课后作业8 函数的奇偶性、周期性-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数奇偶性与周期性，通过定义辨析、性质推导及综合应用构建系统性训练，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|第2、7、13题|定义法判断奇偶性、赋值法求参数|从奇偶性定义（f(-x)=±f(x)）到定义域对称性、特殊点函数值推导| |性质应用|第3、9、14题|递推法求周期（如f(x+3)=1/f(x)得T=6）|周期定义→递推关系→周期计算→函数值转化| |综合拓展|第6、8、16题|奇偶性+单调性解不等式、方程法求表达式|奇偶性与周期性/单调性结合→性质转化→综合问题求解|

课后作业(八)　函数的奇偶性、周期性 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共84分 一、单项选择题 1．已知函数f (x)的图象关于原点对称，且周期为4，若f (1)＝2，则f (27)＝ (　　) A．2 B．0 C．－2 D．－4 2．(2025·吉林长春二模)已知函数f (x)＝(x＋a－2)(x2＋a－1)为奇函数，则a的值是 (　　) A．3 B．1或3 C．2 D．1或2 3．已知函数f (x)满足对于任意的实数x，都有f (x＋3)＝，则f (2 025)＝ (　　) A．－ C．－1 D．1 4．设函数f (x)＝，则下列函数为奇函数的是 (　　) A．f (x－1)－1 B．f (x－1)＋1 C．f (x＋1)－1 D．f (x＋1)＋1 5．已知函数f (x)＝－x2＋bx＋c，且f (x＋1)是偶函数，则f (－1)，f (1)，f (2)的大小关系是 (　　) A．f (－1)<f (1)<f (2) B．f (1)<f (2)<f (－1) C．f (2)<f (－1)<f (1) D．f (－1)<f (2)<f (1) 6．(2025·广东广州三模)已知奇函数f (x)和偶函数g(x)的定义域均为R，且满足g(x)＝f (x)＋e-x，则[f (x)]2＋[g(x)]2＝ (　　) A．1 B．－1 C．f (2x) D．g(2x) 7．已知f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意x，y，都有f (x)＋f (y)＝f (x＋y)＋a，则a＝ (　　) A．2 B．1 C．0 D．－1 8．(2025·河南郑州三模)已知f (x)为定义在(－4，4)上的奇函数，若f (x)在[0，4)上单调递减，则满足不等式f (a＋1)＋f (1－a2)>0的实数a的取值范围是 (　　) A．(－，＋∞) B．(－，2) C．(－) D．(－) 二、多项选择题 9．(2025·青海海东三模)定义在R上的函数f (x)满足f (x＋1)＝－f (x)，f (1)＝π，则 (　　) A．f (11)＝π B．f (8)＝π C．f (99)＋f (88)＝0 D．2为f (x)的一个周期 10．若函数f (x)，g(x)，h(x)的定义域都为R，且f (x)为奇函数，g(x)为偶函数，则 (　　) A．f (x2)是偶函数 B．是偶函数 C．g(f (x))是奇函数 D．f (x)h()是奇函数 11．(2025·全国二卷)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝(x2－3)ex＋2，则 (　　) A．f (0)＝0 B．当x<0时，f (x)＝－(x2－3)e-x－2 C．f (x)≥2，当且仅当x≥ D．x＝－1是f (x)的极大值点 三、填空题 12．(2025·苏锡常镇一模)同时满足以下三个条件的函数f (x)＝___________． ①f (－x)＋f (x)＝0，②f (x＋π)＝f (x)，③f (x)不是常数函数． 13．(2026·浙江台州模拟)已知函数f (x)＝为奇函数，则a＋b＝___________． 14．(2025·黑龙江大庆三模)已知定义域为R的函数f (x)满足f (x＋1)＋f (x－1)＝3，且f (1)＝－1，则f (2 024)＋f (2 025)＋f (2 026)＝___________． 15．(多选)已知定义域为R的函数f (x)满足：∀x，y∈R，f (x＋y)＋f (x－y)＝f (x)f (y)，且f (1)＝1，则下列结论正确的是 (　　) A．f (0)＝2 B．f (x)为偶函数 C．f (x)为奇函数 D．f (2)＝－1 16．已知函数f (x)＝ln(＋x)＋x，若f (2x－1)＋f (2－x)>0，则x的取值范围是___________． 课后作业(八) 1．C　2．C 3．B　[由f (x＋3)＝，得f (x)的周期T＝6，f (2 025)＝f (337×6＋3)＝f (3)＝．故选B．] 4．B 5．D　[因为f (x＋1)是偶函数，所以其图象的对称轴为直线x＝0， 所以f (x)图象的对称轴为直线x＝1． 又二次函数f (x)＝－x2＋bx＋c图象的开口向下， 根据自变量与对称轴的距离可得f (－1)<f (2)<f (1)．故选D．] 6．D　[∵g(x)＝f (x)＋e-x， ∴g(－x)＝f (－x)＋ex． ∵f (x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数， ∴g(－x)＝g(x)，f (－x)＝－f (x)， ∴f (x)＋e-x＝f (－x)＋ex＝－f (x)＋ex， ∴f (x)＝，g(x)＝f (x)＋e-x＝＋e-x＝． ∴[f (x)]2＋[g(x)]2＝ ＝＝g(2x)．故选D．] 7．C　[令y＝－x，则f (x)＋f (－x)＝f (0)＋a， 因为f (x)是定义在R上的奇函数， 所以f (x)＋f (－x)＝0，f (0)＝0，则a＝0． 故选C．] 8．C　[因为f (x)是奇函数，则f (a＋1)＋f (1－a2)>0可化为f (a＋1)>－f (1－a2)＝f (a2－1)． 又f (x)在[0，4)上单调递减且f (x)是定义在(－4，4)上的奇函数， 所以f (x)在(－4，4)上单调递减． 则 解得－<a<－1或2<a<， 即实数a的取值范围是(－，－1)∪(2，)．故选C．] 9．ACD　[对于D，由f (x＋1)＝－f (x)， 得f (x＋2)＝－f (x＋1)＝f (x)，则2为f (x)的一个周期，D正确； 对于A，f (11)＝f (1)＝π，A正确； 对于B，f (8)＝f (0)＝－f (1)＝－π，B错误； 对于C，f (99)＋f (88)＝f (1)＋f (0)＝0，C正确．故选ACD．] 10．ABD　[函数f (x)，g(x)，h(x)的定义域都为R， 对于A，因为f ((－x)2)＝f (x2)， 所以f (x2)是偶函数，故A正确； 对于B，因为f (x)为奇函数，所以|f (－x)|＝|－f (x)|＝|f (x)|， 则|f (x)|是偶函数，故B正确； 对于C，因为g(x)为偶函数，所以g(f (－x))＝g(－f (x))＝g(f (x))， 即g(f (x))是偶函数，故C错误； 对于D，因为h(|－x|)＝h(|x|)，所以h(|x|)为偶函数，又因为f (x)为奇函数，则f (x)h(|x|)是奇函数，故D正确． 故选ABD．] 11．ABD　[因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (0)＝0，故A正确；当x<0时，－x>0，因此f (－x)＝[(－x)2－3]e-x＋2＝－f (x)，因此f (x)＝－(x2－3)e-x－2，故B正确；当x>0时，f (x)＝(x2－3)·ex＋2，f '(x)＝(x2＋2x－3)ex＝(x＋3)·(x－1)ex，令f '(x)>0，得x>1，令f '(x)<0，得0<x<1，因此f (x)在x＝1处取得极小值，因此奇函数f (x)在x＝－1处取得极大值，故D正确；当x>0时，f (x)≥2，即(x2－3)ex≥0，解得x≥，当x<0时，f (x)在x＝－1处取得极大值，f (－1)＝－(1－3)e－2＝2e－2>2，因此在(－∞，0)上也存在满足f (x)≥2的区间，故C错误．故选ABD．] 12．tan x(答案不唯一) 13．－3　[因为函数f (x)＝为奇函数， 所以当x<0时，－x>0，f (－x)＝e-x－a＝－f (x)＝－be-x＋2， 所以a＝－2，b＝－1，所以a＋b＝－3．] 14．2　[由f (x＋1)＋f (x－1)＝3， 用x＋1代替x，得f (x＋2)＝3－f (x)， 则f (x＋4)＝3－f (x＋2)＝f (x)， 所以f (2 025)＝f (1＋506×4)＝f (1)＝－1． 由f (x＋1)＋f (x－1)＝3， 令x＝2 025，则f (2 026)＋f (2 024)＝3， 所以f (2 024)＋f (2 025)＋f (2 026)＝2．] 15．ABD　[因为∀x，y∈R，f (x＋y)＋f (x－y)＝f (x)f (y)， 取x＝1，y＝0可得f (1)＋f (1)＝f (1)f (0)， 又f (1)＝1，所以f (0)＝2，A正确； 取x＝0，y＝x可得f (x)＋f (－x)＝f (0)f (x)， 因为f (0)＝2，所以f (－x)＝f (x)， 所以f (x)为偶函数，B正确，C错误； 取x＝1，y＝1可得f (2)＋f (0)＝f (1)f (1)， 又f (1)＝1，f (0)＝2，所以f (2)＝－1，D正确．故选ABD．] 16．(－1，＋∞)　[因为函数f (x)＝ln(＋x)＋x的定义域为R，且f (－x)＋f (x)＝ln(－x)－x＋ln(＋x)＋x ＝ln[(－x)(＋x)] ＝ln(x2＋1－x2)＝ln 1＝0， 所以f (－x)＝－f (x)，即f (x)为奇函数， 当x>0时，y＝＋x，y＝ln x，y＝x均单调递增，所以f (x)＝ln(＋x)＋x在(0，＋∞)上单调递增，则f (x)在(－∞，0)上单调递增， 所以f (x)是奇函数且在R上单调递增， 由f (2x－1)＋f (2－x)>0，得f (2x－1)>f (x－2)， 所以2x－1>x－2，解得x>－1， 即x的取值范围为(－1，＋∞)．] 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $