专题02相交线与平行线期末复习讲义(18大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题02相交线与平行线期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握对顶角、邻补角、垂线的定义与性质，分清垂线段和点到直线的距离。 2.能依据图形特征识别同位角、内错角、同旁内角。 3.熟记平行线判定与性质，区分：判定由角推平行，性质由平行求角。 4.会拆分命题的题设和结论，辨别真假命题。 1.结合垂直、角平分线条件，完成基础角度计算。 2.几何说理规范书写，每一步标注定理依据。 3.平行线拐角题型，会过拐点作辅助平行线拆分角度解题。 1.选择填空：三线八角识别、角度基础计算、平移判断不失分。 2.基础解答：平行线证明、简单角度计算步骤完整拿满分。 3.压轴小题：拐角模型、折叠类角度题熟练解题。 题型01.对顶角的定义与性质 题型02.求一个角的余角 题型03.求一个角的补角 题型04.余角.补角有关的计算 题型05.同(等)角的余(补)角相等的应用 题型06.垂线的定义与画法 题型07.垂线段的性质与距离定义 题型08.同位角.内错角.同旁内角 题型09.平行线的判定 题型10.平行公理及推论的应用 题型11.平行线的性质 题型12.平行线性质探究角的关系 题型13.平行线性质求角的度数 题型14.平行线性质的应用 题型15.平行线判定与性质求角度 题型16.平行线判定与性质证明 题型17.平行线与折叠问题 题型18.平行线与动点问题 知识点01:相交线 1. 对顶角与邻补角 名称 定义 核心性质 易错点 邻补角 有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线 和为180 相邻不一定是邻补角 对顶角 两边互为反向延长线 对顶角相等 相等的角不一定是对顶角 2. 垂线 (1)定义：两直线夹角90，互相垂直； (2)基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； (3)垂线段定理：连接直线外一点与直线上各点，垂线段最短； (4)点到直线的距离：直线外一点到这条直线垂线段的长度（距离是长度，不是线段） 知识点02:三线八角（截线 + 两条被截直线） 两条直线被第三条直线所截，形成 8 个角，三类关键角： 备注：三线八角只看位置，和角度大小无关。 知识点03:平行线判定与性质（本章重中之重、考试最多） 重点区分： 判定：由角→证平行 性质：由平行→得角关系 1.平行线的判定 2. 拓展判定方法（2 条） 平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行符号语言：∵a∥c,b∥c（已知），∴a∥b（平行于同一直线的两直线平行） 垂直推论：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行符号语言：∵a⊥c,b⊥c（已知），∴a∥b（同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行） 3.平行线的性质 知识点04:常考几何模型 模型 几何语言 图形 猪蹄模型：拐点处的角等于两侧角之和 ∵AB∥CD（已知）∴∠B+∠D=∠BPD 铅笔头模型：三个角之和为360∘ ∵AB∥CD（已知）∴∠B+∠P+∠D=360∘ 锯齿模型：开口朝同一方向的角之和相等 ∵AB∥DE（已知） ∴ ∠B+∠M+∠N=∠C+∠E 知识点05:全章五大高频易错点（教师重点标注） 1.概念误区：把垂线段当成点到直线的距离（距离是长度，线段是图形）； 2.逻辑混用：证明平行乱用性质、已知平行求角误用判定，因果颠倒； 3.三线八角看错：找角时分不清截线与被截线，误判同位、内错、同旁内角； 4.忽略前提：垂线、平行公理都限定同一平面内，缺少条件结论不成立； 题型01.对顶角的定义与性质 1．下面四个图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． E． 2．如图，剪刀开合时，当增大时，的度数（     ） A．增大 B．增大 C．减小 D．不变 3．若平面内互不重合的10条直线相交于一点，共有对对顶角，则的值为（   ） A．45 B．90 C．180 D．200 4．如图，已知直线与交于点，，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，直线，相交于点O，平分，于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 题型02.求一个角的余角 6．若一个角等于它的余角，则这个角的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，将一副三角板的两直角顶点重合放置，已知，则的余角的度数为______． 8．如图，已知点是直线上一点，，，则图中互余的角共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 9．如图，直线，交于点，已知，． (1)若，求的度数； (2)若，试说明与互余． 题型03.求一个角的补角 10．已知与互补，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 11．如图，直线、交于点O，于点O，，平分，的补角有________个；的余角有________个． 12．如图，已知O为直线上一点，过点O向直线上方引三条射线，，． (1)若，平分，求的度数． (2)若，与互余，且，求的度数． 题型04.余角.补角有关的计算 13．一个角的余角比这个角的补角的一半少，则这个角等于（   ） A． B． C． D． 14．如图，点O是直线上一点，是一条射线，且，若过点O作射线，使，则的度数为______． 15．如图，点O在直线上，射线都在直线的上方，射线在直线的下方．，垂足为点O，在的内部，． (1)求证：与互为余角； (2)若，与互为余角，求的度数． 题型05.同(等)角的余(补)角相等的应用 16．课堂上，同学们在探究“与”之间的数量关系时，进行了如下推理，其推理的依据是________． 因为， 所以（________） 17．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为________． 18．如图，已知，OC是内任意一条射线，OB、OD分别平分、，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 19．如图1，将一副三角尺的直角顶点O叠放在一起．若三角尺不动，将三角尺绕点O按顺时针方向转动．    (1)如图2，若，则________，________（填“>”“<”或“=”）； (2)如图3，，则________，________（填“>”“<”或“=”）； (3)三角尺在转动的过程中，若，计算的大小（用含的代数式表示）； (4)借助（3）中的结论，在备用图中利用画直角的工具画出一个与相等的角． 题型06.垂线的定义与画法 20．如图，直线，相交于点O，．若，则的度数为____． 21．如图，直线相交于点，射线平分，若，则的度数为______． 22．利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 题型07.垂线段的性质与距离定义 23．如图，是灌溉地，是河岸，沿开渠，可使铺设水管最短，其数学原理是_____． 24．如图，直线是起跳线，脚印是小明跳入沙坑时留下的痕迹，体育老师测得线段________的长度作为小明此次的跳远成绩． 25．如图，点为直线外一点，点，点为直线上的两点，已知，，则点到直线的距离可能为（    ） A．1.8 B．2.2 C．2.5 D．2.8 26．如图，，．填空： （1）___________度； （2）直线与的位置关系是___________； （3）点B到直线的距离是线段___________的长度，点D到直线的距离是线段___________的长度； （4）在线段，，中，最短的是线段___________；在线段，，中，最短的是线段___________，理由是___________． 题型08.同位角.内错角.同旁内角 27．下列图形中，与属于同位角的是（     ） A． B．C．D． 28．如图，有下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是同旁内角．其中正确的是_________．（填序号） 29．如图，下列判断正确的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 题型09.平行线的判定 30．如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 31．如图，下列推理中正确的是________．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 32．小颖学习了平行线的相关知识后，利用如图所示的方法，折出了“过已知直线AB外一点P和已知直线AB平行的直线MN”，下列关于MN∥AB的依据描述正确的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．以上选项均正确 33．如图，直线分别与直线交于点B，F，且．的角平分线交直线于点E，的角平分线交直线于点C．    (1)请判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)求证：． (3)若，求的度数． 34．在生活中，当我们把吸管放到清水中时，会发现吸管“折”了（如图1），其实这是光的折射现象．如图2，水面与容器底部平行，光线从空气中射入水中时发生了折射，折射光线与相交于点，点在的延长线上，，求光线偏折的角度的度数．在解决这道题时，小聪和小明分别用了不同方法． (1)请你为小聪的解题过程补充理由或结果； (2)请你在方框里帮小明写出他的解答过程． 小聪： 解：（已知）， （   ） （已知）， ． （   ）， ． （已知）， （   ） 小明：                 题型10.平行公理及推论的应用 35．数学课堂上，老师出示了如下问题：如图，已知直线外有两点． 画图操作： 第一步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线． 第二步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线． 观察发现：． 上述过程中的“画图操作”和“观察发现”可得到的数学知识分别是（    ） 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 A． B． C． D． 36．已知直线及直线外一点，在经过点的四条直线，，，中，与直线相交的至少有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 37．如图，已知点在上，平分平分． (1)求证：； (2)若，求证：． 题型11.平行线的性质 38．如图，直线分别与直线、相交于点、，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 39．机器人“夸父”是我国全运会历史上首个人形机器人火炬手．如图是“夸父”在传递火炬时的平面示意图．若，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 40．如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射可知，其原理如图所示，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 41．光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射．在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．如图，若水面和杯底互相平行，，则等于______度． 42．如图所示的图形是由和长方形拼成的，在中，，，点A在长方形的边上，与相交于点，与相交于点．    (1)如图1，当时， ； ． (2)如图2，当与不垂直时，猜想与的数量关系，并说明理由． 题型12.平行线性质探究角的关系 43．一副三角板按如图所示放置，已知，，，过点的直线与过点的直线相互平行，设，，则，满足的等量关系式是__________． 44．如图，已知，点为上一点，作，连接，若与的角平分线交于点．下列结论： ①；②若，则；③；④．其中一定正确的结论有___________（填写序号即可）． 45．如图，，则；如图，，则；如图，，则；如图，，则．以上结论正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 46．【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是平面内任意一点，连接、． 【探索发现】： (1)如图1，若，写出与的数量关系：______； 【深入探究】： (2)如图2点P、Q分别是直线上的点，且，直线，交于点K，“智胜小组”探究与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的探究基础上，，“科创小组”探究与之间的数量关系．请直接写出它们的关系． 题型13.平行线性质求角的度数 47．在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺按如图方式摆放，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 48．自行车尾灯内部的角反射器由平面镜组成，其工作原理如图所示，当光线射向镜面时，经过两次反射，光线沿平行于的方向射出（此时，）．若，则的度数为__________． 49．如图，已知，为上的两点，为上的两点，延长至点，平分，点在直线上，且平分，若．则下列结论：；；设，则；，其中，正确的有（     ） A． B． C． D． 50．篮球架及侧面示意图如图所示，若，，于点B，求的度数．由题意，可过点C作的平行线，请在图中画出辅助线，补全依据并完成解题过程． 解：过C作平行于， ∵，∴， ∴（ ① ）， ∴（ ② ） ∴， ∵， ∴（ ③ ）． ∵于点B， ∴（ ④ ）， ∴， ∴ ⑤ （平角的定义）． 题型14.平行线性质的应用 51．如图，在A，B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东．若A，B两地同时开工，要使公路准确接通，则的度数应为（    ） A． B． C． D． 52．如图，在两条笔直且平行的景观道上放置P，Q两盏激光灯．其中光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至边便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至边就停止旋转，此时光线也停止旋转．若光线先转4秒，光线才开始转动，当时，光线旋转的时间为___秒． 53．酷热的夏天过后汛期即将来临，为了便于夜间查看盘龙江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在盘龙江两岸各安置了探照灯和．如图1，灯射线自顺时针方向旋转至便立即回转，灯射线自顺时针方向旋转至便立即回转，若灯每秒钟转动度，若灯每秒钟转动b度，且满足：，假设这一带盘龙江两岸是平行的，即．且． (1)求a、b的值． (2)若灯B射线先旋转30秒，灯射线才开始转动，求灯转动多少秒时，两灯灯光第一次平行． (3)如图2，两灯同时转动t秒，在灯射线到达之前，若射出来的光线交于点C． ① （用含有t的式子表示）； ②过点C作交于点D，在转动过程中，的值是一个定值吗？若是，请求出这个定值．若不是，请说明理由． 题型15.平行线判定与性质求角度 54．如图，已知，，，则度数为（   ） A． B． C． D． 55．已知：，点C在点D的右侧，B是AG上一动点，连接平分，DE平分，所在直线交于点E，，．则的度数是______． 56．2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秩BOT》节目中的机器人名为H1，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． 【提出问题】 图①是H1练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构造新的图形． 【问题解决】 (1)解：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以， 因为，， 根据 ， 所以， 根据 ， 所以． 因为， 所以 ， 所以 【迁移应用】 如图③，在一款手推车的平面示意图中． (2)若，，则____ (3)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 (4)如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则 题型16.平行线判定与性质证明 57．已知：如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 58．如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与相等吗？为什么？ (3)若，，求的大小． 59．已知：如图，直线，直线分别与交于两点，点是直线上一点，点是上一点，连接． (1)点分别在射线上，当时， ①试判断与的位置关系，并说明理由； ②若射线平分，求的度数． (2)点分别在射线，直线上时，请你在备用图中画出满足条件的图形，写出此时与的关系，并说明理由． 题型17.平行线与折叠问题 60．已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B沿向下折叠至点N，M处，将点C，D沿折叠至点P，K处，若，则的度数为_______． 61．如图，长方形纸片沿线折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 62．已知长方形纸带，，，，点，分别在边，上，． (1)如图1，将纸带先沿直线折叠后，点，分别落在，的位置： ①则的度数为_______（用含的代数式表示）；的度数为_______（用含的代数式表示）． ②试说明． (2)如图2，在（1）的基础上将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，求的度数． (3)如图3，在（2）的基础上连接，若，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 题型18.平行线与动点问题 63．如图，在中，，D是线段上的一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为___________． 64．在中，，点D，E分别是边两个动点．将沿折叠得到，点A的对应点为点F，的平分线交直线于点G．若边与的一条边平行，，则的度数为______． 65．已知． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，，，的平分线交于点． ①求的度数． ②已知，为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．若，请直接写出的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02相交线与平行线期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握对顶角、邻补角、垂线的定义与性质，分清垂线段和点到直线的距离。 2.能依据图形特征识别同位角、内错角、同旁内角。 3.熟记平行线判定与性质，区分：判定由角推平行，性质由平行求角。 4.会拆分命题的题设和结论，辨别真假命题。 1.结合垂直、角平分线条件，完成基础角度计算。 2.几何说理规范书写，每一步标注定理依据。 3.平行线拐角题型，会过拐点作辅助平行线拆分角度解题。 1.选择填空：三线八角识别、角度基础计算、平移判断不失分。 2.基础解答：平行线证明、简单角度计算步骤完整拿满分。 3.压轴小题：拐角模型、折叠类角度题熟练解题。 题型01.对顶角的定义与性质 题型02.求一个角的余角 题型03.求一个角的补角 题型04.余角.补角有关的计算 题型05.同(等)角的余(补)角相等的应用 题型06.垂线的定义与画法 题型07.垂线段的性质与距离定义 题型08.同位角.内错角.同旁内角 题型09.平行线的判定 题型10.平行公理及推论的应用 题型11.平行线的性质 题型12.平行线性质探究角的关系 题型13.平行线性质求角的度数 题型14.平行线性质的应用 题型15.平行线判定与性质求角度 题型16.平行线判定与性质证明 题型17.平行线与折叠问题 题型18.平行线与动点问题 知识点01:相交线 1. 对顶角与邻补角 名称 定义 核心性质 易错点 邻补角 有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线 和为180 相邻不一定是邻补角 对顶角 两边互为反向延长线 对顶角相等 相等的角不一定是对顶角 2. 垂线 (1)定义：两直线夹角90，互相垂直； (2)基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； (3)垂线段定理：连接直线外一点与直线上各点，垂线段最短； (4)点到直线的距离：直线外一点到这条直线垂线段的长度（距离是长度，不是线段） 知识点02:三线八角（截线 + 两条被截直线） 两条直线被第三条直线所截，形成 8 个角，三类关键角： 备注：三线八角只看位置，和角度大小无关。 知识点03:平行线判定与性质（本章重中之重、考试最多） 重点区分： 判定：由角→证平行 性质：由平行→得角关系 1.平行线的判定 2. 拓展判定方法（2 条） 平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行符号语言：∵a∥c,b∥c（已知），∴a∥b（平行于同一直线的两直线平行） 垂直推论：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行符号语言：∵a⊥c,b⊥c（已知），∴a∥b（同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行） 3.平行线的性质 知识点04:常考几何模型 模型 几何语言 图形 猪蹄模型：拐点处的角等于两侧角之和 ∵AB∥CD（已知）∴∠B+∠D=∠BPD 铅笔头模型：三个角之和为360∘ ∵AB∥CD（已知）∴∠B+∠P+∠D=360∘ 锯齿模型：开口朝同一方向的角之和相等 ∵AB∥DE（已知） ∴ ∠B+∠M+∠N=∠C+∠E 知识点05:全章五大高频易错点（教师重点标注） 1.概念误区：把垂线段当成点到直线的距离（距离是长度，线段是图形）； 2.逻辑混用：证明平行乱用性质、已知平行求角误用判定，因果颠倒； 3.三线八角看错：找角时分不清截线与被截线，误判同位、内错、同旁内角； 4.忽略前提：垂线、平行公理都限定同一平面内，缺少条件结论不成立； 题型01.对顶角的定义与性质 1．下面四个图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． E． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，解题的关键是正确理解对顶角的定义； 根据对顶角的定义：如果两个角由公共顶点，且角的两边互为反向延长线，那么这两个角互为对顶角．结合图形逐个选项判断即可． 【详解】解：A、符合对顶角的定义，故本选项符合题意； B、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； C、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； D、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．如图，剪刀开合时，当增大时，的度数（     ） A．增大 B．增大 C．减小 D．不变 【答案】B 【详解】解：与是对顶角， ， 当增大时，的度数也增大． 3．若平面内互不重合的10条直线相交于一点，共有对对顶角，则的值为（   ） A．45 B．90 C．180 D．200 【答案】B 【分析】每两条直线相交于一点会产生2对对顶角，先计算10条直线中两两组合的数量，再乘以2即可得到对顶角总对数； 【详解】两条直线相交于一点，共产生2对对顶角， 10条互不重合的直线交于一点，两两组合的总组数为， 对顶角总对数． 4．如图，已知直线与交于点，，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂直的定义、角的和差、角平分线的定义、对顶角的性质等知识点．由垂直的定义可得，易得，再根据角平分线的定义可得，然后运用角的和差可得，最后根据对顶角相等即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5．如图，直线，相交于点O，平分，于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得，进一步结合角的和差求解即可； （2）设，，解得，根据对顶角相等，角的和差求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：平分， ， 设， ， ， ， 解得， ， ， ， ． 题型02.求一个角的余角 6．若一个角等于它的余角，则这个角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出这个角的度数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为， 根据余角的定义，它的余角为， ∵这个角等于它的余角， ∴， 解得， 即这个角的度数为． 7．如图，将一副三角板的两直角顶点重合放置，已知，则的余角的度数为______． 【答案】/30度 【分析】先求得，进而根据余角的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的余角的度数为． 8．如图，已知点是直线上一点，，，则图中互余的角共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【分析】本题考查了余角的和等于的性质，根据余角的和等于，结合图形找出和等于的两个角，然后计算对数即可，找出和等于的两个角是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∵，， ∴互余的角有：和，和，和，和，共对， 故选：D． 9．如图，直线，交于点，已知，． (1)若，求的度数； (2)若，试说明与互余． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先根据对顶角相等和已知条件，求出，从而求出即可； （2）先根据垂直定义和已知条件求出，再求出和，再根据已知条件求出，进而求出即可证明． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）证明：， ． ， ， ， ， 与互余． 题型03.求一个角的补角 10．已知与互补，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵与互补， ∴， ∴． 11．如图，直线、交于点O，于点O，，平分，的补角有________个；的余角有________个． 【答案】 3 4 【分析】本题主要考查了余角和补角的定义．熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．易错点是容易遗漏相等的角的补角与余角． ①根据补角的定义可得是的补角．根据同角的余角相等可得，根据平角的定义可得，进而可得，则可得是的补角，再根据平分，得，所以，故是的补角．综上，的补角有3个； ②由余角的定义可得是的余角．又由，可得是的余角．由可得是的余角．由余角的定义可得是的余角．综上，的余角有4个． 【详解】解：①∵直线、交于点O， ∴， ∴是的补角． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴是的补角． 又平分， ， ， ， 是的补角． 综上，的补角有3个； ②∵， ∴， ∴是的余角． ∵， ∴是的余角． ∵平分， ∴， ∴是的余角． ∵， ∴， ∴是的余角． 综上，的余角有4个． 故答案为：3，4． 12．如图，已知O为直线上一点，过点O向直线上方引三条射线，，． (1)若，平分，求的度数． (2)若，与互余，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、互余的性质以及平角的性质，解题的关键是利用角平分线得到等角，结合互余关系与平角为建立角度间的数量关系． （1）由角平分线的定义得到，再结合平角，即可求出的度数； （2）先根据互余的性质求出的度数，再由得到的度数，最后结合平角的性质求出的度数． 【详解】（1）解：∵ OD平分， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 在直线AB上，， ∴ ． （2）解：∵ 与互余， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 题型04.余角.补角有关的计算 13．一个角的余角比这个角的补角的一半少，则这个角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余角和补角的定义，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设这个角等于， 由题意，， 解得. 14．如图，点O是直线上一点，是一条射线，且，若过点O作射线，使，则的度数为______． 【答案】或 【分析】解题的关键是正确画出图形，并进行分类讨论，根据垂线定义可得，然后再由条件可得的度数． 【详解】解：∵， ∴． 如图1，当在直线下方时， ∵， ∴； 如图2，当在直线上方时， ∵， ∴． 综上，的度数为或． 15．如图，点O在直线上，射线都在直线的上方，射线在直线的下方．，垂足为点O，在的内部，． (1)求证：与互为余角； (2)若，与互为余角，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂直的定义，平角的定义，得到，即可得证； （2）根据余角的定义结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 则． ∴与互为余角． （2）解：∵，由（1）可得，． ∵与互为余角，， ∴． ∴． 题型05.同(等)角的余(补)角相等的应用 16．课堂上，同学们在探究“与”之间的数量关系时，进行了如下推理，其推理的依据是________． 因为， 所以（________） 【答案】同角的余角相等 【分析】本题考查了同角的余角相等．根据“同角的余角相等”进行判断即可． 【详解】解：因为， ， 所以（同角的余角相等）． 故答案为：同角的余角相等． 17．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为________． 【答案】 【分析】本题主要考查余角的性质，将角度进行转化得到关系是解题的关键． 首先根据正方形的性质得到角度为，再进行角度转化即可得到、、三个角的数量关系． 【详解】解：如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点O重合放置， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 18．如图，已知，OC是内任意一条射线，OB、OD分别平分、，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，通过角平分线的定义得到相等的角，再结合，对每个结论逐一进行推导验证． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，， ∴，，故①②正确； ， ∴，显然，故③错误； ∵， ∴， 又∵， ∴，故④正确； 综上，①②④正确，共3个， 故选：C． 19．如图1，将一副三角尺的直角顶点O叠放在一起．若三角尺不动，将三角尺绕点O按顺时针方向转动．    (1)如图2，若，则________，________（填“>”“<”或“=”）； (2)如图3，，则________，________（填“>”“<”或“=”）； (3)三角尺在转动的过程中，若，计算的大小（用含的代数式表示）； (4)借助（3）中的结论，在备用图中利用画直角的工具画出一个与相等的角． 【答案】(1)，= (2)，= (3)． (4)见解析 【分析】本题主要考查了角度的和差计算． （1）由互余先求出的度数，再根据即可；由同角的余角相等可得出； （2）由图形可知，，代入即可；再由角度的和差计算可得出； （3）分两种情况：①当与有重合部分时；②当与无重合部分时，可分别得出结论； （4）由（3）可知，分别以为边，为边作两个直角即可． 【详解】（1）解：由图可知． 因为，所以， 所以， 所以，所以． 故答案为：，=； （2）解：由图可知． 因为， 所以． 因为，， 所以． 故答案为：，=； （3）解：①当与有重合部分时， 由题意可知， 所以，， 所以． 因为， 所以， ②当与无重合部分时， 由题意可知， 所以，， 所以． 因为， 综上，； （4）解：由（3）可知， 如图，即为所求．    题型06.垂线的定义与画法 20．如图，直线，相交于点O，．若，则的度数为____． 【答案】/130度 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 21．如图，直线相交于点，射线平分，若，则的度数为______． 【答案】/50度 【分析】此题主要考查了垂线以及角平分线的定义，正确得出的度数是解题关键． 直接利用垂线的定义结合角平分线的定义得出答案． 【详解】解：，射线平分， ， ， ． 故答案为：． 22．利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线的概念，熟练掌握垂线的作图是解题的关键，根据垂线的概念作图即可得到答案． 【详解】解：垂线的作图步骤：将三角尺的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿该直角边画直线，可得直线的垂线， ∴C选项的画法正确， 故选：C． 题型07.垂线段的性质与距离定义 23．如图，是灌溉地，是河岸，沿开渠，可使铺设水管最短，其数学原理是_____． 【答案】垂线段最短 【分析】根据垂线段的性质，即可求解． 【详解】由题意可知其运用的数学原理是：垂线段最短． 24．如图，直线是起跳线，脚印是小明跳入沙坑时留下的痕迹，体育老师测得线段________的长度作为小明此次的跳远成绩． 【答案】 【分析】根据跳远成绩的测量规则，即测量后脚脚后跟落地点到起跳线的垂直距离，结合图形中的垂直符号确定对应的线段． 【详解】解：根据跳远运动的规则，成绩是后脚脚后跟落地点到起跳线的垂直距离． 由图可知，线段垂直于起跳线，线段不垂直于起跳线，点P不是后脚脚后跟， 因此，体育老师测得线段的长度作为小明此次的跳远成绩． 25．如图，点为直线外一点，点，点为直线上的两点，已知，，则点到直线的距离可能为（    ） A．1.8 B．2.2 C．2.5 D．2.8 【答案】A 【分析】根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”这一性质，可知点 到直线的距离应小于或等于与中的较小值，据此判断即可． 【详解】解：设点 到直线 的距离为． 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， 且 ． ，， ． 26．如图，，．填空： （1）___________度； （2）直线与的位置关系是___________； （3）点B到直线的距离是线段___________的长度，点D到直线的距离是线段___________的长度； （4）在线段，，中，最短的是线段___________；在线段，，中，最短的是线段___________，理由是___________． 【答案】 90 互相垂直 垂线段最短 【分析】（1）根据垂线的定义以及性质即可解决问题； （2）根据垂线的定义以及性质即可解决问题； （3）根据点到直线的距离定义解决问题； （4）根据垂线段最短即可解决问题； 本题考查了垂线的定义和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：90． （2）解：∵， ∴， ∴直线与的位置关系是互相垂直． 故答案为：互相垂直． （3）解：∵， ∴线段的长是点B到直线的距离的线段； 同理，点D到直线的距离是线段的长度； 故答案为：，． （4）在线段，，中，最短的线段是；在线段，，中，最短的是线段．理由是垂线段最短． 故答案为：，，垂线段最短． 题型08.同位角.内错角.同旁内角 27．下列图形中，与属于同位角的是（     ） A． B．C．D． 【答案】A 【分析】根据同位角的特征：两条直线被第三条直线所截形成的角中，两个角都在两条被截直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，由此判断即可． 【详解】解：选项A是同位角，选项B、C、D不是同位角． 28．如图，有下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是同旁内角．其中正确的是_________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断． 【详解】解：①与是对顶角，故原说法正确； ②与是同旁内角，故原说法正确； ③与是邻补角，不是内错角，故原说法错误； ④与是同位角，故原说法正确； ⑤与不是同旁内角，故原说法错误． 故正确的是①②④． 29．如图，下列判断正确的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 【答案】A 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．与是同旁内角，正确，符合题意； B．与是内错角，原表述错误，不符合题意； C．与是同位角，原表述错误，不符合题意； D．与不是内错角，原表述错误，不符合题意； 故选：A． 题型09.平行线的判定 30．如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， 该选项符合题意； B. ∵， ∴， 该选项不符合题意； C. ∵， ∴， 该选项不符合题意； D. ∵， ∴， 该选项不符合题意； 故选：A． 31．如图，下列推理中正确的是________．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】①②④ 【详解】根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补来判断两直线是否平行． 解：①：∵，这是内错角相等，∴，推理正确； ②：∵，这是同位角相等，∴，推理正确； ③：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理错误； ④：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理正确． 综上，正确的推理是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了知识点平行线的判定，解题关键是准确识别同位角、内错角、同旁内角，再结合判定定理进行判断． 32．小颖学习了平行线的相关知识后，利用如图所示的方法，折出了“过已知直线AB外一点P和已知直线AB平行的直线MN”，下列关于MN∥AB的依据描述正确的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．以上选项均正确 【答案】D 【分析】先根据折叠的性质得到折痕都垂直于过点P的直线，根据根据平行线的判定方法求解． 【详解】解：如下图，作以下标记E： 第一步的操作可知PE⊥AB，所以∠PEA=∠PEB=90°，第二步的操作可知MN⊥PE，所以∠MPE=∠NPE=90°，所以∠PEA=∠PEB=∠MPE=∠NPE=90°，所以可依据A. 同位角相等，两直线平行、B. 内错角相等，两直线平行、C. 同旁内角互补，两直线平行判断MN∥AB，故A、B、C三个选项都对， 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 33．如图，直线分别与直线交于点B，F，且．的角平分线交直线于点E，的角平分线交直线于点C．    (1)请判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)求证：． (3)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由对等角相等及等量代换可得，再由同位角相等两直线平行解答； （2）由两直线平行内错角相等得到，再结合角平分线性质、等量代换得到，最后根据内错角相等，两直线平行解答； （3）由平行线的性质可得，，整理得，最后由邻补角互补解答． 【详解】（1）解： ． 理由：∵， ∴， ∴． （2）证明：由（1）知， ∴． ∵的平分线交直线于点E，的平分线交直线于点C， ∴， ∴， ∴． （3）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质、邻补角的性质、角平分线的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 34．在生活中，当我们把吸管放到清水中时，会发现吸管“折”了（如图1），其实这是光的折射现象．如图2，水面与容器底部平行，光线从空气中射入水中时发生了折射，折射光线与相交于点，点在的延长线上，，求光线偏折的角度的度数．在解决这道题时，小聪和小明分别用了不同方法． (1)请你为小聪的解题过程补充理由或结果； (2)请你在方框里帮小明写出他的解答过程． 小聪： 解：（已知）， （   ） （已知）， ． （   ）， ． （已知）， （   ） 小明：                 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；； (2)见解析． 【分析】本题考查了平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补． （1）由平行线的性质得，然后根据即可求解； （2）由平行线的性质得，由对顶角的性质得，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补） （已知）， ． （平角的定义）， ． （已知）， （2）（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （对顶角相等） ． 题型10.平行公理及推论的应用 35．数学课堂上，老师出示了如下问题：如图，已知直线外有两点． 画图操作： 第一步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线． 第二步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线． 观察发现：． 上述过程中的“画图操作”和“观察发现”可得到的数学知识分别是（    ） 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理及其推论，根据平行公理及其推论即可求解，掌握平行公理及其推论是解题的关键． 【详解】解：由“画图操作”可得到的数学知识是经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； 由“观察发现”可得到的数学知识是如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ∴可得到的数学知识分别是， 故选：． 36．已知直线及直线外一点，在经过点的四条直线，，，中，与直线相交的至少有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题考查平行公理，熟练掌握平行公理是解题的关键； 根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，即可求解； 【详解】解：根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 那么根据图可得：至少有三条直线和直线相交； 故选：C 37．如图，已知点在上，平分平分． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义及平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键， （1）根据角平分线的定义结合平角定义得出，即可证明结论； （2）先证明，得出，再证明，得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：平分平分， ， ， ， ， ； （2）证明：平分平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型11.平行线的性质 38．如图，直线分别与直线、相交于点、，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行同位角相等，可求得的度数，再由邻补角的定义即可求得的度数． 【详解】解：，， ， ． 39．机器人“夸父”是我国全运会历史上首个人形机器人火炬手．如图是“夸父”在传递火炬时的平面示意图．若，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得 ，从而求出 的度数． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴． 40．如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射可知，其原理如图所示，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义．由平角的定义求出，由平行线的性质推出，求出，即可得到的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 41．光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射．在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．如图，若水面和杯底互相平行，，则等于______度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握“两直线平行，同位角相等”和“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．由水面和杯底互相平行，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出的度数，由水中的两条折射光线平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出的度数． 【详解】解： 水面和杯底互相平行， ， ， ， 水中的两条折射光线平行， ， 故答案为：． 42．如图所示的图形是由和长方形拼成的，在中，，，点A在长方形的边上，与相交于点，与相交于点．    (1)如图1，当时， ； ． (2)如图2，当与不垂直时，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；； (2)，理由见解析 【分析】（1）过点作，根据垂线的性质，得到，进而得到，，然后利用平行线的性质，求出的度数即可； （2）过点作，得到，进而得到，再利用平行线和对顶角的性质，得到，即可得出与的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ，， ，， 长方形， ， ， 故答案为：；；   ; （2）解：，理由如下： 如图，过点作， ， ，，，， ， 长方形， ， ， ， ， ．   ． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，垂线的定义，对顶角，余角，解题关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 题型12.平行线性质探究角的关系 43．一副三角板按如图所示放置，已知，，，过点的直线与过点的直线相互平行，设，，则，满足的等量关系式是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质及角的和差的运用.熟练掌握平行线的性质是解题的关键．直接利用平行线的性质及特殊直角三角形角的特征求解即可． 【详解】∵ ∴ 由已知三角板可知， ∴， ∴ ∴． 故答案为： 44．如图，已知，点为上一点，作，连接，若与的角平分线交于点．下列结论： ①；②若，则；③；④．其中一定正确的结论有___________（填写序号即可）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，平行线的判定及性质；①由平行线的性质得，结合角平分线的定义即可判断；②过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，即可判断；③过作，由平行线的性质得，结合角平分线的定义得，即可判断；④由平行线的性质得，由角平分线的定义得，，即可判断；能熟练利用平行线的判定及性质，角平分线的定义进行求解是解题的关键． 【详解】解：①， ， 平分， ， ； 故①正确； ②过作， ， ， ，， ， ，即； 故②正确； ③过作， ， ， ， ， ， ， ， 与的角平分线交于点， ，， ， ， ， ， 故此项错误； ④， ， 与的角平分线交于点， ，， ， ， 故④正确； 故答案为：①②④． 45．如图，，则；如图，，则；如图，，则；如图，，则．以上结论正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】过拐点作平行线，利用平行线的同旁内角互补，分别列出、与内错角的关系，然后计算进行判断；过拐点作平行线，利用平行线的内错角相等，分别得到、，然后将两式相加进行判断；过拐点作平行线，用同旁内角互补表示，用内错角相等表示，然后代入进行判断；过点作，利用平行线的内错角相等传递角度进行判断． 【详解】解：如图，过点作，则， ， ， ， ， ， ，即， 故①错误； 如图，过点作，则， ， ， ， ， ， ， 故正确； 如图，过点作，则， ， ，即， ， ， ， ， 即， 故正确； 如图，过点作，则， ， ，， ， ， ， 故正确． 综上，正确结论的个数为个． 46．【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是平面内任意一点，连接、． 【探索发现】： (1)如图1，若，写出与的数量关系：______； 【深入探究】： (2)如图2点P、Q分别是直线上的点，且，直线，交于点K，“智胜小组”探究与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的探究基础上，，“科创小组”探究与之间的数量关系．请直接写出它们的关系． 【答案】(1) (2)与之间的数量关系为，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点F作平行于的直线，利用平行线的内错角相等，将和转化为同一个角的两部分． （2）利用推出，再利用平行线的性质即可求证． （3）过点M作，设，利用平行线的性质即可求证． 【详解】（1）解：过点F作， ， ， ，， ． （2）解：设， 与是对顶角， ， ， ， ， 又， ， ， ． （3）∵， ∴设， 过点M作， ， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 题型13.平行线性质求角的度数 47．在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺按如图方式摆放，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质得出，根据垂直的定义得出，根据平角的定义即可得出答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 48．自行车尾灯内部的角反射器由平面镜组成，其工作原理如图所示，当光线射向镜面时，经过两次反射，光线沿平行于的方向射出（此时，）．若，则的度数为__________． 【答案】/度 【分析】根据平角的定义得出，利用平行线的性质得出，然后利用平角的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 49．如图，已知，为上的两点，为上的两点，延长至点，平分，点在直线上，且平分，若．则下列结论：；；设，则；，其中，正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质，分别对四个结论逐一验证即可． 【详解】解：∵平分， ∴，故正确，符合题意； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故正确，符合题意； 如图，过点作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，故错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由知， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴，故正确，符合题意； 综上可知，正确． 50．篮球架及侧面示意图如图所示，若，，于点B，求的度数．由题意，可过点C作的平行线，请在图中画出辅助线，补全依据并完成解题过程． 解：过C作平行于， ∵，∴， ∴（ ① ）， ∴（ ② ） ∴， ∵， ∴（ ③ ）． ∵于点B， ∴（ ④ ）， ∴， ∴ ⑤ （平角的定义）． 【答案】①平行于同一条直线的两条直线平行；②两直线平行，同旁内角互补；③两直线平行，内错角相等；④垂直的定义；⑤60 【分析】本题主要考查根据推理过程填写逻辑关系，由平行于同一条直线的两条直线平行得，两直线平行，同旁内角互补得，两直线平行，内错角相等得，垂直的定义得，最后计算结果． 【详解】解：过C作平行于， ∵，∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵于点B， ∴（垂直的定义）， ∴， ∴（平角的定义）． 题型14.平行线性质的应用 51．如图，在A，B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东．若A，B两地同时开工，要使公路准确接通，则的度数应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可知， 解得：． 52．如图，在两条笔直且平行的景观道上放置P，Q两盏激光灯．其中光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至边便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至边就停止旋转，此时光线也停止旋转．若光线先转4秒，光线才开始转动，当时，光线旋转的时间为___秒． 【答案】6或43.5 【分析】依据两直线平行，同位角相等，内错角相等，列出关于时间t的关系式可求． 【详解】解：当，则，如下图： ∵， ∴． ∴． 设光线旋转时间为t秒， ∴ ∴． 当，则，如下图： . ∵， ∴． ∴． 设光线旋转时间为t秒，此时光线由处返回， ∴． ∴． ∴． ∴． 综上，光线PB旋转的时间为6或43.5秒． 故答案为：6或43.5． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确计算相应的旋转角度是解题的关键． 53．酷热的夏天过后汛期即将来临，为了便于夜间查看盘龙江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在盘龙江两岸各安置了探照灯和．如图1，灯射线自顺时针方向旋转至便立即回转，灯射线自顺时针方向旋转至便立即回转，若灯每秒钟转动度，若灯每秒钟转动b度，且满足：，假设这一带盘龙江两岸是平行的，即．且． (1)求a、b的值． (2)若灯B射线先旋转30秒，灯射线才开始转动，求灯转动多少秒时，两灯灯光第一次平行． (3)如图2，两灯同时转动t秒，在灯射线到达之前，若射出来的光线交于点C． ① （用含有t的式子表示）； ②过点C作交于点D，在转动过程中，的值是一个定值吗？若是，请求出这个定值．若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②为定值， 【分析】本题考查了非负数的性质，列代数式，解一（二）元一次方程(组)，平行线的性质，平行公理的推论．利用非负数的性质和平行线的性质列出方程（组）是解题的关键． （1）利用非负数的性质，列方程组解出即可； （2）设转动时间，并表示出灯和灯转动的角度，再利用平行线的性质，列出方程解出即可； （3）①利用锯齿形中各角的关系即可列出代数式； ②利用①的结论和②中的条件，用表示出与，即可探究出的值． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：； （2）当两灯灯光第一次平行时， 则：， 解得：； （3）①如图，过点C作， ， ， ， ∴， 经过秒，， ， 故答案为：； ②为定值， ， ， ， ， ，， ， ． 题型15.平行线判定与性质求角度 54．如图，已知，，，则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 过点作，根据平行线的性质得到、，进而求出的度数，利用求解即可． 【详解】解：如图，过点作， ， ， 、， ， ． 55．已知：，点C在点D的右侧，B是AG上一动点，连接平分，DE平分，所在直线交于点E，，．则的度数是______． 【答案】/47度 【分析】根据角平分线的定义求出和的度数，过点作，利用平行公理推论得到，再根据两直线平行内错角相等，将转化为与的和即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， 过点作（在点左侧），如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 56．2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秩BOT》节目中的机器人名为H1，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． 【提出问题】 图①是H1练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构造新的图形． 【问题解决】 (1)解：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以， 因为，， 根据 ， 所以， 根据 ， 所以． 因为， 所以 ， 所以 【迁移应用】 如图③，在一款手推车的平面示意图中． (2)若，，则____ (3)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 (4)如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则 【答案】(1)平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；； (2) (3)， 理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； (4) 【分析】（1）先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，然后根据角的和差即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质求解即可得； （3）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得； （4）过点作，过点作，先求出，，再根据垂直的定义可得，根据角平分线的定义可得，然后求出，最后根据求解即可得． 【详解】（1）解：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 根据平行于同一条直线的两条直线平行， 所以， 根据两直线平行，内错角相等， 所以． 因为， 所以， 所以； （2）解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）略 （4）解：如图，过点作，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 题型16.平行线判定与性质证明 57．已知：如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定及性质是解题关键． （1）利用平行公理的推论得到，再由“两直线平行，内错角相等”可推出； （2）由和推出，再结合求出． 【详解】（1）证明：，， ， ． （2）解：，， ， ， ， ． 58．如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与相等吗？为什么？ (3)若，，求的大小． 【答案】(1)，理由见解析 (2)， 理由见解析 (3) 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）由对顶角相等得到， 等量代换得到， 即可判定； （2）根据平行线的性质即可求解； （3）由平行线的性质得到， 再根据已知条件得出，最后根据平行线的性质即可得解． 【详解】（1）解：， 理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 59．已知：如图，直线，直线分别与交于两点，点是直线上一点，点是上一点，连接． (1)点分别在射线上，当时， ①试判断与的位置关系，并说明理由； ②若射线平分，求的度数． (2)点分别在射线，直线上时，请你在备用图中画出满足条件的图形，写出此时与的关系，并说明理由． 【答案】(1)①，见解析；② (2)，见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，角平分线的定义； （1）①根据平行线的性质可得，进而根据得出，即可得证； ②根据图形可得，根据角平分线的定义，可得，根据即可求解； （2）根据题意画出图形，进而根据得出，；即． 【详解】（1）解：①，理由如下： ， ， ， ，即， ； ②由已知，和， 可知， 射线平分， ， ． 答：的度数是； （2）当在射线上时，如图： ， ， ， ， ； ， 题型17.平行线与折叠问题 60．已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B沿向下折叠至点N，M处，将点C，D沿折叠至点P，K处，若，则的度数为_______． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当在上方时，延长、交于点，证明，则；当在下方时，延长，交于点，证明，则． 【详解】解：当在上方时，延长、交于点， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当在下方时，延长，交于点， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述：或． 61．如图，长方形纸片沿线折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠性质可得，，结合长方形性质和平角定义求出、、的度数，最后由即可得解． 【详解】解：由折叠性质可得，， 长方形中，， ， 又， ， ， 即， ， ， ， ， ，选项符合题意． 62．已知长方形纸带，，，，点，分别在边，上，． (1)如图1，将纸带先沿直线折叠后，点，分别落在，的位置： ①则的度数为_______（用含的代数式表示）；的度数为_______（用含的代数式表示）． ②试说明． (2)如图2，在（1）的基础上将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，求的度数． (3)如图3，在（2）的基础上连接，若，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． （1）①由折叠的性质可得，由平行线的性质可得，， 由平行线的性质可得， （2）由平行线的性质可得，由折叠可知：，，进而由求解， （3）过点作，可得，，进而可得． 【详解】（1）解：①由折叠可得：，， ∵， ∴， ②∵， ∴，由折叠可知：， ∴ ∴， （2）解：∵， ∴， 由折叠可得：， ， 由（1）得， ∴， （3）过点作， ∴，， ∴． 题型18.平行线与动点问题 63．如图，在中，，D是线段上的一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为___________． 【答案】或 【分析】此题重点考查平行线的性质、翻折变换的性质等知识，本题分三种情况：，，，根据平行线的性质和折叠的性质求解即可． 【详解】解：如图1，当时， ， ， ， 把沿折叠，点C落在点处， ， ， ， ； 如图2，当时， ， ， 由折叠得， ， ， ； 是线段上的一个动点， 不存在的情况， 综上所述，等于或， 故答案为：或． 64．在中，，点D，E分别是边两个动点．将沿折叠得到，点A的对应点为点F，的平分线交直线于点G．若边与的一条边平行，，则的度数为______． 【答案】或或 【分析】根据题目与的一条边平行，先确定线段的位置，再利用平行线和角平分线的性质求得对应角的度数求出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵在中，，， ∴， 当时，①如图1所示： ， ∵， ∴， ∴； ②如图2所示： ， ∵， ∴， ∴； 当，如图3所示： ， ∵， ∴， 在中，， ∴． 65．已知． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，，，的平分线交于点． ①求的度数． ②已知，为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①②当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时， 【分析】（1）过点C作，则有，然后得到，然后计算解题； （2）①过点C作，过点P作，求出，，，根据角平分线的定义结合平行线的性质求出 ，由计算即可得到结论； ②由①可得，，然后分点F在点P的左侧和点F在点P的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：①过点C作，过点P作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的角平分线交于点P， ∴，， ∴， ∴． ②由①得，，， ∵， ∴， 过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 当点F在点P的左侧时，如图，则， ∴， ∴； 当点F在点P的右侧时，如图， 则， ∴， ∴． 综上所述，当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $