精品解析：上海市中国中学2025-2026学年第二学期高一数学阶段考试试卷

2025学年第二学期高一数学阶段考试试卷 （考试用时90分钟，卷面分值100分） 一、填空题（第1-8题每题3分，第9-12题每题4分，共40分） 1. 化简：______． 2. 函数的最小正周期为______． 3. 已知，则在上的解集为______． 4. 已知，，若，则实数______． 5. 向量，则与同向的单位向量的坐标是______． 6. 已知向量，，则在方向上的数量投影为______. 7. 已知，若、，则点坐标为______________. 8. 已知，，则的最小值为________. 9. 已知向量，．若与的夹角为钝角，求实数m的取值范围______． 10. 已知常数，函数为偶函数，则______. 11. 如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是______． 12. 已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当时，，若函数，则函数在上零点个数是______个． 二、选择题（每题4分，共16分） 13. 如图，在中，是的中点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 14. 在中，若，则的形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 15. 在扇形中，，若动点在弧上，满足：，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 若直线是函数图像的对称轴，且在上无最值，则的值为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 三、解答题（6分8分＋10分＋10分＋10分） 17. 已知函数的最大值为3，最小值为1，求的值 18. 已知向量，． （1）若，，，求证：、、三点共线． （2）已知，若，且，求的值； 19. 已知函数． （1）写出函数在内的严格增区间； （2）在中角所对的边分别是，若，，且，求的周长． 20. 上海某区计划将某乡村规划成休闲度假区，该度假区形状如图，设想在其中规划出三个功能区：为露营区，为垂钓区，为活动区．已知为直角三角形，，，，为内一点，且． （1）安全起见，垂钓区周围需要筑护栏，已知，求的大小； （2）求露营区面积的最大值． 21. 已知，，函数，函数图象的相邻对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式； （2）将函数图象上的每一个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，然后再向左平移个单位，得到函数的图象；关于x的方程在上有且仅有一解，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期高一数学阶段考试试卷 （考试用时90分钟，卷面分值100分） 一、填空题（第1-8题每题3分，第9-12题每题4分，共40分） 1. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，即可求解. 【详解】根据向量的运算法则，可得. 2. 函数的最小正周期为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用求出最小正周期. 【详解】的最小正周期为. 故答案为： 3. 已知，则在上的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用正弦函数的图象与性质，求得，结合，即可求得不等式的解集. 【详解】由不等式，可得， 因为，令，可得， 所以不等式的解集为. 4. 已知，，若，则实数______． 【答案】1 【解析】 【详解】因为，，且， 所以，解得. 5. 向量，则与同向的单位向量的坐标是______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，则， 所以与同向的单位向量为. 6. 已知向量，，则在方向上的数量投影为______. 【答案】2 【解析】 【分析】求出两向量的数量积，根据数量投影的意义即可求得答案. 【详解】由题意向量，，得向量， ， 故在方向上的数量投影为， 故答案为：2 7. 已知，若、，则点坐标为______________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由求出点坐标. 【详解】设， ， 即，解得 故答案为： 8. 已知，，则的最小值为________. 【答案】2 【解析】 【详解】由向量三角不等式可知：当与方向相反时，有最小值， 所以的最小值为. 9. 已知向量，．若与的夹角为钝角，求实数m的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】根据与夹角为钝角得且不反向共线，然后求m的范围即可. 【详解】因为与夹角为钝角，所以，解得， 当与反向共线，即时，，解得， 综上所述，m的范围为. 10. 已知常数，函数为偶函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的定义，结合和差角的余弦公式及二倍角的余弦公式求解即得. 【详解】函数的定义域为R，由函数为偶函数， 得，恒成立， 整理得，而不恒为0，则， 所以. 故答案为： 11. 如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的运算律及向量数量积定义计算求解. 【详解】如图，取的中点，， 而，所以． 故答案为： 12. 已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当时，，若函数，则函数在上零点个数是______个． 【答案】6 【解析】 【分析】先将问题化为和图象交点个数问题，再利用的周期性与解析式作出的图象，同时也作出的图象，从而数形结合即可得解. 【详解】因为函数在上零点的个数等于函数和图象交点的个数， 又的定义域为，又，所以是周期为的周期函数， 当时，， 作出函数在内的图象，再由的周期性作出在上的图象，同时作出的图象，如下 因为，∴， 所以函数，在上有三个交点，在上无交点， 又，则， 则函数是偶函数，图象关于轴对称， 所以结合图形知函数，的图象的交点的个数为6. 二、选择题（每题4分，共16分） 13. 如图，在中，是的中点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为是的中点， 所以， 所以． 故选：D. 14. 在中，若，则的形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】先利用数量积运算化简得到，再利用余弦定理化简得解. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以，所以三角形是直角三角形. 故选：B 15. 在扇形中，，若动点在弧上，满足：，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立直角坐标系，设，得到，从而得到，再由两角和的余弦公式及余弦函数的性质求出的取值范围. 【详解】以为原点，以所在的直线为轴，过作的垂线为轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，设，则，其中且， 可得， 又，所以， 则，则， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以. 故选：A 16. 若直线是函数图像的对称轴，且在上无最值，则的值为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】通过辅助角公式化简函数解析式，由函数对称轴建立方程求得，然后由在上无最值求得范围，从而求得答案. 【详解】， 由题意可知是方程的一个解， 即，∴， 当时，， 由题意可知，所以， ∴当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，舍去， 所以或 三、解答题（6分8分＋10分＋10分＋10分） 17. 已知函数的最大值为3，最小值为1，求的值 【答案】或． 【解析】 【分析】根据的正负分类讨论． 【详解】∵， ∴时，，解得， 时，，解得， 综上或． 【点睛】本题考查正弦函数的性质，掌握正弦函数的最值是解题基础． 18. 已知向量，． （1）若，，，求证：、、三点共线． （2）已知，若，且，求的值； 【答案】（1）证明见解析 （2）=1． 【解析】 【分析】（1）转化为证明向量为共线向量，即可证明三点共线； （2）利用向量共线的坐标关系，即可求解. 【小问1详解】 因为， =2， 所以2，， 有公共点D，从而、、三点共线． 【小问2详解】 ，因为，所以， 解得=1． 19. 已知函数． （1）写出函数在内的严格增区间； （2）在中角所对的边分别是，若，，且，求的周长． 【答案】（1）和 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角和辅助角公式化简函数，再根据正弦函数的性质确定单调增区间；（2）根据已知条件求出角，再结合向量的数量积和余弦定理求出边，得到的周长． 【小问1详解】 ， 令， 可得， ，令，得， 令，得， 函数在内的严格增区间为和. 【小问2详解】 因为，， 因为，， 所以，， ，， 又，， 的周长为. 20. 上海某区计划将某乡村规划成休闲度假区，该度假区形状如图，设想在其中规划出三个功能区：为露营区，为垂钓区，为活动区．已知为直角三角形，，，，为内一点，且． （1）安全起见，垂钓区周围需要筑护栏，已知，求的大小； （2）求露营区面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理求解即可； （2）由余弦定理及基本不等式得，再由三角形面积公式求最大面积. 【小问1详解】 由题设，， 而，即，故. 【小问2详解】 由题设， 所以，当且仅当时取等号， 所以，即露营区面积的最大值. 21. 已知，，函数，函数图象的相邻对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式； （2）将函数图象上的每一个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，然后再向左平移个单位，得到函数的图象；关于x的方程在上有且仅有一解，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用数量积公式和三角恒等变换化简函数， （2）首先利用三角函数的图象变换求函数的解析式，再通过换元后，结合的图象，即可求解. 【小问1详解】 ， 因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以； 【小问2详解】 由（1），将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数， 再向左平移个单位得， 令，则，所以， 因为在上只有一个解， 由的图象可得，或， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $