精品解析：上海市曹杨第二中学2025-2026学年高一第二学期5月月考数学试卷

曹杨二中高一5月数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题3分，第7~12题每题4分，共42分） 1. 在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ，则 ______. 2. 若扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的面积为__________. 3. 已知，则__________. 4. 如图，在正方体的所有棱所在直线中，与直线异面的共有____________条． 5. 已知为一个单位向量，与的夹角为，若在上的投影向量为，则_________． 6. 函数的值域是__________. 7. 已知 ，在 中，点 是边 上靠近点 的三等分点，若 ，则 的值为 ______. 8. 已知 ，向量 ，，若 ，则 的值为 ______. 9. 已知函数 ， 和函数的图像交于 三点，则 的面积为 ______. 10. 如图所示，一个水平放置 的斜二测画法画出的直观图是 ，其中 ，， 为平行四边形，则原 的面积是 ______. 11. 已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则_______． 12. 已知函数，正三角形ABC边长为2，若正三角形ABC所在平面上存在点满足方程，则的取值范围是_____________. 二、选择题（本大题共有4题，第13~14题每题3分，第15~16题每题4分，共14分） 13. “平面上有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面上”用符号语言表述是（ ） A. 若，，则 B. 若 ，，则 C. 若 ，，则 D. 若 ，，则 14. 已知，那么下列命题中成立的是（ ）． A. 若α、β是第一象限角，则； B. 若α、β是第二象限角，则； C. 若α、β是第三象限角，则； D. 若α、β是第四象限角，则． 15. 如图，已知正方体的棱长为，若为棱的中点，过三点作正方体的截面，则截面的周长为（ ） A. B. C. D. 16. 我们定义：若函数满足：对任意，都有，则该函数称为正弦约束函数.有如下两个命题： ①若函数在区间上是正弦约束函数，且最小值为，最大值为，则的表达式为 ②已知，，若在区间上是正弦约束函数，则关于的方程在区间上恰有2026个解. 下列说法正确的是（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 三、解答题（本大题共有4题，共44分） 17. 已知 ，i为虚数单位，复数 （1）当复数 为纯虚数时，求 的值； （2）已知 ，当 时，若 是关于 的方程 的一个根，求 与 的值. 18. 在棱长为的正方体 中，是的中点，是棱的中点，是棱上的一点. （1）若的延长线与的延长线相交于点，证明点在直线上； （2）若点是棱的中点，求异面直线和所成角的余弦值. 19. 摩天轮因节奏舒缓浪漫治愈，寓意圆满幸福，老少皆宜还氛围感十足，深受众人喜爱.国内已建成运营的最大摩天轮是南昌之星，其设置有60个座舱，并在轮面装饰彩灯，当灯全部亮起时可以显示一座巨型彩色时钟.该摩天轮最高点距离地面高度160米，转盘直径为153米，其示意图如图所示（座舱相对于摩天轮来说大小可忽略，因此未在图中画出）.摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，匀速旋转一周需要30分钟.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，旋转一圈后下舱.已知小朱比小毛提前5分钟进入座舱，在小朱运行一周的过程中，设小朱坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米. （1）求关于的表达式； （2）当小朱和小毛距离地面高度相同时，求的值； （3）设，当时，这两人距离地面的高度差恰有1次取到最大值，求的取值范围. 20. 在复平面内，为坐标原点.锐角的三个顶点对应的复数分别为且满足.记的内角的对边分别为，且满足关系式： （1）求的值； （2）若，求 的最小值； （3）设复数 ，，若存在，满足 ，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曹杨二中高一5月数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题3分，第7~12题每题4分，共42分） 1. 在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据复平面内点与复数的对应关系求出复数z，再结合共轭复数的定义计算. 【详解】由复数对应的点的坐标为，可得, 根据共轭复数的定义可知. 2. 若扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据弧长公式求出扇形的半径，然后利用扇形面积公式求解. 【详解】扇形的圆心角为，弧长为， 则， . 3. 已知，则__________. 【答案】##0.6 【解析】 【详解】. 4. 如图，在正方体的所有棱所在直线中，与直线异面的共有____________条． 【答案】6 【解析】 【分析】根据异面直线定义分别列举即可求得答案. 【详解】与直线有公共点的棱均与直线不异面，有共6条， 与直线异面的棱有，共6条. 故答案为：6 5. 已知为一个单位向量，与的夹角为，若在上的投影向量为，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据投影向量公式代入即可求解. 【详解】为一个单位向量，. 与的夹角为，且在上的投影向量为. . ，即. 故答案为：4 6. 函数的值域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，结合一元二次函数求值域. 【详解】由， 令，则，所以， 当时，有最大值，当时，有最小值， 故的值域为. 故答案为： 7. 已知 ，在 中，点 是边 上靠近点 的三等分点，若 ，则 的值为 ______. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算将转化为和的线性组合，对比系数即可求得的值. 【详解】 因为点是边上靠近点的三等分点，所以. 所以  ， 又，且与不共线， 由平面向量基本定理可知，. 8. 已知 ，向量 ，，若 ，则 的值为 ______. 【答案】 【解析】 【分析】求出的坐标，利用向量垂直的坐标表示列方程求解. 【详解】 已知，，可得 . 因为，所以，即， 整理得， 解得. 9. 已知函数 ， 和函数的图像交于 三点，则 的面积为 ______. 【答案】## 【解析】 【详解】由题：， ，所以，， 所以， ． 10. 如图所示，一个水平放置 的斜二测画法画出的直观图是 ，其中 ，， 为平行四边形，则原 的面积是 ______. 【答案】 【解析】 【详解】因为为平行四边形， 所以， 求得的高为. 所以直观图. 那么原图. 11. 已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则_______． 【答案】4或10##10或4 【解析】 【分析】根据可求出f(x)的一条对称轴，根据该对称轴可求出ω的表达式和可能取值，结合y＝sinx的图像，根据在区间上有最小值无最大值判断ω的取值范围，从而判断ω的取值. 【详解】∵f(x)满足，∴是f(x)的一条对称轴， ∴，∴，k∈Z， ∵ω＞0，∴. 当时，， y＝sinx图像如图： 要使在区间上有最小值无最大值，则： 或， 此时ω＝4或10满足条件； 区间的长度为：， 当时，f(x)最小正周期，则f(x)在既有最大值也有最小值，故不满足条件. 综上，ω＝4或10. 故答案为：4或10. 12. 已知函数，正三角形ABC边长为2，若正三角形ABC所在平面上存在点满足方程，则的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】讨论的正负情况，得出点P的轨迹，再求模长即可. 【详解】当时，点P分别在以为直径的圆上，而这三个圆不会交于同一点，故此时不存在P； 所以不妨设， 则点P分别在以为直径的圆上、圆外、圆内，即如图所示加粗的部分圆弧，不包含端点. 设正三角形ABC的重心为G，则,故， 设中点为E，中点为D，则， ， 由于正三角形ABC边长为2，则可求得， 则，， 则，故， 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，第13~14题每题3分，第15~16题每题4分，共14分） 13. “平面上有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面上”用符号语言表述是（ ） A. 若，，则 B. 若 ，，则 C. 若 ，，则 D. 若 ，，则 【答案】C 【解析】 【详解】平面上有一条直线，表述为，点在直线内表述为，点在平面内表述为； 故对应的符号语言为：若，，则，故C正确. 14. 已知，那么下列命题中成立的是（ ）． A. 若α、β是第一象限角，则； B. 若α、β是第二象限角，则； C. 若α、β是第三象限角，则； D. 若α、β是第四象限角，则． 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的定义，单位圆及三角函数线比较即可. 【详解】A项，若α、β是第一象限角，由， 如下图，正弦线， 则，. 则由余弦线，得．故A不正确． B项，若α、β是第二象限角，， 如下图，正弦线， 则，． 则由正切线，得．故B不正确． C项，若α、β是第三象限角，由， 如下图，正弦线， 则，， 则由余弦线，得．故C不正确． D项，若α、β是第四象限角， 如下图，正弦线， 则，， 则由正切线，得.故D正确． 故选：D. 15. 如图，已知正方体的棱长为，若为棱的中点，过三点作正方体的截面，则截面的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，连接，作出截面，分别求出边长，进而求出截面的周长. 【详解】如图，取的中点，连接，则， 则在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，所以， 则四边形即为过A，C，K三点的截面， 因为正方体的棱长为， 所以，， ， 则其周长为. 16. 我们定义：若函数满足：对任意，都有，则该函数称为正弦约束函数.有如下两个命题： ①若函数在区间上是正弦约束函数，且最小值为，最大值为，则的表达式为 ②已知，，若在区间上是正弦约束函数，则关于的方程在区间上恰有2026个解. 下列说法正确的是（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】命题①可构造反例说明其为假命题．命题②可先假设存在，，使在给定区间上是正弦约束函数，再在区间内取特殊点推出矛盾，从而说明命题②的前件不可能成立，所以命题②为真命题． 【详解】由正弦约束函数的定义可知，在所给区间内：当时，；当时，；当时，不等式恒成立． 对于命题①，取 则所以在区间上是正弦约束函数． 令，则，且 设，则 所以在上严格递增．因此的最小值为，最大值为． 但不恒等于，所以命题①是假命题． 对于命题②，假设存在和实数，使在区间上是正弦约束函数． 令． 因为，所以存在，使得 于是 由正弦约束条件可知 下面分三种情况讨论． 当时，，这与时矛盾． 当时，随着增大，严格增大． 因为时，且，所以 又因为时，所以必有 否则，若，则当略大于时，仍有，从而，产生矛盾． 因此 取 由可知，故按正弦约束条件应有． 但所以，从而，矛盾． 当时，令，则． 因为时，所以 又因为时，所以必有 因此即．取，则，按正弦约束条件应有． 但 所以，矛盾． 综上，不存在满足命题②前件的．因此命题②是前件不可能成立的条件命题，命题②为真命题． 三、解答题（本大题共有4题，共44分） 17. 已知 ，i为虚数单位，复数 （1）当复数 为纯虚数时，求 的值； （2）已知 ，当 时，若 是关于 的方程 的一个根，求 与 的值. 【答案】（1） （2） ， 【解析】 【小问1详解】 因为为纯虚数，所以且， 解得. 【小问2详解】 时，. 因为是方程的一个根，所以代入得： ， ， 解得，. 18. 在棱长为的正方体 中，是的中点，是棱的中点，是棱上的一点. （1）若的延长线与的延长线相交于点，证明点在直线上； （2）若点是棱的中点，求异面直线和所成角的余弦值. 【答案】（1）因为平面，直线，故平面， 因为平面，直线，所以平面， 因为平面平面，所以点在直线上. （2） 【解析】 【分析】（1）证明出为平面、平面的一个公共点，结合基本事实可证得结论成立； （2）先证，所以为异面直线与OE所成的角或其补角，根据题意运算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，取的中点，连接、， 因为、、分别为、、的中点，所以，，，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以为异面直线与所成的角或其补角， 在中，， ，， 则，所以，所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 19. 摩天轮因节奏舒缓浪漫治愈，寓意圆满幸福，老少皆宜还氛围感十足，深受众人喜爱.国内已建成运营的最大摩天轮是南昌之星，其设置有60个座舱，并在轮面装饰彩灯，当灯全部亮起时可以显示一座巨型彩色时钟.该摩天轮最高点距离地面高度160米，转盘直径为153米，其示意图如图所示（座舱相对于摩天轮来说大小可忽略，因此未在图中画出）.摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，匀速旋转一周需要30分钟.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，旋转一圈后下舱.已知小朱比小毛提前5分钟进入座舱，在小朱运行一周的过程中，设小朱坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米. （1）求关于的表达式； （2）当小朱和小毛距离地面高度相同时，求的值； （3）设，当时，这两人距离地面的高度差恰有1次取到最大值，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立适当平面直角坐标系后，可设，，结合题意与三角函数性质计算即可得解； （2）由题意可表示出小毛距离地面高度与的表达式，令其与小朱相等，解出即可得； （3）利用三角恒等变换公式计算即可得. 【小问1详解】 如图，设座舱距离地面的最近点为，以摩天轮轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系， 设，， 由题得，解得， 又摩天轮匀速旋转一周需要30分钟，所以，所以，. 又当时，小朱位于点，以为终边的角为，所以， 所以，， 即，. 【小问2详解】 设小毛距离地面的高度为，则，， 令，可得，即， 所以，或，（舍去）， 即，，又，当时，. 【小问3详解】 令，则，， 所以， 当，，即，时，. 又当时，这两人距离地面的高度差恰有1次取到最大值， 所以，即的取值范围是. 20. 在复平面内，为坐标原点.锐角的三个顶点对应的复数分别为且满足.记的内角的对边分别为，且满足关系式： （1）求的值； （2）若，求 的最小值； （3）设复数 ，，若存在，满足 ，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理把边化为角，求出的余弦值，从而得到的大小； (2)把的最小值转化为求的最小值; (3)设单位复数，因夹角为，故，或，转化为求三角函数值域，从而得到最大值. 【小问1详解】 因为 由正弦定理得)， 因为所以)，所以， 因为是锐角三角形，所以， 所以，所以，即， 因为是锐角三角形，所以，故； 【小问2详解】 由，可知三点在以原点为圆心的同一圆周上， 即的外接圆圆心为，设的外接圆的半径为， 由正弦定理，因为，，所以，即，得， 因此。 设向量，则 所以 因为， 因为圆弧所对的圆心角是所对的圆周角的2倍，所以， 所以同理得 又，故，，且，所以， 即，，所以 其中，的最小值为， 故， 因此； 【小问3详解】 由(1)得，且是锐角三角形，故， ，圆心角 因为，则，， 设，，则1，同理， 因为圆心角根据复数的除法意义可得夹角为， 则，， 代入条件，， 整理得，即 等式右边是实数，因此左边复数的虚部必须为0，实部等于右边， 设单位复数，因夹角为， 当， 所以 所以 ， 所以 将代入得 所以，即 解得 因此 令，则 代入得， 因是锐角三角形，，故圆心角，即， 因此 ， 所以当（即，）时，取得最大值， 即的最大值为． 当时，为使圆心角对应另一种方向，应取 于是 由为实数，得即 又由实部等于，得 代入，得 即 所以 于是 令，则 因为，所以 从而 由于函数在时单调递减，所以 因此 所以第二种情况下的最大值也为． 综上所述，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $