精品解析：上海市南洋中学2025-2026学年高一下学期数学学科5月学习能力诊断测试题

2512高一年级数学学科5月学习能力诊断测试题 （满分120分，考试时间90分钟） 一、填空题（本大题共有12题，满分48分）考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分. 1. 与向量方向相同的单位向量是__________. 2. 函数的最小正周期是__________. 3. 已知向量和满足，则实数______. 4. 已知点为坐标原点，，，若，则点的坐标是__________. 5. 已知函数，为偶函数，则__________. 6. 已知，则________. 7. 若直线l与平面相交于点O，A，B∈l，C，D∈，且AC//BD，则O，C，D三点的位置关系是________． 8. 在中，点在线段上，且，则的最小值为__________. 9. 下列命题中为真命题的是__________.（请写出全部真命题的序号） ①若空间四点共面，则其中必有三点共线； ②若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； ③若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； ④若空间四点不共面，则其中任意三点不共线. 10. 已知函数在区间上严格增，则的最大值是__________. 11. 如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为______ 12. 在中，，则的最大值为________. 二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题卷的相应编号上，将代表正确选项的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分. 13. 平面与平面相交于直线，点在平面上，点在平面上但不在直线上，直线与直线相交于点．设三点确定的平面为，则与的交线是（ ） A. 直线； B. 直线； C. 直线； D. 以上均不正确． 14. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 15. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 16. 已知正六边形 的边长为 是其边上的动点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分56分）解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知复数满足，且是关于的方程，，的一个根. （1）求复数； （2）求实数，. 18. 把由平面内夹角成的两条数轴，构成的斜坐标系称为“广义坐标系”.如图1，，分别为，正方向上的单位向量.若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记.若以为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系. （1）求，在平面直角坐标系中的坐标； （2）若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”. 19. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、、为图象与轴的交点，且为等腰直角三角形． （1）化简的解析式并求最小正周期； （2）求在方向上的投影坐标． 20. 盘山是中国著名的5A级景区，它有五大主峰.以主峰挂月峰为中心，其余四峰（紫盖峰、自来峰、九华峰、舞剑峰）环绕，合称“五峰攒簇”.如图，工作人员要测量舞剑峰M，九华峰N之间的距离，P，G，M，N四点在同一铅垂平面内，飞机沿水平方向在P，G两点进行测量，途中在点P测得，，在点G测得，，测得． （1）求点P和点M之间的距离； （2）求两主峰M，N间的距离． 21. 设定义在数集上的函数，其中是正整数，. （1）若，，，求函数的最大值； （2）复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数.当，，时，若存在实数，及实部不为零的虚数，使得为实数，且该实数不小于恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2512高一年级数学学科5月学习能力诊断测试题 （满分120分，考试时间90分钟） 一、填空题（本大题共有12题，满分48分）考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分. 1. 与向量方向相同的单位向量是__________. 【答案】 【解析】 【详解】与向量方向相同的单位向量是. 2. 函数的最小正周期是__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题设，已知函数的最小正周期是. 3. 已知向量和满足，则实数______. 【答案】## 【解析】 【分析】由向量垂直坐标表示列方程可得答案. 【详解】因，，， 则. 4. 已知点为坐标原点，，，若，则点的坐标是__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 则, 故点的坐标是 5. 已知函数，为偶函数，则__________. 【答案】，. 【解析】 【详解】因为为偶函数，故. 6. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，代入计算，即可求解. 【详解】由，则 7. 若直线l与平面相交于点O，A，B∈l，C，D∈，且AC//BD，则O，C，D三点的位置关系是________． 【答案】共线 【解析】 【分析】证明点O，C，D同在另一平面内，结合平面基本事实推理作答. 【详解】因AC//BD，则AC与BD确定一个平面，而C，D∈，从而得， 又，即，而，则有，于是得， 所以O，C，D三点共线. 故答案为：共线 8. 在中，点在线段上，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得，，， 则 , 等号成立时，即 ， 故的最小值为. 9. 下列命题中为真命题的是__________.（请写出全部真命题的序号） ①若空间四点共面，则其中必有三点共线； ②若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； ③若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； ④若空间四点不共面，则其中任意三点不共线. 【答案】②④ 【解析】 【分析】利用平面的基本性质及空间想象判断各项的正误即可. 【详解】①空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线，错误； ②空间四点中有三点共线，若第四个点在直线上，则必四点共面， 若第四个点不在直线上，由直线与其外一点确定一个平面，此四点也必共面，正确； ③空间四点中任何三点不共线，此四点可能共面，如平面四边形，错误； ④空间四点不共面，假设任意三点有共线的，同②分析此四个点必共面，与已知矛盾，正确. 10. 已知函数在区间上严格增，则的最大值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，再结合正弦函数性质得到不等式组，进而求出参数范围即可. 【详解】由辅助角公式得， 因为，所以， 而在区间上严格增，且，则， 解得，可得的最大值是. 11. 如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为______ 【答案】16 【解析】 【分析】取线段的中点，连接、、，根据已知有、、，利用几何意义求最值即可得. 【详解】取线段的中点，连接、、，如下图所示：    因为，所以，且， 因为四边形为矩形，则， 因为， 所以， 当且仅当与方向相反时，等号成立，故的最小值为. 12. 在中，，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】先用正弦定理角化边，找到与之间的关系，再用表示，最后求函数的最大值. 【详解】由正弦定理得 因为， 所以 ， 即， 则同号，与不能同时为钝角，所以， ， 因为，所以，当且仅当时取等 所以，则的最大值为. 二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题卷的相应编号上，将代表正确选项的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分. 13. 平面与平面相交于直线，点在平面上，点在平面上但不在直线上，直线与直线相交于点．设三点确定的平面为，则与的交线是（ ） A. 直线； B. 直线； C. 直线； D. 以上均不正确． 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知得既在平面上又在平面可得答案. 【详解】因为直线与直线相交于点，，所以平面， 又点在平面上，所以平面， 因为平面，点在直线上，所以平面， 又平面，所以平面， 所以与的交线是直线. 故选：C. 14. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依复数四则运算法则及复数模的意义即可得解. 【详解】, , 故选: C. 15. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据，得， 所以， 所以. 16. 已知正六边形 的边长为 是其边上的动点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过作直线，分别延长交直线于点，则在直线上的射影在线段上，利用数量积的定义可得结论. 【详解】是正六边形，则， 所以， ，则， 过作直线，则，分别延长交直线于点， 则是矩形，， 作于，由图可知，当在正六边形的边上移动时，在线段之间移动， ， 又由向量夹角定义知， ， 当在线段时，，当在线段时，， 所以. 三、解答题（本大题共有5题，满分56分）解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知复数满足，且是关于的方程，，的一个根. （1）求复数； （2）求实数，. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，进而利用复数的除法法则计算即可求得复数； （2）将复数代入方程，利用复数相等的条件即可求解. 【小问1详解】 由，得， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为是关于的方程，，的一个根， 所以，所以， 即，所以，解得. 18. 把由平面内夹角成的两条数轴，构成的斜坐标系称为“广义坐标系”.如图1，，分别为，正方向上的单位向量.若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记.若以为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系. （1）求，在平面直角坐标系中的坐标； （2）若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角坐标系的定义求解； （2）根据“广义坐标”的定义，结合（1）的结果，即可求解. 【小问1详解】 在直角坐标系中的坐标还是， 设与轴同向的单位向量为， 根据平行四边形法则，以及，所以，所以在直角坐标系中的坐标为； 【小问2详解】 设，因为向量在平面直角坐标系中的坐标为， 所以， 所以，所以， 所以向量的“广义坐标”为. 19. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、、为图象与轴的交点，且为等腰直角三角形． （1）化简的解析式并求最小正周期； （2）求在方向上的投影坐标． 【答案】（1），最小正周期为8 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，得出点纵坐标，利用等腰直角三角形的性质得出，进而得出，求出，进而求出解析式； （2）根据正弦函数的性质，结合图象求出相关点坐标，进而求出相关向量坐标，利用投影向量公式求解． 【小问1详解】 ， 则点纵坐标为2， 已知为等腰直角三角形，则，即，解得， ，解得， ，最小正周期为8． 【小问2详解】 由函数图象知，点满足：，解得，故， 零点满足，解得， 当时，，即， 当时，， ， ． 20. 盘山是中国著名的5A级景区，它有五大主峰.以主峰挂月峰为中心，其余四峰（紫盖峰、自来峰、九华峰、舞剑峰）环绕，合称“五峰攒簇”.如图，工作人员要测量舞剑峰M，九华峰N之间的距离，P，G，M，N四点在同一铅垂平面内，飞机沿水平方向在P，G两点进行测量，途中在点P测得，，在点G测得，，测得． （1）求点P和点M之间的距离； （2）求两主峰M，N间的距离． 【答案】（1）2km； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理求出第三个角，然后运用正弦定理解出所求边长； （2）先通过正弦定理求出另一条边的长度，再在包含目标线段的三角形中，使用余弦定理计算该线段的长. 【小问1详解】 根据题意得，，， 所以， 在△PMG中，根据正弦定理， 得，解得PM，所以点P和点M之间的距离为. 【小问2详解】 在中，， ，所以 由正弦定理得，解得， 在中，， 由余弦定理得 ，解得. 综上所述，两主峰M、N之间的距离为． 21. 设定义在数集上的函数，其中是正整数，. （1）若，，，求函数的最大值； （2）复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数.当，，时，若存在实数，及实部不为零的虚数，使得为实数，且该实数不小于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用三角恒等变换化简即可求解； （2）由已知有，设，则 ，由题意，得，得，即可得解． 【小问1详解】 ， 当时取最大值； 【小问2详解】 由已知有， 设， 则 ， 存在实数，使得为实数且不小于， 则，因为，则， 即在复平面对应的点在以原点为圆心、1为半径的圆上（去掉与轴交点）时满足题意， 则， 则， 所以， 由于不小于恒成立，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $