第10章 分式 期末复习训练 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 本试卷为初中数学分式单元期末复习训练，含选择、填空、解答题共30题，以2025-2026年各地校级月考及模拟真题为素材，聚焦分式概念、性质、运算及应用，渗透数学抽象、运算能力与模型意识，适配期末综合复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|分式概念、基本性质、方程求解、实际应用|结合路面维修（题8）、马拉松（题16）等现实情境，考查模型意识；通过方程规律观察（题7）提升推理能力| |填空题|10|分式有意义条件、规律探究、优界数定义|设计“优界数”（题20）等创新概念，渗透抽象能力；结合七巧板图案（题17）体现几何直观| |解答题|10|分式化简、方程求解、实际应用、材料阅读|以纪念章价格（题26）、生产线效率（题28）等问题考查应用意识；通过假分式转化（题27）、糖水浓度比较（题30）深化运算能力与数学思维|

期末复习·章节训练·2025—2026学年苏科版八年级下册 第10章 分式 期末复习训练 一．选择题 1．（2026春•裕安区校级月考）下列代数式是分式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026春•杭州月考）下列从左到右的变形正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2026春•武侯区校级期中）把分式的分子分母中的a，b都扩大到原来的4倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的16倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 4．（2026•博望区二模）化简：（　　） A．2x﹣2 B． C． D． 5．（2025秋•临淄区期末）分式，的最简公分母为（　　） A．12a2b2 B．12a2b C．12ab2 D．12ab 6．（2026•石狮市模拟）某校为数学社团在同一商家采购数独九宫格盘，第一次用1400元买了若干套，第二次用900元购买同款数独九宫格盘，…，求第一次购买了多少套？同学们根据题意，设第一次购买了x套，列得方程，则题目省略部分的文字为（　　） A．每套比上次降价5元，多买了10套 B．每套比上次降价5元，少买了10套 C．每套比上次涨价5元，少买了10套 D．每套比上次涨价5元，多买了10套 7．（2026•仪征市模拟）观察下列方程： ，变形为：，其解为x＝1或x＝2； ，变形为：，其解为x＝2或x＝3； ，变形为：，其解为x＝3或x＝4；..， 根据以上阅读，若n为正整数，关于x的方程的较小解是x＝10，则n的值是（　　） A．12 B．13 C．11或12 D．12或13 8．（2026春•雁塔区校级月考）近日，秋浦西路（虎泉路—长江中路段）正在进行路面维修改造，采取半幅封闭施工，给市民出行带来极大不便．该路段全长800米，在维修200米后，为了能尽快完工，采用了新的维修技术，工作效率比原来提升了20%，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天维修x米，则可列方程（　　） A． B． C． D． 9．（2026•淄博二模）若关于x的分式方程无解，则m的值是（　　） A．3或﹣7 B．3或10 C．3 D．﹣7 10．（2025秋•武汉期末）在计算分式的值时，若x分别取2025，2024，2023，…，2，1，0，1，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（　　） A．2026 B．﹣1 C．2025 D． 二．填空题 11．（2026•西平县模拟）若分式在实数范围内有意义，写出一个符合要求的x的值：　 　 ． 12．（2026•中原区校级三模）观察代数式4，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为　 　 ． 13．（2026春•龙泉驿区校级期中）已知（其中A、B均为常数），则A＝　 　 ，B＝　 　 ． 14．（2026春•衡阳县月考）计算：　 　 ． 15．（2025秋•渝中区校级期末）若，则分式的值为　 　 ． 16．（2026春•兴化市期中）随着人民生活质量的提高，全民健身运动深入人心，马拉松运动成为众多运动爱好者的选择．在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙40米，已知乙的平均配速为2.6米/秒．如果甲想再跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均配速为多少米/秒？设甲接下来的平均配速为x米/秒，则所列分式方程是　 　 ． 17．（2026•金华模拟）如图，小明用七巧板拼成小狗图案（如图2），则的值是　 　 ． 18．（2026春•兴化市期中）如果关于x的分式方程的解是正数，那么实数m的取值范围是　 　 ． 19．（2026春•亭湖区校级月考）定义，即当x＝1时，；当时，，则　 　 ． 20．（2026春•锦江区校级期中）对于两个实数a、b，若分式有意义且，则称b是a的一个“优界数”，并规定a的所有优界数b的取值范围叫做a的“优界域”，例如：当a＝6时，由且b≠0，解得0＜b＜6，所以6的“优界域”为0＜b＜6，当a＝﹣4时，﹣4的“优界域”为　 　 ；已知实数m，关于x的分式方程的解为x0，若x0是m的优界数，则m的取值范围为　 　 ． 三．解答题 21．（2026春•东台市月考）计算和化简： （1）； （2）． 22．（2026•平谷区二模）已知x﹣y﹣1＝0，求代数式的值． 23．（2026•榆树市模拟）解方程： （1）； （2）． 24．（2026•连州市二模）以下是小明同学解方程的过程． 【解析】方程两边同时乘（x﹣3），得1﹣x＝﹣1﹣2．…第一步 解得x＝4．…第二步 检验：当x＝4时，x﹣3＝4﹣3＝1≠0．…第三步 所以，原分式方程的解为x＝4．…第四步 （1）小明的解法从第 　 　 步开始出现错误； （2）写出解方程的正确过程． 25．（2026•清新区二模）【问题背景】解决分式问题时，在分式有意义的情况下，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关； 已知，． 【应用思考】 （1）求A+B的值； （2）当x＝1时，请求5P+3Q的值． 26．（2026•呈贡区校级模拟）为落实全民健身国家战略，丰富广大群众元旦期间的体育生活，展现市民健康向上的精神风貌，某市第四十届元旦越野跑于2025年1月1日在市体育中心门前举行，某校准备为学生制作A，B两种纪念章．经了解，每个A种纪念章比每个B种纪念章多4元，用1000元订制A种纪念章的数量与用800元订制B种纪念章的数量相同，A，B两种纪念章每个各为多少元？ 27．（2026春•兴化市期中）【阅读材料】定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，．假分式可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式），如：． 【解决问题】 （1）将假分式化为带分式； （2）若的值为整数，求整数x的值； 【拓展延伸】 （3）若x+2xy﹣2y＝20，且x、y为正整数，求y﹣x的值． 28．（2026春•东台市月考）江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． （1）已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ （2）在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 29．（2026•迎泽区校级二模）山西老陈醋是中国四大名醋之一，素有“天下第一醋”的美誉，其酿造技艺被列入国家级非物质文化遗产．某醋业公司生产两款经典产品：五年陈酿老陈醋和八年陈酿老陈醋． （1）在一次山西特产展销会上，售出40箱五年陈酿和20箱八年陈酿，总销售额为7400元．已知每箱五年陈酿的售价比每箱八年陈酿的售价少10元．求每箱五年陈酿和每箱八年陈酿的售价各是多少元？ （2）为迎接“山西醋文化节”，公司对两款产品进行促销活动．活动期间，五年陈酿和八年陈酿的销售额分别为6160元、9200元．已知五年陈酿的销售量比八年陈酿的销售量少30%，且每箱八年陈酿的售价比每箱五年陈酿的售价多5元．求五年陈酿的销售量为多少箱？ 30．（2026•东莞市校级二模）【材料1】 用求差法可以比较两个数的大小：对于两个实数m，n，若m﹣n＞0，则m＞n；若m﹣n＝0，则m＝n；若m﹣n＜0，则m＜n． 【材料2】 一杯质量为ag的糖水含糖bg（a＞b＞0），则糖水浓度为；若向这杯糖水中加入mg（m＞0）糖，则新糖水浓度为，生活经验表明，加糖后的糖水更甜，因此得到结论：． 小明用求差法对此结论进行了验证，过程如下： 证明：． ∵a＞b＞0，m＞0， ∴a﹣b＞0，a+m＞0． ∴ ∴． 【解决问题】 如果有甲、乙两杯糖水，甲糖水质量为ag，含糖bg；乙糖水质量为cg，含糖dg，则甲糖水的浓度为a甲，乙糖水的浓度为.若把这两杯糖水混合在一起，混合后的糖水浓度记为a混合，已知a、b、c、d均为正数，且a＞b，c＞d． 回答下列问题： （1）a混合＝　 　 ；（用含a，b，c，d的式子表示） （2）若，分别比较a混合与a甲、a混合与a乙的大小： ①a混合　 　 a甲，②a混合　 　 a乙；（填“＞”“＜”或“＝”） 并选择上述两个结论中的一个，用求差法证明你的结论． （3）小明将甲、乙两杯浓度分别为8%和24%的糖水按质量比5：3混合后，得到浓度为14%的混合糖水，他想让混合糖水的浓度变为15%，需要向混合糖水中加入一些糖（假设糖完全溶解）．请直接写出加入糖的质量与原混合糖水总质量的比． 1 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习·章节训练·2025—2026学年苏科版八年级下册 第10章 分式 期末复习训练 一．选择题 1．（2026春•裕安区校级月考）下列代数式是分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的定义逐项判断即可． 【解答】解：根据分式的定义逐项分析判断如下： A、的分母是常数2，不含字母，不是分式； B、的分母是常数2，不含字母，不是分式； C、的分母a﹣b是含字母的整式，符合分式定义，是分式； D、的分母是常数2，不含字母，不是分式． 故选：C． 2．（2026春•杭州月考）下列从左到右的变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分式的分子、分母都乘或除以同一个不为0的数或式子，分式的值不变，由此判断即可． 【解答】解：A、不符合分式的基本性质，故此选项不符合题意； B、不符合分式的基本性质，故此选项不符合题意； C、符合分式的基本性质，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．（2026春•武侯区校级期中）把分式的分子分母中的a，b都扩大到原来的4倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的16倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【分析】根据分式的性质逐项判断即可． 【解答】解：把分式的分子分母中的a，b都扩大到原来的4倍后为， 则分式扩大了4倍． 故选：A． 4．（2026•博望区二模）化简：（　　） A．2x﹣2 B． C． D． 【分析】根据分式的加减运算法则化简即可． 【解答】解：原式 ． 故选：B． 5．（2025秋•临淄区期末）分式，的最简公分母为（　　） A．12a2b2 B．12a2b C．12ab2 D．12ab 【分析】根据最简公分母的概念计算即可． 【解答】解：分式，的最简公分母为12a2b2， 故选：A． 6．（2026•石狮市模拟）某校为数学社团在同一商家采购数独九宫格盘，第一次用1400元买了若干套，第二次用900元购买同款数独九宫格盘，…，求第一次购买了多少套？同学们根据题意，设第一次购买了x套，列得方程，则题目省略部分的文字为（　　） A．每套比上次降价5元，多买了10套 B．每套比上次降价5元，少买了10套 C．每套比上次涨价5元，少买了10套 D．每套比上次涨价5元，多买了10套 【分析】设第一次购买了x套，根据方程即可得出结论． 【解答】解：设第一次购买了x套， ∵列得方程， ∴题目省略部分的文字为：每套比上次降价5元，少买了10套， 故选：B． 7．（2026•仪征市模拟）观察下列方程： ，变形为：，其解为x＝1或x＝2； ，变形为：，其解为x＝2或x＝3； ，变形为：，其解为x＝3或x＝4；..， 根据以上阅读，若n为正整数，关于x的方程的较小解是x＝10，则n的值是（　　） A．12 B．13 C．11或12 D．12或13 【分析】利用已知解题方法得出方程的解． 【解答】解：将原方程变形为（x+2）n+（n+1）， ∴x+2＝n或x+2＝n+1， ∴方程的解是x＝n﹣2或x＝n﹣1， 当n﹣2＝10时，n＝12， 当n﹣1＝10时，n＝11， ∴n的值是12． 故选：A． 8．（2026春•雁塔区校级月考）近日，秋浦西路（虎泉路—长江中路段）正在进行路面维修改造，采取半幅封闭施工，给市民出行带来极大不便．该路段全长800米，在维修200米后，为了能尽快完工，采用了新的维修技术，工作效率比原来提升了20%，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天维修x米，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“原计划修剩余路程的时间减去提速后修剩余路程的时间等于提前的2天”找等量关系列方程即可． 【解答】解：根据题意列方程得． 故选：B． 9．（2026•淄博二模）若关于x的分式方程无解，则m的值是（　　） A．3或﹣7 B．3或10 C．3 D．﹣7 【分析】将原方程去分母后化为整式方程并整理，然后根据其无解求得m的值即可． 【解答】解：原方程去分母得：7+3x+3＝mx， 整理得：（m﹣3）x＝10， 当m﹣3＝0，即m＝3时， 0x＝10，此方程无解，那么分式方程无解，符合题意， 当m≠3时，若分式方程无解， 那么x+1＝0， 解得：x＝﹣1， 则﹣（m﹣3）＝10， 解得：m＝﹣7， 综上，m的值为3或﹣7， 故选：A． 10．（2025秋•武汉期末）在计算分式的值时，若x分别取2025，2024，2023，…，2，1，0，1，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（　　） A．2026 B．﹣1 C．2025 D． 【分析】将分式变形为分式1，将x值代入运算，找出变化的规律，依据规律解答即可． 【解答】解：分式1， 当x＝0时，原式＝﹣1， 当x＝1时，原式＝0， 当x＝2025时，原式＝1， 当x时，原式， 当x＝2024时，原式＝1， 当x时，原式， ...， 当x＝2时，原式＝1， 当x时，原式1， ∴当x＝2025与当x时，原式是值互为相反数，它们的和为0， 当x＝2024与当x时，原式是值互为相反数，它们的和为0， ...， 当x＝2与当x时，原式是值互为相反数，它们的和为0， ∴将所得结果相加之和＝﹣1． 故选：B． 二．填空题 11．（2026•西平县模拟）若分式在实数范围内有意义，写出一个符合要求的x的值：　1（答案不唯一）　 ． 【分析】分式有意义即分母不为0，由此求出x的取值范围，在这个范围内任取一个x的值即可． 【解答】解：若分式在实数范围内有意义， 则x﹣3≠0， 解得x≠3， 所以x的值可以是1， 故答案为：1（答案不唯一）． 12．（2026•中原区校级三模）观察代数式4，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为　　 ． 【分析】分别探究分子和分母随序号n的变化规律，归纳总结即可得到第n个式子的表达式． 【解答】解：根据题意可知，将已知式子按顺序从1开始编号， 当n＝1时，第1个代数式的值为：， 当n＝2时，第2个代数式的值为：， 当n＝3时，第3个代数式的值为：， 当n＝4时，第4个代数式的值为：， ..． 依此类推，可得第n个代数式的值为：． 故答案为：． 13．（2026春•龙泉驿区校级期中）已知（其中A、B均为常数），则A＝　　 ，B＝　　 ． 【分析】把方程的右边通分，然后根据等式的性质得出关于A、B的方程组，求解即可． 【解答】解：， ， ， ， ∴， 解得， 故答案为：，． 14．（2026春•衡阳县月考）计算：　　 ． 【分析】根据分式的乘除法的运算法则进行计算． 【解答】解： ． 故答案为：． 15．（2025秋•渝中区校级期末）若，则分式的值为　　 ． 【分析】根据分式的加减法的运算法则进行计算即可． 【解答】解：∵， ∴2， ∴x+y＝2xy， ∴ ． 故答案为：． 16．（2026春•兴化市期中）随着人民生活质量的提高，全民健身运动深入人心，马拉松运动成为众多运动爱好者的选择．在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙40米，已知乙的平均配速为2.6米/秒．如果甲想再跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均配速为多少米/秒？设甲接下来的平均配速为x米/秒，则所列分式方程是　　 ． 【分析】根据甲跑300米用的时间等于乙跑260米用的时间相等列出方程即可． 【解答】解：根据题意，得． 故答案为：． 17．（2026•金华模拟）如图，小明用七巧板拼成小狗图案（如图2），则的值是　　 ． 【分析】根据七巧板的分割方法，设正方形的边长为k，用含有k的代数式表示a、b即可． 【解答】解：设正方形的边长为k，由七巧板的分割方法可知， a＝kkk，bkk＝k， ∴， 故答案为：． 18．（2026春•兴化市期中）如果关于x的分式方程的解是正数，那么实数m的取值范围是　　 ． 【分析】先解分式方程得到x关于m的表达式，再根据解为正数且分母不为零列不等式求解即可． 【解答】解：去分母得，2m﹣2x+3＝x﹣2， 解得：x， ∵分式方程的分母不能为0， ∴x≠2，即，解得m， ∵方程的解是正数， ∴x＞0，即，解得m， ∴m且m， 故答案为：m且m． 19．（2026春•亭湖区校级月考）定义，即当x＝1时，；当时，，则　2027　 ． 【分析】先推导得到，且f（﹣x）＝f（x），据此对原式两两配对，再加上f（0）+f（1）+f（1）的值即可得到结果． 【解答】解：∵， ∴，， ＝2027． 20．（2026春•锦江区校级期中）对于两个实数a、b，若分式有意义且，则称b是a的一个“优界数”，并规定a的所有优界数b的取值范围叫做a的“优界域”，例如：当a＝6时，由且b≠0，解得0＜b＜6，所以6的“优界域”为0＜b＜6，当a＝﹣4时，﹣4的“优界域”为　﹣4＜b＜0　 ；已知实数m，关于x的分式方程的解为x0，若x0是m的优界数，则m的取值范围为　，且m≠6　 ． 【分析】（1）仿照例题求解即可； （2）解分式方程得到x＝9﹣m，根据分式方程有解为x0，得到m≠6，再结合优界数的定义，得到，且9﹣m≠0，根据9﹣m的符号分两种情况求解即可． 【解答】解：（1）当a＝﹣4时， ∵， ∴b＜0， ∴b＞﹣4， 又∵b≠0， ∴﹣4＜b＜0， ∴﹣4的“优界域”为﹣4＜b＜0； 故答案为：﹣4＜b＜0； （2）解分式方程得x＝9﹣m， ∵分式方程的解为x0， ∴x0＝9﹣m，且x0﹣3≠0， ∴x0＝9﹣m≠3， ∴m≠6， ∵x0是m的优界数， ∴，且x0≠0， ∴，且9﹣m≠0， 当m＞9时，m＜9﹣m，解得：，不符合题意； 当m＜9时，m＞9﹣m，解得：，此时； ∴m的取值范围为，且m≠6． 故答案为：，且m≠6． 三．解答题 21．（2026春•东台市月考）计算和化简： （1）； （2）． 【分析】（1）先将分式化为同分母分式，再进行加减运算； （2）先对括号内的分式进行通分计算，再将除法转化为乘法，最后进行约分． 【解答】解：（1） ＝1﹣5 ＝﹣4； （2） • ＝x． 22．（2026•平谷区二模）已知x﹣y﹣1＝0，求代数式的值． 【分析】根据分式的计算方法进行计算． 【解答】解：原式 ， ∵x﹣y﹣1＝0 ∴x﹣y＝1 ∴． 23．（2026•榆树市模拟）解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可； （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：（1）原方程去分母得：4（x﹣1）＝3x， 整理得：4x﹣4＝3x， 解得：x＝4， 检验：当x＝4时，x（x﹣1）≠0， 故原方程的解为x＝4； （2）原方程去分母得：2x（x﹣3）＝7（x﹣2）+2（x﹣2）（x﹣3）， 整理得：2x2﹣6x＝7x﹣14+2x2﹣10x+12， 解得：x， 检验：当x时，（x﹣2）（x﹣3）≠0， 故原方程的解为x． 24．（2026•连州市二模）以下是小明同学解方程的过程． 【解析】方程两边同时乘（x﹣3），得1﹣x＝﹣1﹣2．…第一步 解得x＝4．…第二步 检验：当x＝4时，x﹣3＝4﹣3＝1≠0．…第三步 所以，原分式方程的解为x＝4．…第四步 （1）小明的解法从第 　一　 步开始出现错误； （2）写出解方程的正确过程． 【分析】（1）第一步去分母时整数漏乘． （2）根据解分式方程的步骤，先确定最简公分母，然后去分母，解整式方程，检验，得出解． 【解答】解：（1）小明的解法从第一步开始出现错误． 故答案为：一． （2）方程两边同时乘（x﹣3），得1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣3）． 解得x＝4． 检验：当x＝4时，x﹣3＝4﹣3＝1≠0． 所以，原分式方程的解为x＝4． 25．（2026•清新区二模）【问题背景】解决分式问题时，在分式有意义的情况下，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关； 已知，． 【应用思考】 （1）求A+B的值； （2）当x＝1时，请求5P+3Q的值． 【分析】（1）根据已知条件和加数＝和﹣另一个加数，被减数＝差+减数，列出算式，利用同分母分式相加法则进行计算求出A，B即可； （2）先把x＝1代入已知条件中的等式，求出P，Q，再代入所求式子进行计算即可． 【解答】解：（1）∵，， ∴ ＝1， ＝3， ∴A+B＝1+3＝4； （2）当x＝1时， ， ∴5P+3Q ． 26．（2026•呈贡区校级模拟）为落实全民健身国家战略，丰富广大群众元旦期间的体育生活，展现市民健康向上的精神风貌，某市第四十届元旦越野跑于2025年1月1日在市体育中心门前举行，某校准备为学生制作A，B两种纪念章．经了解，每个A种纪念章比每个B种纪念章多4元，用1000元订制A种纪念章的数量与用800元订制B种纪念章的数量相同，A，B两种纪念章每个各为多少元？ 【分析】根据题意，设B种纪念章为x元/件，则A种纪念章为（x+4）元/件，由此列式求解即可． 【解答】解：设B种纪念章为x元/件，则A种纪念章为（x+4）元/件， 根据题意列分式方程得：， 解得x＝16， 检验：当x＝16时，x（x+4）≠0， ∴原分式方程的解为x＝16， ∴x+4＝20， 答：每个A种纪念章和B种纪念章分别为20元和16元． 27．（2026春•兴化市期中）【阅读材料】定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，．假分式可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式），如：． 【解决问题】 （1）将假分式化为带分式； （2）若的值为整数，求整数x的值； 【拓展延伸】 （3）若x+2xy﹣2y＝20，且x、y为正整数，求y﹣x的值． 【分析】（1）将原式的分子化为2（x+1）+1后即可求得答案； （2）将原式的分子化为（x﹣2）2+1后即可求得答案； （3）将原式变形为（x﹣1）（2y+1）＝19，然后根据题意求得x，y的值，接着计算y﹣x的值即可． 【解答】解：（1）原式 ＝2； （2）原式 ＝x﹣2； （3）若x+2xy﹣2y＝20， 则x﹣1+2xy﹣2y＝19， 那么x﹣1+2y（x﹣1）＝19， 因此（x﹣1）（2y+1）＝19， ∵x、y为正整数， ∴x﹣1＝1，2y+1＝19， 当x﹣1＝1，2y+1＝19时， 解得：x＝2，y＝9， 那么y﹣x＝9﹣2＝7． 28．（2026春•东台市月考）江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． （1）已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ （2）在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 【分析】（1）设乙生产线单独完成需要x天，根据甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的，列出方程进行求解，再根据乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天，进行求解即可； （2）根据方案求出12天的工作量，进行判断即可． 【解答】解：（1）设乙生产线单独完成需要x天， 根据题意列分式方程得： ， 解得x＝40， 经检验，x＝40是原方程的解且符合题意， 40+5＝45（天）， 答：乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天； （2）根据题意列式得，； 答：这样安排能在12天内完成任务． 29．（2026•迎泽区校级二模）山西老陈醋是中国四大名醋之一，素有“天下第一醋”的美誉，其酿造技艺被列入国家级非物质文化遗产．某醋业公司生产两款经典产品：五年陈酿老陈醋和八年陈酿老陈醋． （1）在一次山西特产展销会上，售出40箱五年陈酿和20箱八年陈酿，总销售额为7400元．已知每箱五年陈酿的售价比每箱八年陈酿的售价少10元．求每箱五年陈酿和每箱八年陈酿的售价各是多少元？ （2）为迎接“山西醋文化节”，公司对两款产品进行促销活动．活动期间，五年陈酿和八年陈酿的销售额分别为6160元、9200元．已知五年陈酿的销售量比八年陈酿的销售量少30%，且每箱八年陈酿的售价比每箱五年陈酿的售价多5元．求五年陈酿的销售量为多少箱？ 【分析】（1）设每箱五年陈酿的售价是x元，每箱八年陈酿的售价是y元，根据售出40箱五年陈酿和20箱八年陈酿，总销售额为7400元；每箱五年陈酿的售价比每箱八年陈酿的售价少10元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设八年陈酿的销售量为m箱，则五年陈酿的销售量为（1﹣30%）m箱，根据五年陈酿和八年陈酿的销售额分别为6160元、9200元．且每箱八年陈酿的售价比每箱五年陈酿的售价多5元，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设每箱五年陈酿的售价是x元，每箱八年陈酿的售价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：每箱五年陈酿的售价是120元，每箱八年陈酿的售价是130元； （2）设八年陈酿的销售量为m箱，则五年陈酿的销售量为（1﹣30%）m箱， 由题意得：， 解得：m＝80， 经检验，m＝80是原方程的解，且符合题意， ∴（1﹣30%）m＝0.7×80＝56， 答：五年陈酿的销售量为56箱． 30．（2026•东莞市校级二模）【材料1】 用求差法可以比较两个数的大小：对于两个实数m，n，若m﹣n＞0，则m＞n；若m﹣n＝0，则m＝n；若m﹣n＜0，则m＜n． 【材料2】 一杯质量为ag的糖水含糖bg（a＞b＞0），则糖水浓度为；若向这杯糖水中加入mg（m＞0）糖，则新糖水浓度为，生活经验表明，加糖后的糖水更甜，因此得到结论：． 小明用求差法对此结论进行了验证，过程如下： 证明：． ∵a＞b＞0，m＞0， ∴a﹣b＞0，a+m＞0． ∴ ∴． 【解决问题】 如果有甲、乙两杯糖水，甲糖水质量为ag，含糖bg；乙糖水质量为cg，含糖dg，则甲糖水的浓度为a甲，乙糖水的浓度为.若把这两杯糖水混合在一起，混合后的糖水浓度记为a混合，已知a、b、c、d均为正数，且a＞b，c＞d． 回答下列问题： （1）a混合＝　　 ；（用含a，b，c，d的式子表示） （2）若，分别比较a混合与a甲、a混合与a乙的大小： ①a混合　＞　 a甲，②a混合　＜　 a乙；（填“＞”“＜”或“＝”） 并选择上述两个结论中的一个，用求差法证明你的结论． （3）小明将甲、乙两杯浓度分别为8%和24%的糖水按质量比5：3混合后，得到浓度为14%的混合糖水，他想让混合糖水的浓度变为15%，需要向混合糖水中加入一些糖（假设糖完全溶解）．请直接写出加入糖的质量与原混合糖水总质量的比． 【分析】（1）两杯糖水混合在一起，求出糖水质量为（a+c）g，含糖（b+d）g，即可得到答案；（2）①求出a混合﹣a甲0，即知a混合＞a甲； ②同理可得a混合＜a乙； （3）设用8%的糖水5kg，24%的糖水3kg，向混合糖水中加入糖mg，可得：15%，解得mk，再列式计算即可． 【解答】解：（1）两杯糖水混合在一起，糖水质量为（a+c）g，含糖（b+d）g， ∴a混合； 故答案为：； （2）①∵，a、b、c、d均为正数， ∴bc＜ad， ∵a混合﹣a甲， ∴a混合﹣a甲＞0， ∴a混合＞a甲； 故答案为：＞； ②同理可得a混合＜a乙； 故答案为：＜； （3）设用8%的糖水5kg，24%的糖水3kg，向混合糖水中加入糖mg， 根据题意得：15%， 解得mk， 经检验，mk是方程的解， ∴， ∴加入糖的质量与原混合糖水总质量的比为 1 学科网（北京）股份有限公司 $