专题04 复数 期末真题专练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦复数核心概念与运算，以分层题型构建从概念理解到综合应用的完整训练体系，强化运算能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数的有关概念|4题|考查实部虚部、纯虚数、共轭复数判定|从复数定义出发，建立数系扩充的基本认知| |复数的几何意义|9题|复平面内点的坐标、象限判断及向量表示|实现复数与平面几何的转化，培养几何直观| |复数的四则运算|9题|加减乘除运算及共轭复数应用|强化代数运算技能，奠定复数应用基础| |复数与方程|4题|利用复数根求解实系数方程|体现复数在方程中的工具性，发展模型意识|

专题04 复数 目录 题型1：复数的有关概念 2 题型2：复数的几何意义 3 题型3：复数的四则运算 8 题型4：复数与方程 12 题型1：复数的有关概念 【例1.1.】 （24-25高一下·湖南郴州·期末）已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】复数的相等 【分析】由复数相等的条件即可求解. 【详解】因为， 所以，. 故选：B. 【例1.2.】 （24-25高一下·陕西咸阳·期末）若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据纯虚数的概念列式求解即可. 【详解】若复数(是虚数单位)是纯虚数，则，解得. 故选：A 【例1.3.】 （24-25高一下·吉林长春·期末）若复数的实部与虚部相等，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【分析】利用复数的除法运算，结合实部与虚部的概念即可求解. 【详解】由，因为的实部与虚部相等， 所以. 故选：C. 【例1.4.】 （24-25高一下·陕西西安·期末）若复数的共轭复数是本身，则____________． 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】复数的相等、共轭复数的概念及计算 【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义及复数相等求解即得. 【详解】复数的共轭复数， 依题意，，则，所以. 故答案为：1 题型2：复数的几何意义 【例2.1.】 （24-25高一下·广东江门·期末）若（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、求复数的实部与虚部 【分析】化简求出复数，即可判断复数在复平面内对应的点所在象限. 【详解】由可得：， 所以对应的点在第一象限. 故选：A. 【例2.2.】 （24-25高一下·四川成都·期末）若复数，的共轭复数对应的点在第四象限，则实数的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数、共轭复数的概念及计算 【分析】首先求出共轭复数，然后利用复数在各象限的特征列不等式组即可求解. 【详解】由可知：， 由题意，解得，即实数的取值范围是． 故答案为： 【例2.3.】 （24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知，则复数对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】复数加减法的代数运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】先根据复数的减法运算求出复数，然后求出其在复平面对应的点，从而可求得结果. 【详解】因为，所以， 所以复数在复平面对应的点为，位于第四象限． 故选：D. 【例2.4.】 （24-25高一下·甘肃临夏·期末）若，则复平面内复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】先求得复数的共轭复数，再由复数的几何意义确定对应点所在象限即可. 【详解】由复数可得， 复数对应的点的坐标为，在第三象限. 故选：C. 【例2.5.】 （24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，，那么向量对应复数的虚部为（    ） A．1 B．9 C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】根据复数的几何意义，结合向量的减法运算求解. 【详解】由题意可知：， 可得， 所以向量对应的复数为， 所以向量对应复数的虚部为. 故选：B. 【例2.6.】 （24-25高一下·河南安阳·期末）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】复数的乘方、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的乘法、除法运算可得复数，再由复数即几何意义可得在复平面对应的点即可求解. 【详解】复数， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限． 故选：C 【例2.7.】 （24-25高一下·福建漳州·期末）已知i为虚数单位，复数z满足，其中． (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）先利用复数的除法和乘法运算得到，再根据纯虚数的定义求解即可； （2）根据复数的实部小于零，虚部大于零求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 若z为纯虚数，则，解得； （2）由（1）知，， 若z在复平面内对应的点位于第二象限，则，解得， 所以m的取值范围为. 【例2.8.】 （24-25高一下·辽宁·期末）已知复数，且是纯虚数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数、在各象限内点对应复数的特征、复数的除法运算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）根据复数的除法及乘法计算，再应用纯虚数的概念计算求参； （2）根据共轭复数及加法计算，最后根据点在第四象限，列出不等式计算求参. 【详解】（1）因为， 所以， 由是纯虚数，得， 解得， 所以； （2）由（1）知 所以 因为在复平面内对应的点在第四象限， 所以， 解得， 所以实数的取值范围是. 【例2.9.】 （24-25高一下·四川成都·期末）已知复数，. (1)若是纯虚数，求的值； (2)在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，且，求. 【答案】(1) (2)或. 【难度】0.65 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算、向量夹角的坐标表示、复数的向量表示 【分析】（1）利用共轭复数的意义、复数乘法求出，再利用纯虚数的意义求解. （2）求出向量坐标，再利用向量夹角公式列式求解. 【详解】（1）依题意，，则， 由是纯虚数，得，解得， 所以. （2）依题意，，，， 由，整理得，解得或， 所以或. 题型3：复数的四则运算 【例3.1.】 （24-25高一下·安徽合肥·期末）若复数满足，其中是虚数单位，则的虚部为（    ） A． B．1 C．2 D．3i 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求复数的实部与虚部、复数加减法的代数运算、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】首先对复数进行化简，再根据复数虚部的定义即可得到答案. 【详解】由题意得，， 则的虚部为， 故选：. 【例3.2.】 （24-25高一下·湖北武汉·期末）的实部为（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算 【分析】借助复数运算法则计算后即可得. 【详解】，其实部为. 故选：B. 【例3.3.】 （24-25高一下·陕西西安·期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】利用复数乘法求出，进而求出复数的模. 【详解】依题意，复数， 所以. 故选：C 【例3.4.】 （24-25高一下·四川成都·期末）已知复数z满足，则z的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的除法运算化简复数，再由共轭复数的概念以及虚部概念求解. 【详解】由，则， 则，其虚部为. 故选：D. 【例3.5.】 （24-25高一下·陕西渭南·期末）已知复数满足，则______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】虚数单位i及其性质、求复数的模、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】根据虚数单位的性质，复数的运算法则求复数，再利用模的公式求结论. 【详解】因为，所以，， 所以，可化为， 所以， 所以， 故答案为：. 【例3.6.】 （24-25高一下·甘肃酒泉·期末）设为实数，复数，，若为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据纯虚数求得，代入，利用复数的乘法运算即可求出. 【详解】因为为纯虚数， 可得，解得， 则，，故. 故选：A. 【例3.7.】 （24-25高一下·福建福州·期末）已知为虚数单位，若，则（    ）． A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第三象限 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】利用复数乘法求出，再逐项分析判断. 【详解】依题意，， 对于A，，A错误； 对于B，的虚部为，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，在复平面内对应的点在第三象限，D正确. 故选：D 【例3.8.】 （24-25高一下·江苏无锡·期末）已知复数z满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【详解】因为，所以 【例3.9.】 （24-25高一下·广东清远·期末）已知. (1)求实数； (2)若，求. 【答案】(1) (2)5. 【难度】0.85 【知识点】复数的相等、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】（1）利用复数乘法，结合复数相等求出. （2）利用复数求出，进而求出其模. 【详解】（1）由，得，则， 所以. （2）由（1）得，则， 所以. 题型4：复数与方程 【例4.1.】 （24-25高一下·甘肃定西·期末）已知是虚数单位，是关于的方程（其中）的一个根，则=__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数的相等、求复数的模、复数范围内方程的根 【分析】根据题意，得到，列出方程组，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由是关于的方程的一个根， 可得，整理得， 所以，解得，所以， 则. 故答案为：. 【例4.2.】 （24-25高一下·安徽合肥·期末）已知复数满足 (1)求复数 (2)若复数是关于的方程的一个根，求，的值 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】复数的相等、求复数的模、复数的除法运算 【分析】（1）利用复数除法运算及复数模长运算即可； （2）把代入方程化简，再利用复数相等条件列方程组求实数，的值. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为复数是关于的方程的一个根， 所以， 所以，解得. 【例4.3.】 （24-25高一下·河北·期末）设复数（其中）. (1)若，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. 【答案】(1)3 (2)或 【难度】0.85 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数范围内方程的根、复数代数形式的乘法运算、复数的相等 【分析】（1）利用共轭复数的定义和两复数相等得到方程组，求出，得到答案； （2）将代入方程，化简后，根据两复数相等得到方程组，求出答案. 【详解】（1），因为，所以， 故，所以. （2）是关于的方程的一个根， ，即. 所以，解得或，故或. 【例4.4.】 （24-25高一下·广东梅州·期末）已知是关于的方程的一个根，其中，. (1)求、的值； (2)在复数范围内，求该方程的另一根. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、复数范围内方程的根 【分析】（1）根据题意，化简得到，列出方程组，即可求解； （2）由（1）得，原方程为，化简得到，进而求得原方程的另一根. 【详解】（1）解：因为为方程的一个根，可得， 整理得，所以， 解得. （2）解：由（1）得，原方程为， 配方得，于是， 解得或，所以原方程的另一根为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 复数 目录 题型1：复数的有关概念 2 题型2：复数的几何意义 3 题型3：复数的四则运算 8 题型4：复数与方程 12 题型1：复数的有关概念 【例1.1.】 （24-25高一下·湖南郴州·期末）已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【例1.2.】 （24-25高一下·陕西咸阳·期末）若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【例1.3.】 （24-25高一下·吉林长春·期末）若复数的实部与虚部相等，则（   ） A． B．2 C． D．1 【例1.4.】 （24-25高一下·陕西西安·期末）若复数的共轭复数是本身，则____________． 题型2：复数的几何意义 【例2.1.】 （24-25高一下·广东江门·期末）若（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2.2.】 （24-25高一下·四川成都·期末）若复数，的共轭复数对应的点在第四象限，则实数的取值范围为______． 【例2.3.】 （24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知，则复数对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2.4.】 （24-25高一下·甘肃临夏·期末）若，则复平面内复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2.5.】 （24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，，那么向量对应复数的虚部为（    ） A．1 B．9 C． D． 【例2.6.】 （24-25高一下·河南安阳·期末）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2.7.】 （24-25高一下·福建漳州·期末）已知i为虚数单位，复数z满足，其中． (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围． 【例2.8.】 （24-25高一下·辽宁·期末）已知复数，且是纯虚数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【例2.9.】 （24-25高一下·四川成都·期末）已知复数，. (1)若是纯虚数，求的值； (2)在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，且，求. 题型3：复数的四则运算 【例3.1.】 （24-25高一下·安徽合肥·期末）若复数满足，其中是虚数单位，则的虚部为（    ） A． B．1 C．2 D．3i 【例3.2.】 （24-25高一下·湖北武汉·期末）的实部为（   ） A． B． C．1 D．5 【例3.3.】 （24-25高一下·陕西西安·期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D．4 【例3.4.】 （24-25高一下·四川成都·期末）已知复数z满足，则z的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【例3.5.】 （24-25高一下·陕西渭南·期末）已知复数满足，则______. 【例3.6.】 （24-25高一下·甘肃酒泉·期末）设为实数，复数，，若为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【例3.7.】 （24-25高一下·福建福州·期末）已知为虚数单位，若，则（    ）． A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第三象限 【例3.8.】 （24-25高一下·江苏无锡·期末）已知复数z满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【例3.9.】 （24-25高一下·广东清远·期末）已知. (1)求实数； (2)若，求. 题型4：复数与方程 【例4.1.】 （24-25高一下·甘肃定西·期末）已知是虚数单位，是关于的方程（其中）的一个根，则=__________. 【例4.2.】 （24-25高一下·安徽合肥·期末）已知复数满足 (1)求复数 (2)若复数是关于的方程的一个根，求，的值 【例4.3.】 （24-25高一下·河北·期末）设复数（其中）. (1)若，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. 【例4.4.】 （24-25高一下·广东梅州·期末）已知是关于的方程的一个根，其中，. (1)求、的值； (2)在复数范围内，求该方程的另一根. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $