如图，在中，，点，，分别是各边上的动点，若，，，则的最小值是________． 58．如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为__________． 59．矩形，若按如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为；若按如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为______． 60．某景区有一条笔直的观光车道和两个著名景点，景区计划在观光车道旁修建一个休息站，并铺设步道分别连接两个景点．某同学用直线（虚线）表示车道，，两点表示景点，线段（实线）表示步道，画出了如下四个示意图，则所需步道最短的是（   ） A． B． C． D． 61．如图，在中，，，点A关于的对称点为，点B关于的对称点为，点C关于的对称点为． (1)在图中画出； (2)若的面积为，则的面积是______． 62．如图，在正方形网格中有一个． (1)作关于直线对称的轴对称图形； (2)请在直线上找一点，使的长最短． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $