课后作业34　正弦定理、余弦定理的应用举例-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 本同步练习通过基础应用、综合情境、复杂建模三层递进设计，实现正弦定理、余弦定理从单一解题到实际应用的知识巩固，适配一轮复习“基础+提升”需求，培养数学眼光与建模能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|单一定理直接应用|单选1-3题考查河宽、建筑物高度等基本测量，强化数学思维中的推理意识| |综合情境|多定理综合及教材改编|多选4-5题、填空6-7题结合航海、土坡测量情境，改编自教材例题，体现数学语言的应用表达| |复杂建模|复杂情境分步解决|解答题8-9题含仰角、方位角等条件，需数学眼光抽象问题，通过运算与推理实现问题求解|

课后作业(三十四)　正弦定理、余弦定理的应用举例 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共65分 一、单项选择题 1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为 (　　) A．50 m C．25 m 2．(2026·湖北恩施模拟)某学生准备测量如图中某建筑物AB的高度，选择高为50 m的大楼CD进行测量，在大楼顶部D处测得该建筑物的顶部B的仰角为，则该建筑物的高度为 (　　) A．50( ＋1)m C．50( ＋2)m 3．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100 m，则该球体建筑物的高度约为(cos 10°≈0.985) (　　) A．49.25 m B．50.76 m C．56.74 m D．58.60 m 二、多项选择题 4．(人教A版必修第二册P49例9改编)如图，在海面上有两个观测点B，D，B在D的正北方向，距离为2 km，在某天10：00观察到某航船在C处，此时测得∠CBD＝45°，5分钟后该船行驶至A处，此时测得∠ABC＝30°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则 (　　) A．观测点B位于A处的北偏东75°方向 B．当天10：00时，该船到观测点B的距离为 km C．当船行驶至A处时，该船到观测点B的距离为 km D．该船在由C行驶至A的这5分钟内行驶了 km 5．如图，甲船从A1出发以25 n mile/h的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距5 n mile．当甲船航行12 min到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距5 n mile，下列说法正确的是 (　　) A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是15 n mile/h C．甲、乙两船相遇时，甲行驶了 h D．甲、乙两船不可能相遇 三、填空题 6．(人教A版必修第二册P51练习T2改编)某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得∠PAC＝15°，沿土坡向坡顶前进25 m后到达D处，测得∠PDC＝45°．已知旗杆CP＝10 m，PB⊥AB，土坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝___________． 7．如图，位于某海域A处的甲船获悉，在其北偏东 60°方向C处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15°方向，且与甲船相距 n mile的B处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为___________n mile． 四、解答题 8．(13分)如图，一辆汽车在一条水平公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在北偏西45°的方向上，仰角为30°，行驶4 km后到达B处，测得此山顶在北偏西30°的方向上． (1)求此山的高度； (2)设汽车行驶过程中仰望山顶D的最大仰角为θ，求tan θ． 9．(15分)如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4 m，于是选择沿A→B→C路线清扫．已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2 m/s，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10 s完成了清扫任务． (1)求B，C两处垃圾之间的距离；(精确到0.1 m) (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值． 课后作业(三十四) 1．A　2．B 3．B　[如图，设球的半径为R，则AB＝R，AC＝． ∵BC＝R＝100， ∴R＝＝ ＝≈， ∴2R≈≈50.76，故选B．] 4．ACD　[A选项中，∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝30°＋45°＝75°，∠CDB＝∠ADC＋∠BDA＝30°＋60°＝90°， 因为B在D的正北方向，所以B位于A的北偏东75°方向，故A正确； B选项中，在△BCD中，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°，则∠BCD＝45°，又因为BD＝2 km， 所以BC＝2 km，故B错误； C选项中，在△ABD中，∠ABD＝75°，∠ADB＝60°，则∠BAD＝45°， 由正弦定理得，即AB＝(km)，故C正确； D选项中，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝6＋8－2××2＝2， 即AC＝ km，故D正确． 故选ACD．] 5．AD　[如图，连接A1B2，依题意，A1A2＝25×＝ 5(n mile)，而B2A2＝5 n mile， ∠A1A2B2＝60°， 则△A1A2B2是正三角形， ∠A2A1B2＝60°，A1B2＝5 n mile，在△A1B1B2中，∠B1A1B2＝45°， A1B1＝5 n mile， 由余弦定理得，B1B2＝ ＝ ＝5(n mile)，且有∠A1B1B2＝45°，所以乙船的行驶速度是＝25(n mile/h)，A正确，B不正确； 延长B1B2与A1A2交于点O，显然有∠A1B2B1＝90°，即A1B2⊥OB1，OA1＝10 n mile，OB2＝5 n mile，OB1＝5(＋1) n mile， 所以甲船从出发到点O用时t1＝(h)，乙船从出发到点O用时t2＝(h)，t1<t2，即甲船先到达点O，所以甲、乙两船不可能相遇，C不正确，D正确．故选AD．] 6．　[在△PAD中，∠APD＝45°－15°＝30°， 由正弦定理得 PD＝·sin 15°＝＝， 在△PDC中，PC＝10 m， 故sin∠PCD＝·PD＝， 因为cos θ＝sin∠PCD， 所以cos θ＝．] 7．2　[由题意知，AB＝ n mile，∠BAC＝45°，∠BCA＝30°， 在△ABC中，由正弦定理得，所以BC＝sin∠BAC＝×sin 45°＝2(n mile)． 故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为2 n mile．] 8．解：(1)设此山高h km，则AC＝， 在△ABC中，∠ABC＝120°，∠BCA＝60°－45°＝15°，AB＝4 km． 根据正弦定理得， 即， 解得h＝2() km． 所以此山的高度为2()km． (2)由题意可知，当点C到公路的距离最小时，仰望山顶D的仰角达到最大，所以过C作CE⊥AB，垂足为E，连接DE． 则∠DEC＝θ，CE＝AC·sin 45°，DC＝AC·tan 30°，所以tan θ＝． 9．解：(1)由题意得AB＋BC＝0.2×10＝2， 设BC＝x，0<x<2，则AB＝2－x，AC＝2－x＋0.4＝2.4－x， 由题意得A＝90°＋30°＝120°． 在△ABC中，由余弦定理得 cos A＝＝＝－， 整理得，x2－6.6x＋7.28＝0， 解得x＝1.4或x＝5.2(舍去)， ∴BC＝1.4 m． (2)由(1)知AB＝2－1.4＝0.6，AC＝2.4－1.4＝1，BC＝1.4． ∴cos B＝＝． 4/4 学科网（北京）股份有限公司 $