精品解析：山西省榆次第一中学校2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

2025～2026学年榆次一中高一（下）阶段检测试题 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（其中i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，即的幂次具有周期性，周期为4， 所以. 所以.  2. 某圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知圆台的上底面半径，下底面半径，高， 则母线. 所以圆台侧面积为. 3. 已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为,所以 所以在上的投影向量的坐标为： ， 故选 ：C. 4. 某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是（ ）m A. B. 8 C. 12 D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图： 依题意，在中，，，， 所以， 由正弦定理，得. 在中，，，， 由余弦定理，得， 所以. 5. 在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面的位置关系及判定方法求解. 【详解】若，，，则或异面，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，，可能有，故C错误； 若，，则，又，则，故D正确， 故选：D. 6. 已知正方体的棱长为2，P，Q分别是，的中点，则经过点，Q，C，D，C1的球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出的外接圆半径，矩形的外接圆半径，再利用几何关系求出球的半径，进而求出结果. 【详解】 根据正方体，得，，所以平面， 四边形是矩形，其中，， 的三边为， ，， ， 设的外接圆半径为，则， 于是， 设矩形的外接圆半径为，则， 设球心为，过作平面，垂足为， 过作平面，垂足为， 则是矩形的外心，是三角形的外心， 取中点，则， 于是平面， 所以四边形是矩形. 设球半径为，， 则， 于是球的表面积为. 故选：D. 7. 如图1，在边长为2的正方形中，E、F分别为、中点，若沿、及把这个正方形折成一个四面体，使得B、C、D三点重合于S，得到四面体（图2），H为的中点，G为中点．下列结论错误的是（） A. B. 直线与平面所成角的正切值为 C. 四面体的内切球表面积为 D. 过点G的平面截四面体的外接球所得截面圆面积取值范围是 【答案】C 【解析】 【详解】选项A，由题意得 又，面，面，所以面， 又面，A正确. 选项B，是中点，连接， 面，就是线面角； ，， ，B正确. 选项C，四面体体积： 表面积，， ， 内切球半径： 内切球表面积，C错误. 选项D，该四面体外接球等价于以为长宽高的长方体外接球， ； 是中点，，球心到距离 截面最小圆：截面，， 截面最大圆：过球心，， 截面面积，D正确. 8. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理结合两角和的正弦公式得到，进而得到，然后利用正弦定理和三角恒等变换，由求解. 【详解】解：因为，由正弦定理得， 由余弦定理得，即， 由正弦定理得， 又， 所以， 所以， 又，，则， 所以或，即或（舍去）， 则， 所以解得，则． 所以， ， ， 即的取值范围是． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是得到，从而利用确定角B的范围，由此得解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 2021至2025年我国快递业务量及其增长速度如图所示，则（ ） A. 2021至2025年我国快递业务量逐年增长 B. 2021至2025年我国快递业务量增长速度逐年增长 C. 2021至2025年我国快递业务量每年增长量超过200亿件 D. 估计我国2020年的快递业务量小于650亿件 【答案】AD 【解析】 【详解】 选项A：由柱状图数据可知，2021至2025年我国快递业务量分别为（亿件），数值逐年增大， 说明业务量在逐年增加，故选项A正确； 选项B：由折线图数据可知，2021至2025年我国快递业务量增长速度分别为，呈现先减后增的趋势，并非逐年增长，故选项B错误； 选项C：2023年的快递业务量增长量为（亿件），显然，不满足每年增长量超过200亿件，故选项C错误； 选项D：设我国2020年的快递业务量为亿件，根据2021年的业务量为亿件且增长率为， 可得，解得. 因为，所以估计我国2020年的快递业务量小于650亿件，故选项D正确. 10. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是等腰梯形 B. 三棱锥的体积为4 C. 若P在线段上，则跟面所成角的正弦值最大为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用平行关系做出截面可判断A；根据等体积法可求得三棱锥的体积，可判断B；因为平面，所以与面所成角的正弦值即为的正弦值，分析得在点时的正弦值最大，可判断C；通过作点关于平面的对称点，将转化为，结合图形，当三点共线时即得的最小值,可判断D. 【详解】对于A，连接，，分别是棱，的中点， 则，且， 又，则，且，又 因此过，，三点的平面截正方体所得截面为梯形，故A正确； 对于B，三棱锥如下图所示，，.故B错误； 对于C，由题意，正方体，所以 平面， 则与面所成角即为. ，P在线段上, 当点处于点点时，有最小值，此时有最大值， ，故C错误； 对于D，如图，作出点关于平面的对称点，连接，交平面于点， 因此时，则即为最小值， 取的中点，连接，易得，则，故D正确. 11. 在中，，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题知，进而得，，再结合即可判断A；根据得或，再分类讨论判断B，结合面积分类讨论求解判断CD. 【详解】因为，所以，根据正弦定理边角互化得， 因为，，所以，即 所以，由余弦定理可知，，故， 若，则，注意到， 所以（两者同负会有两个钝角，不成立），即， 因为，都是锐角， 所以， 于是，这和相矛盾， 故不成立，所以. 所以，， 所以，A选项正确； ，即， 所以或，即或， 当时，，； 当时，，，故B选项正确； 因为的面积为， 所以，当，时，，，， 解得，，； 当，时，，，， 解得，，； 所以C选项错误，D选项正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在正四面体中，点分别为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题目已知条件判断出异面直线所成角为，利用余弦定理计算即可. 【详解】连接，因为分别为的中点，所以， 因异面直线所成角的范围为，则异面直线所成角为， 设正四面体的棱长为，则，， 根据余弦定理，， 则异面直线所成角的余弦值为. 故答案为：. 13. 已知且，则的最大值是______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数模的几何意义，将问题转化为圆上动点到定点的距离最大值问题，即圆心到定点的距离与半径之和. 【详解】由可知，复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆； 表示点到定点的距离； 因为； 所以的最大值为. 14. 如图，在直三棱柱中，，点P在棱BC上运动，则过点P且与垂直的平面截该三棱柱所得的截面周长的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线线垂直，证明线面垂直，找到与垂直的平面，故可得平面平面，即可求解. 【详解】取中点为,连接交于,连接,所以,,所以, ,,所以,,故,又因为平面平面,其交线为,且,因此平面,故,因此平面,故平面平面，因为点P在棱BC上运动，故当点P运动到点时，此时截面最大，进而周长最大，此时周长为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数； （3）试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数． 【答案】（1） （2） （3）15.3125 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中频率之和为1可求得的值. （2）首先求出该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率，从而求得人数. （3）根据中位数的概念即可求出该单位职工参与志愿服务次数的中位数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，解得． 【小问2详解】 由图可知该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率为， 则该单位参加志愿服务次数不低于15次的人数为． 【小问3详解】 因为， 所以该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值在内． 设该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为，则， 解得，即该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为15.3125． 16. 如图，在梯形中，，，，、分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． （1）若，求的值； （2）求的长； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，明确各点的坐标. （1）用表示，可得的值，可求的值. （2）设，利用可求的值. （3）利用坐标运算得到，再结合二次函数的值域求的范围. 【小问1详解】 如图： 以为原点，建立如图平面直角坐标系，设，， 则，，，，，. 所以， 又，，所以. 又，所以，， 所以. 【小问2详解】 因为，， 由，又，所以. 故. 【小问3详解】 设，， 则，， 所以， 当时，；当或时，. 所以. 17. 在中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． （1）求角B； （2）若D在边上且，，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，结合辅助角公式进行求解即可； （2）根据余弦定理可得，然后利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为， 根据正弦定理得：， 且， 可得， 即，又因为，则， 可得，整理可得， 又，则，可得，解得. 【小问2详解】 由得，又，， 则由余弦定理得，即， 即， 由基本不等式得， 所以，所以， 当且仅当时取等，所以的最大值为. 18. 如图，在四棱锥中，，且． （1）证明：平面平面； （2）若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积． （3）若为棱的中点，在（2）的条件下，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为，所以且， 因为，所以， 又，平面，所以平面PAD． 又面，所以平面平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】(1)由题意可证得面，然后结合面面垂直的判定定理即可证得平面平面. (2)在平面PAD内作，垂足为点E．证明平面ABCD．设，则，．由棱锥体积求得后可得各侧面面积．即可得侧面积． (3)以E为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 在平面PAD内作，垂足为点E． 由（1）知平面PAD，故． 又，平面，所以平面ABCD． 设，则，． 故四棱锥的体积，解得． 从而，，． 所以四棱锥的侧面积为． 【小问3详解】 由（1），（2）知平面ABCD，平面PAD，过作， 以为坐标原点，分别为轴正方向. ,,,,, 易知平面的一个法向量为， 假设平面的一个法向量为， ，， 则，令，则. 所以， 所以二面角的余弦值. 19. 定义非零向量的（相伴函数）为，向量称为函数的“相伴向量”（ 其中为坐标原点） （1）求的相伴向量； （2）求（1）中函数的“相伴向量”模的取值范围； （3）已知点，其中为锐角中角的对边．若角为，且向量的“相伴函数”在处取得最大值．求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合定义，将原函数化为型即可得； （2）借助三角恒等变换与正弦函数的值域计算即可得； （3）借助辅助角公式，可得，结合正弦定理可得与正切函数性质可得的范围，即可得的范围. 【小问1详解】 ， 函数的相伴向量， 【小问2详解】 ， ，， 的取值范围为； 【小问3详解】 的相伴函数， 其中，， 在处取得最大值， 所以，，即，， ， ， 因为， 又因为，所以， 所以，所以，令，，， 又在 上单调递增，所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于借助“相伴函数”定义及辅助角公式求出，其中，，则可通过计算的范围得到的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年榆次一中高一（下）阶段检测试题 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（其中i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 某圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是（ ）m A. B. 8 C. 12 D. 5. 在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6. 已知正方体的棱长为2，P，Q分别是，的中点，则经过点，Q，C，D，C1的球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，在边长为2的正方形中，E、F分别为、中点，若沿、及把这个正方形折成一个四面体，使得B、C、D三点重合于S，得到四面体（图2），H为的中点，G为中点．下列结论错误的是（） A. B. 直线与平面所成角的正切值为 C. 四面体的内切球表面积为 D. 过点G的平面截四面体的外接球所得截面圆面积取值范围是 8. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 2021至2025年我国快递业务量及其增长速度如图所示，则（ ） A. 2021至2025年我国快递业务量逐年增长 B. 2021至2025年我国快递业务量增长速度逐年增长 C. 2021至2025年我国快递业务量每年增长量超过200亿件 D. 估计我国2020年的快递业务量小于650亿件 10. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是等腰梯形 B. 三棱锥的体积为4 C. 若P在线段上，则跟面所成角的正弦值最大为 D. 的最小值为 11. 在中，，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在正四面体中，点分别为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为__________． 13. 已知且，则的最大值是______________． 14. 如图，在直三棱柱中，，点P在棱BC上运动，则过点P且与垂直的平面截该三棱柱所得的截面周长的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数； （3）试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数． 16. 如图，在梯形中，，，，、分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． （1）若，求的值； （2）求的长； （3）求的取值范围． 17. 在中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． （1）求角B； （2）若D在边上且，，求的最大值． 18. 如图，在四棱锥中，，且． （1）证明：平面平面； （2）若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积． （3）若为棱的中点，在（2）的条件下，求二面角的余弦值． 19. 定义非零向量的（相伴函数）为，向量称为函数的“相伴向量”（ 其中为坐标原点） （1）求的相伴向量； （2）求（1）中函数的“相伴向量”模的取值范围； （3）已知点，其中为锐角中角的对边．若角为，且向量的“相伴函数”在处取得最大值．求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $