专题8分式易错必刷题型专项训练 2025-2026学年苏科版八年级下册数学期末复习专项

**基本信息** 聚焦分式19类高频易错题型，以“易错点+解题技巧”构建方法体系，知识逻辑从概念性质到运算方程再到实际应用，层层递进，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念类（4类）|分式有无意义等|分母限制条件分析，分子分母关系判断|从分式定义出发，构建概念理解基础| |性质类（2类）|分式值变化等|分离常数法，基本性质应用|概念延伸至性质，发展抽象能力| |运算类（4类）|混合运算等|分步化简，符号规则强化|性质应用于运算，提升运算能力| |方程类（4类）|解分式方程等|增根与无解分类讨论，检验步骤|运算拓展至方程，培养推理意识| |应用类（5类）|行程工程等|实际场景建模，核心公式应用|方程解决实际问题，体现模型意识|

专题8 分式易错必刷题型专项训练 【温馨提示】本专题包含19类高频必考题型，学生常出现概念混淆、运算符号出错、分母不为零忽略、方程漏检验、应用题建模错误等问题。本专题梳理各题型核心技巧，精准规避易错点，帮助学生掌握分式运算规则，熟练解决含参问题和实际应用题，攻克代数核心难点。 题型1 分式有无意义的条件 题型11 分式最值 题型2 分式值为零的条件 题型12 解分式方程 题型3 求分式值为正（负）数时未知数取值范围 题型13 根据分式方程的解的情况求值 题型4 求分式值为整数时未知数的整数值 题型14 分式方程无解问题 题型5 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型15 分式方程的行程问题 题型6 已知分式恒等式确定分子或分母 题型16 分式方程的工程问题 题型7 分式加减混合运算 题型17 分式方程的经济问题 题型8 分式乘除混合运算 题型18 分式方程和差倍分问题 题型9 分式加减乘除混合运算 题型19 分式方程的其它实际问题 题型10 分式化简求值 题型1 分式有无意义的条件 易错点：混淆分子分母取值要求；忽略多个分母、因式分母的限制条件；二次根式与分式结合题型遗漏条件。 解题技巧：分式有意义：分母≠0；分式无意义：分母=0；与分子取值无关；多个因式分母需保证所有因式均不为0，联立不等式求解取值范围。 1．若分式无意义，则的值是（   ） A．4 B．3 C．0 D． 2．若分式无意义，则__________． 3．代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．当分式有意义时，满足的条件是________． 题型2 分式值为零的条件 易错点：只令分子为0，忽略分母不为0的核心条件；求出值后不检验，导致增根。 解题技巧：分式值为0需同时满足：分子=0且分母≠0；先解分子为0的方程，再剔除使分母为0的根，剩余数值即为有效解。 5．若分式的值为0，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．2 6．分式的值为0，则x的值是（    ） A． B．0 C．2 D．2或 7．若分式的值为零，则______． 8．若分式的值为0，则实数x的值为______． 题型3 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 易错点：忘记分母不为0；正负取值不等式组列写错误；不等号方向出错。 解题技巧：分式值为正：分子分母同正或同负；分式值为负：分子分母一正一负；分类列不等式组求解，全程附加分母≠0的限制条件。 9．分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 10．已知分式的值是非负数，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 11．当_____时，分式的值为负数． 12．若分式的值为正数，则x的取值范围是___________． 题型4 求分式值为整数时未知数的整数值 易错点：未对分式分离常数；遗漏正负因数；忽略分母不为0。 解题技巧：先对分式变形，分离常数，简化为“常数+简单分式”结构；令分母为分子余数的所有整数因数（含正负）；逐一验证，排除分母为0的取值。 13．已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 14．当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（   ） A．2 B．0 C． D．0或 15．已知分式的值为整数，若是非负整数，则的值是_____． 16．当正整数________时，分式的值也为整数． 题型5 利用分式的基本性质判断分式值的变化 易错点：混淆分式基本性质，分子分母加减、乘除混用；整体缩放规律判断错误。 解题技巧：分式基本性质：分子分母同乘（除）非零整式，分式值不变；加减变形分式值一定改变；遇字母缩放问题，代入倍数替换，化简对比原分式值。 17．若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 18．分式中字母的符号如图所示，任意改变其中的两个符号，分式的值不变的是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 19．根据分式的基本性质填空： （1）；括号内应填入：_________； （2）；括号内应填入：_________． 20．若分式中x、y均扩大为原来的n倍，分式的值变为原来的5倍，则n的值是 _____． 题型6 已知分式恒等式确定分子或分母 易错点：等式变形时漏乘、漏项；系数对应错误；忽略恒成立条件。 解题技巧：利用分式恒等则交叉相乘后多项式恒等；展开等式两边，对比同类项系数，求解未知项；验证取值保证分母有意义。 21．若，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 22．在八年级上册数学课本第148页，探讨了，根据公式若有，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 23．已知，则______， ______． 24．无论取何值，分式的值始终保持不变（分母不为零），则的值为______． 题型7 分式加减混合运算 易错点：通分找错最简公分母；去括号符号出错；分母不变分子加减规则混淆。 解题技巧：异分母分式先找最简公分母通分；同分母分式直接分子相加减，分母不变；减式为多项式时，整体加括号，逐项变号，最后约分至最简。 25．计算： (1)． (2)． 26．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 27．先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式； 第二个等式； 第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第六个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第个等式（为正整数）； (3)对于任何实数，表示不超过的最大整数，如，，计算：的值． 28．综合与实践：分式与糖水浓度． 数学活动：溶液的质量百分比浓度 素材一 溶液由溶质和溶剂组成，溶液的质量百分比浓度，其中，溶液质量溶质质量溶剂质量．例如，糖水是一种溶液，它由糖和水组成，其中糖为溶质，水为溶剂．10g糖溶于90g水，得到的糖水的质量百分比浓度为10％． 素材二 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 根据以上材料，分别完成下列的问题． (1)计算溶液浓度： 用数学知识解释：设原来的糖水中水的质量是克，糖的质量为克，假设糖均能完全溶于水．则糖水的质量百分比浓度为． ①如果在原糖水中加入克水，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变淡，可以得到不等式①________； ②如果在原糖水中加入克糖，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变甜，可以得到不等式②________． (2)证明：当，，时，证明任务（1）中的不等式② (3)结论运用：请运用（1）的两个不等式证明：若，，，则． 题型8 分式乘除混合运算 易错点：乘除顺序混乱；未先因式分解直接约分；随意约去加减项。 解题技巧：除法变乘法，除以一个分式等于乘它的倒数；所有分子分母先因式分解，再交叉约分；仅可约去乘积项，不可约去加减项。 29．计算： (1)； (2)； (3)． 30．计算： (1)； (2)． 31．计算： (1) (2)． 32．计算： (1)； (2)． 题型9 分式加减乘除混合运算 易错点：运算顺序错误，先加减后乘除；括号运算优先级忽略；约分、符号频繁出错。 解题技巧：遵循运算顺序：先乘除、后加减，有括号先算括号内；每一步运算及时化简、约分；复杂式子分步计算，避免一步到位出错。 33．化简：． 34．化简：． 35．下面是小超同学化简的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 ．…………第四步 (1)以上化简步骤中，从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是____________． (2)请直接写出该式子化简后的正确结果，并从，，1中选择一个合适的数代入求值． 36．在数学课上，老师出了一道题目，并展示了嘉嘉的解题过程． 化简： 原式．第一步 ．第二步 ．第三步 ．第四步 (1)嘉嘉的解题步骤中所有错误步骤是： ； (2)请写出正确的解答过程，并从3，，这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值． 题型10 分式化简求值 易错点：未化简直接代入计算；化简过程出错；代入数值忽略分式有意义条件。 解题技巧：先完整化简分式至最简形式，再代入求值；代入前检验数值，保证所有分母、除式不为0；遇整体代入题型，优先整体变形，不单独求字母值。 37．先化简，再求值：，其中． 38．已知，求代数式的值． 39．先化简，再从中选一个适合的整数代入求值． 40．先化简，再求值：，其中． 题型11 分式最值 易错点：不会分离常数构造最值结构；忽略自变量取值范围；最值判断失误。 解题技巧：分式最值优先分离常数，转化为反比例型结构；结合自变量取值范围，分析分式增减性；排除无意义取值，确定最大、最小值。 41．已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 42．分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 43．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 44．材料一：假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式的和的形式，例如：； (1)根据以上思路，解决问题：将分式化为整式与分式和的形式为____________ 材料二：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设 则， ∵对于任意x上述等式成立， ，解得：， ， 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为____________； (3)已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； (4)当时，分式的最小值为____________． 题型12 解分式方程 易错点：去分母时常数项漏乘公分母；忘记检验增根；移项符号出错。 解题技巧：步骤标准化：去分母→去括号→移项合并→系数化1→检验；所有项（含常数项）统一乘最简公分母；解后必须检验，使分母为0的根为增根，方程无解。 45．解分式方程：． 46．解方程：． 47．解方程：． 48．解方程： (1) (2)． 题型13 根据分式方程的解的情况求值 易错点：忽略解为正数、负数时的分母限制；遗漏参数取值范围；增根与有效根混淆。 解题技巧：先解含参分式方程，用参数表示未知数；根据解的正负、整数等条件列不等式；剔除使方程产生增根的参数值，确定取值范围。 49．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A．1 B．1或 C． D．或 50．若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 51．已知关于的分式方程的解为正数，则m的取值范围是______． 52．已知关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数的值为________． 题型14 分式方程无解问题 易错点：只考虑增根无解，忽略整式方程本身无解的情况；参数求解不全面。 解题技巧：分式方程无解分两种情况：①整式方程有解，但为增根；②整式方程本身无解；分情况讨论，联立求解所有符合条件的参数值。 53．已知关于x的分式方程无解，则m的值是（    ） A． B．1 C．或2 D．或 54．已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 55．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若该方程无解，求实数的值． 56．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且）则称点为点P的“系雅培点”；例如：的“3系雅培点”为，即． (1)点的“2系雅培点”，则的坐标为 ； (2)已知点在第四象限，且满足，点A是点的“系雅培点”； ①求m与n之间的数量关系； ②若分式方程无解，求的值． 题型15 分式方程的行程问题 易错点：速度、时间、路程关系混淆；单位不统一；等量关系列错。 解题技巧：牢记核心公式：路程=速度×时间；根据时间差、速度差找等量关系；统一路程、速度单位，设未知数后列分式方程，解后双检验（方程+实际意义）。 57．小阳与小红两人周末去广阳岛骑行，小阳的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小阳骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 58．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题可译为：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为里/天，则可列方程：________． 59．贵州省某初中科技社团甲、乙两个小组各制作了两台遥控小车，分别命名为“天眼号”和“花江号”，在跑道测试中，两车从起点同时出发，已知“天眼号”的速度比“花江号”的速度快，当“天眼号”到达终点时，“花江号”离终点还差． (1)求两车的速度； (2)甲队的同学认为：既然“天眼号”到达终点时，“花江号”距离终点，那么“天眼号”从原起点向后退作为新起点出发，“花江号”从原起点出发，通过这样的操作，两车就能同时出发，且同时到达终点，你赞同甲队同学的看法吗？通过计算说明理由． 60．列方程解下列问题： 马拉松是一项长跑比赛项目，其比赛长度为公里（本题以42公里计算）． (1)据统计，某市今年马拉松的参赛人数较去年增加了，今年与去年共有万人参赛，那么今年与去年的参赛人数各是多少？ (2)甲、乙两人均为该市今年马拉松比赛参赛者，甲平均每小时比乙多跑2公里，且乙跑完全程所用时间是甲的倍，求甲、乙两人全程的平均速度． 题型16 分式方程的工程问题 易错点：工作效率、工作时间关系混乱；忽略合作、单独做的区别。 解题技巧：设总工作量为1，工作效率=1÷工作时间；根据“单独工作量+合作工作量=总工作量”列等量关系；准确区分单人效率、合作效率。 61．某工厂新引进一批电子产品，乙工人比甲工人每小时少搬运件电子产品，已知甲工人搬运件电子产品所用的时间与乙工人搬运件电子产品所用的时间相同．若设甲工人每小时搬运件电子产品，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 62．我省特种钢技术全国领先，某企业生产A，B两种规格的手撕钢成品．已知生产B规格手撕钢所用的时间是生产A规格手撕钢所用时间的1.5倍，该企业用生产A规格手撕钢的数量比用生产B规格手撕钢的数量多．设该企业生产A规格的手撕钢需要，则根据题意，可列方程为__________． 63．为响应国家“发展新质生产力”的号召，某高科技公司计划将一批工业机器人投入智能化生产线．已知旧生产线由工人操作，每天生产的产品数量是固定的；新生产线由机器人操作，其生产效率比旧生产线高．若先用旧生产线单独工作3天，剩下的由新生产线单独完成，则总共需要9天才能完成该订单． 根据以上信息，解答下列问题： (1)旧生产线单独完成这批订单需要多少天？ (2)现计划由旧生产线、新生产线共同完成这批订单，若旧生产线每天所需费用为万元，新生产线每天所需费用为2万元，求在总费用不超万元的情况下，公司最多安排新生产线工作多少天？ 64．为缩短两江新区与武隆之间的距离，武隆凤来大溪河特大桥正在建设中，甲、乙两个工程队承建了该项目中的一段2400米的桥梁施工任务．计划现由甲工程队单独施工6个月后，剩下的施工任务由甲、乙两个工程队合作2个月完成，已知甲工程队每月的施工量比乙工程队每月的施工量多200米． (1)甲、乙两工程队每月各计划施工多少米？ (2)在实际施工中，甲工程队先单独施工了若干个月后，被调往其它工程项目，剩下的施工任务由乙工程队单独完成，甲、乙工程队共用10个月完成了该项目，若这段道路施工任务的总施工费用是420万元，已知乙工程队的总施工费用为120万元，甲工程队每月的施工费用是乙工程队每月施工费用的倍，则甲工程队每月的施工费用是多少万元？ 题型17 分式方程的经济问题 易错点：单价、总价、数量关系混淆；价格涨跌、优惠条件理解偏差。 解题技巧：核心公式：数量=总价÷单价；根据价格变化、数量变化的差值找等量；结合实际场景，取值为正整数，排除无意义解。 65．李老师去文具店购买学习用品．他先用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本若干本．已知所买绘画本的单价是笔记本单价的1.5倍，李老师所买笔记本比绘画本多2本．设购买一本笔记本需x元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 66．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，款哪吒玩偶单价是款哪吒玩偶的2倍．、两款玩偶的单价分别是多少元？设款哪吒玩偶的单价是元．可列方程___________． 67．某学校为了全面落实劳动教育，决定开设校园劳动基地．现计划购买甲、乙两种劳动工具．已知甲种工具的单价比乙种工具的单价少10元，且用300元购买甲种工具的数量与用500元购买乙种工具的数量相等． (1)求甲、乙两种工具的单价． (2)若该校计划购买甲、乙两种工具共80件，且甲种工具的数量不超过乙种工具数量的3倍．求购买这批劳动工具所需的最低费用． 68．近期，曹魏古城“夜经济”持续火爆，某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．求两种型号玩具的单价各是多少元? (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：；乙：． 则甲所列方程中的表示________，乙所列方程中的表示________； (2)从甲、乙两种方法中选择一种进行完整解答； (3)该经营者准备以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，总费用不超过1350元，则最多可购进A型玩具多少个? 题型18 分式方程和差倍分问题 易错点：倍数、和差关系理解颠倒；未知数设取不合理导致列式复杂。 解题技巧：找准题目中“多、少、倍、分”核心关系；优先设标准量为未知数，根据数量差值列分式方程；化简求解后检验实际意义。 69．智能机器人产业发展迅猛，某公司研制出A、B两种搬运机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同．则A型机器人每小时搬运的材料为（   ） A． B． C． D． 70．为提升作业批改效率，张老师使用智能批改系统辅助批改数学作业．使用该系统后平均每小时批改的题目数是原来平均每小时批改的题目数的1.5倍，且批改120道题目所用时间比原来节省了2小时，求张老师原来平均每小时批改多少道题目．设张老师原来平均每小时批改x道题目，根据题意列方程为_________． 71．从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续多年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破近20万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进．某公司计划购买，两种型号的机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且型机器人搬运材料所用的时间与型机器人搬运材料所用的时间相同． (1)求，两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； (2)该公司计划采购，两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进型机器人多少台？ 72．请同学们根据以下表格中的素材一、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三． 合理规划校园文创市集场地 素材一 某校学生会为举办校园文创市集，划分出一块长方形活动区域，长为，宽为（其中）．去年市集共售出480件文创产品，由甲、乙两组志愿者负责售卖． 素材二 甲组售卖速度是乙组的1.2倍，且甲组单独售完所有产品比乙组单独售完所有产品少用20分钟． 素材三 今年从该区域中划出一个边长为的正方形地块作为“盲盒抽取区”，其余部分作为“手工体验区”（如图）．“盲盒抽取区”共吸引360人次参与互动，“手工体验区”共接待240人次．    问题解决 (1)若甲、乙两组单独售完所有文创产品，求甲、乙两组每分钟各售卖多少件产品？ (2)“盲盒抽取区”和“手工体验区”哪一区域的平均单位面积人流量更高？并说明理由． (3)现计划将该区域扩建，长增加，宽增加．若扩建后的面积是原来面积的倍．直接写出的取值范围． 题型19 分式方程的其它实际问题 易错点：无法提炼等量关系；忽略实际问题取值限制（正数、整数）。 解题技巧：通读题干，梳理两组对应数量的变化关系；转化为分式方程模型求解；所有解必须符合实际场景，无效解直接舍去。 73．某生产队承接了240亩地的复合种植任务，为了完成任务，引入新型机械种植，实际工作效率比原来提高了，结果提前3天完成任务．设原计划每天种植的面积为x亩地，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 74．爱好摄影的小冀正在学习调节老式胶片相机的光圈，在镜头焦距一定的条件下，光圈孔径直径D（单位：）与光圈系数F的关系式为，小冀分别使用了甲、乙两种不同的光圈设置进行拍摄，已知乙设置下的光圈系数是甲设置下的2倍，且甲设置下的光圈孔径直径比乙设置下的大，则甲设置下的光圈系数为_______． 75．分拣机器人是一种应用于物流、快递、制造业等领域的智能工业设备，核心配置包括传感器、物镜和电子光学系统，为企业带来了勃勃生机．某公司仓库选用了甲、乙两种型号的分拣机器人，已知甲型机器人比乙型机器人每小时多分拣快递200件，且甲型机器人分拣9000件快递所用时间与乙型机器人分拣8000件所用时间相等．求甲、乙两种型号的分拣机器人每小时分拣快递的数量． 76．2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水． (1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水； (2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 售价（元） 1400 2300 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8 分式易错必刷题型专项训练 【温馨提示】本专题包含19类高频必考题型，学生常出现概念混淆、运算符号出错、分母不为零忽略、方程漏检验、应用题建模错误等问题。本专题梳理各题型核心技巧，精准规避易错点，帮助学生掌握分式运算规则，熟练解决含参问题和实际应用题，攻克代数核心难点。 题型1 分式有无意义的条件 题型11 分式最值 题型2 分式值为零的条件 题型12 解分式方程 题型3 求分式值为正（负）数时未知数取值范围 题型13 根据分式方程的解的情况求值 题型4 求分式值为整数时未知数的整数值 题型14 分式方程无解问题 题型5 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型15 分式方程的行程问题 题型6 已知分式恒等式确定分子或分母 题型16 分式方程的工程问题 题型7 分式加减混合运算 题型17 分式方程的经济问题 题型8 分式乘除混合运算 题型18 分式方程和差倍分问题 题型9 分式加减乘除混合运算 题型19 分式方程的其它实际问题 题型10 分式化简求值 题型1 分式有无意义的条件 易错点：混淆分子分母取值要求；忽略多个分母、因式分母的限制条件；二次根式与分式结合题型遗漏条件。 解题技巧：分式有意义：分母≠0；分式无意义：分母=0；与分子取值无关；多个因式分母需保证所有因式均不为0，联立不等式求解取值范围。 1．若分式无意义，则的值是（   ） A．4 B．3 C．0 D． 【答案】B 【详解】解：∵分式无意义 ∴分式的分母为0，即 解得 2．若分式无意义，则__________． 【答案】2 【详解】解：根据分式无意义，则分母为0，可得， 解得． 3．代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分式分母不为零的性质列不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 4．当分式有意义时，满足的条件是________． 【答案】 【分析】分式有意义的条件是分母不为零，根据条件列不等式求解即可． 【详解】解：分式有意义， 分母， 解得． 题型2 分式值为零的条件 易错点：只令分子为0，忽略分母不为0的核心条件；求出值后不检验，导致增根。 解题技巧：分式值为0需同时满足：分子=0且分母≠0；先解分子为0的方程，再剔除使分母为0的根，剩余数值即为有效解。 5．若分式的值为0，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】分式值为0需同时满足分子等于0，分母不等于0，据此计算求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0 ∴且 解得， 当时，，满足条件 因此． 6．分式的值为0，则x的值是（    ） A． B．0 C．2 D．2或 【答案】C 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， 解，得或， 由，得， ∴． 7．若分式的值为零，则______． 【答案】 【分析】分式的值为零需满足分子为零，同时分母不为零，据此计算求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 解得， 由得， ∴． 故答案为． 8．若分式的值为0，则实数x的值为______． 【答案】 【分析】根据分式值为的条件，即分子等于，分母不为，计算即可． 【详解】解：由题意得 且 ， 由 解得 ， 由 ，因式分解得， 解得 或 ，不符合分母不为的条件，舍去， 所以实数的值为． 题型3 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 易错点：忘记分母不为0；正负取值不等式组列写错误；不等号方向出错。 解题技巧：分式值为正：分子分母同正或同负；分式值为负：分子分母一正一负；分类列不等式组求解，全程附加分母≠0的限制条件。 9．分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 本题需根据分式值为正数的符号法则，结合分母不为0的限制条件求解； 【详解】解：∵分式的值为正数， 又∵（分母不能为0，故）， ∴分子 解不等式： 两边同时除以，不等号方向改变，得 综上，且； 故选：B； 10．已知分式的值是非负数，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查分式值的正负性，解一元一次不等式等知识点，若对于分式（）时，说明分子、分母同号；分式（）时，分子、分母异号． 根据分式的值是非负数，分母恒为正数，因此只需分子是非负数即可． 【详解】解：∵，的值是非负数， ∴，即． ∴的取值范围是． 故选：B． 11．当_____时，分式的值为负数． 【答案】 【分析】先判断分式分母的取值范围，再根据分式值为负数的条件，得到分子的不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】解：对于任意实数，都有， ，即分母恒为正数． 若分式的值为负数， 则分子小于， 即， 解得． 12．若分式的值为正数，则x的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据分式值为正数可确定分母为负数，由此求解即可． 【详解】解：因为分式的值为正数， 而分子为是负数，可知分母为负数， 即，解得， 的取值范围是． 题型4 求分式值为整数时未知数的整数值 易错点：未对分式分离常数；遗漏正负因数；忽略分母不为0。 解题技巧：先对分式变形，分离常数，简化为“常数+简单分式”结构；令分母为分子余数的所有整数因数（含正负）；逐一验证，排除分母为0的取值。 13．已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先对分式分离常数变形，根据分式值为整数，得到是的因数，结合是正整数的条件找出所有符合要求的，再计算它们的和即可。 【详解】解：∵ ， ∵分式的值为整数，为正整数，分式有意义要求， ∴为整数，即是的因数，若为负因数，则对应为非正整数，不符合要求，舍去， ∴的可取值为， 对应得 所有符合条件的的值的和为 ． 14．当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（   ） A．2 B．0 C． D．0或 【答案】C 【分析】先确定x的取值范围，再根据分式有意义的条件排除无意义的取值，化简分式后根据结果为整数的条件分析计算，即可得到最终结果． 熟练掌握分式的值为整数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义． 【详解】解：由题意得，x是不超过6的正整数，因此x的可能取值为， 又， ∵分式有意义时，分母不为0， ∴， 得且，排除， ∵分式结果为整数， ∴为整数， 又x是正整数， 因此x是3的正因数， 或， 又由分式有意义的条件可知， ， 代入化简后的分式得， 因此分式的整数值是． 15．已知分式的值为整数，若是非负整数，则的值是_____． 【答案】或 【分析】先利用完全平方公式对已知分式进行变形，然后结合分式的值为整数和是非负整数，求得的取值． 【详解】解： 分式的值为整数， 或， 或， 是非负整数， 或． 16．当正整数________时，分式的值也为整数． 【答案】1 【分析】本题考查分式的值为整数的参数求解，核心方法为分离常数法，将分式拆分为整式和分子为常数的最简分式，解题的关键是利用”除数为被除数的约数”确定参数的可能取值，再结合参数的取值范围筛选出符合题意的解．先对分式进行恒等变形，化为整式与最简分式的和，根据分式的值为整数，得到是2的正约数，结合为正整数的条件求解． 【详解】解：对分式变形： 分式的值为整数，为正整数， 为整数，即是2的正约数． 2的正约数为1,2， 当时，解得, 符合正整数题意： 当时，解得, 不是正整数，舍去． 故答案为：1． 题型5 利用分式的基本性质判断分式值的变化 易错点：混淆分式基本性质，分子分母加减、乘除混用；整体缩放规律判断错误。 解题技巧：分式基本性质：分子分母同乘（除）非零整式，分式值不变；加减变形分式值一定改变；遇字母缩放问题，代入倍数替换，化简对比原分式值。 17．若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意将扩大后的x，y代入分式，化简后结合原分式的值即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 将x，y都扩大3倍后，得到新分式： ． 18．分式中字母的符号如图所示，任意改变其中的两个符号，分式的值不变的是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】D 【详解】解：因为分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式的值不变， 所以同时改变③（分式本身的符号）和④（分母的符号），分式的值不变． 19．根据分式的基本性质填空： （1）；括号内应填入：_________； （2）；括号内应填入：_________． 【答案】 b 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变是解题的关键，根据分式的变化，利用分式基本性质即可求解． 【详解】解：（1）已知等式右边分母 ，且，根据分式的基本性质，给分子分母同乘，得 因此括号内应填入． （2）对等式左边分子因式分解得，变形后分子为，即分子除以，且，根据分式的基本性质，给分子分母同除以，得 因此括号内应填入． 20．若分式中x、y均扩大为原来的n倍，分式的值变为原来的5倍，则n的值是 _____． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质解决此题． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴． 题型6 已知分式恒等式确定分子或分母 易错点：等式变形时漏乘、漏项；系数对应错误；忽略恒成立条件。 解题技巧：利用分式恒等则交叉相乘后多项式恒等；展开等式两边，对比同类项系数，求解未知项；验证取值保证分母有意义。 21．若，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式加法运算，利用异分母分式加法运算法则计算等式右边，比较分子系数即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， 故的值为3． 故选：A． 22．在八年级上册数学课本第148页，探讨了，根据公式若有，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式分解和代数式求值，关键是通过因式分解应用分式减法公式确定参数值． 将分母 因式分解后，利用分式减法公式分解为 ，从而确定 和 的值，再计算 ． 【详解】解：∵ ， ∴ 又 ∵ ∴ ， 比较得 ， ∴ ， ， ∴ ， 故选：B. 23．已知，则______， ______． 【答案】 【分析】先对等式右侧通分，利用左右两侧分子相等得到关于A、B的方程组，解方程组即可得到结果． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 解得：． 24．无论取何值，分式的值始终保持不变（分母不为零），则的值为______． 【答案】 【分析】分式值恒为常数，可设该值为常数，整理等式后利用多项式对任意恒成立时对应系数相等求解即可. 【详解】解：∵无论取何值，分式的值始终保持不变， ∴设（为常数）， 等式两边同乘，得 ， 整理得 ， ∵该等式对任意恒成立， ∴多项式对应系数相等，即， 且 题型7 分式加减混合运算 易错点：通分找错最简公分母；去括号符号出错；分母不变分子加减规则混淆。 解题技巧：异分母分式先找最简公分母通分；同分母分式直接分子相加减，分母不变；减式为多项式时，整体加括号，逐项变号，最后约分至最简。 25．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 26．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式加减法的混合运算，理解通分的运算法则，分式的加减法运算法则是解答关键． （1）先通分，再利用分式加减法运算法则求解； （2）先通分，再利用分式加减法运算法则求解； （3）先通分，再利用分式减法运算法则求解； （4）先变号，再通分，再利用分式减法运算法则求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ． 27．先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式； 第二个等式； 第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第六个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第个等式（为正整数）； (3)对于任何实数，表示不超过的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解． 【详解】（1）解：∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式， ∴根据规律可猜测第六个等式为． （2）解：根据（1）总结规律可得：第个等式为． （3）解：根据规律可化简 ． 28．综合与实践：分式与糖水浓度． 数学活动：溶液的质量百分比浓度 素材一 溶液由溶质和溶剂组成，溶液的质量百分比浓度，其中，溶液质量溶质质量溶剂质量．例如，糖水是一种溶液，它由糖和水组成，其中糖为溶质，水为溶剂．10g糖溶于90g水，得到的糖水的质量百分比浓度为10％． 素材二 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 根据以上材料，分别完成下列的问题． (1)计算溶液浓度： 用数学知识解释：设原来的糖水中水的质量是克，糖的质量为克，假设糖均能完全溶于水．则糖水的质量百分比浓度为． ①如果在原糖水中加入克水，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变淡，可以得到不等式①________； ②如果在原糖水中加入克糖，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变甜，可以得到不等式②________． (2)证明：当，，时，证明任务（1）中的不等式② (3)结论运用：请运用（1）的两个不等式证明：若，，，则． 【答案】(1)①，；②，； (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据浓度公式即可得到答案； （2）先求出，再证明，即可得到结论； （3）由（1）得到，，即可得到结论． 【详解】（1）解：①根据题意得，糖水的质量百分比浓度变为， 因为糖水变淡，可以得到不等式① ②根据题意得，糖水的质量百分比浓度变为， 因为糖水变甜，可以得到不等式②； （2）证明： 当，，时，，，， ， ，即， ； （3）证明：，，， 由（1）得，，， ， ， ； ，，， ， ， ， ． 题型8 分式乘除混合运算 易错点：乘除顺序混乱；未先因式分解直接约分；随意约去加减项。 解题技巧：除法变乘法，除以一个分式等于乘它的倒数；所有分子分母先因式分解，再交叉约分；仅可约去乘积项，不可约去加减项。 29．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2 (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 30．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】按照分式混合运算的顺序计算．先算乘方．再算乘除．有括号先计算括号内的．最后约分得到最简结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： 31．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）先将乘除混合运算统一为乘法运算，结合因式分解进行约分计算即可； （2）先计算括号内异分母分式的加法，再将除法转化为乘法，继而约分即可得． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ． 32．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了分式的乘除运算，负整数指数幂； （1）先算乘方，再化简求出即可； （2）首先将分子与分母因式分解，再利用分式除法运算法则进而化简求出即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 题型9 分式加减乘除混合运算 易错点：运算顺序错误，先加减后乘除；括号运算优先级忽略；约分、符号频繁出错。 解题技巧：遵循运算顺序：先乘除、后加减，有括号先算括号内；每一步运算及时化简、约分；复杂式子分步计算，避免一步到位出错。 33．化简：． 【答案】 【详解】解： ． 34．化简：． 【答案】 【详解】解： 35．下面是小超同学化简的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 ．…………第四步 (1)以上化简步骤中，从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是____________． (2)请直接写出该式子化简后的正确结果，并从，，1中选择一个合适的数代入求值． 【答案】(1)二；通分时第二个分式的分子未乘，不符合分式的基本性质 (2)， 【分析】（1）先理解题意，观察解题过程，发现从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是通分时第二个分式的分子未乘，即可作答． （2）先理解题意，再通分，然后运算乘法化简，得，结合分式有意义，把代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：观察解题过程，得出从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是通分时第二个分式的分子未乘，不符合分式的基本性质． （2）解： ， ∵ ∴， 把代入，得． 36．在数学课上，老师出了一道题目，并展示了嘉嘉的解题过程． 化简： 原式．第一步 ．第二步 ．第三步 ．第四步 (1)嘉嘉的解题步骤中所有错误步骤是： ； (2)请写出正确的解答过程，并从3，，这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值． 【答案】(1)第一步和第二步 (2)见解析，当时，原式 【分析】（1）第一步加法运算出错，第二步因式分解出错； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代入一个使分式有意义的值计算即可． 【详解】（1）解：嘉嘉的解题步骤中所有错误步骤是：第一步和第二步； （2）解： ， 当时，原式． 题型10 分式化简求值 易错点：未化简直接代入计算；化简过程出错；代入数值忽略分式有意义条件。 解题技巧：先完整化简分式至最简形式，再代入求值；代入前检验数值，保证所有分母、除式不为0；遇整体代入题型，优先整体变形，不单独求字母值。 37．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 38．已知，求代数式的值． 【答案】 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 39．先化简，再从中选一个适合的整数代入求值． 【答案】，当时，原式 【详解】解： ， ∵，， ∴，，， ∴当时，原式． 40．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先对原式中的多项式因式分解，再计算括号内的异分母分式加法，最后约分得到最简结果，代入的取值计算即可得到答案． 【详解】解：原式， 将代入得原式． 题型11 分式最值 易错点：不会分离常数构造最值结构；忽略自变量取值范围；最值判断失误。 解题技巧：分式最值优先分离常数，转化为反比例型结构；结合自变量取值范围，分析分式增减性；排除无意义取值，确定最大、最小值。 41．已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查基本不等式的运用，掌握基本不等式公式是解题的关键． 先将原式拆分并化简，再利用正实数的基本不等式（当且仅当时取等号）求解最小值． 【详解】解：∵，为正实数， ∴原式可拆分化简为：， ∵正实数，满足， 令，， 则， 当且仅当，即时取等号， ∴， 即原式的最小值为9， 故选D． 42．分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的最值，利用完全平方公式，求出分母的最小值，进而求出分式的最大值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴的最小值为4， ∴分式的最大值是； 故选：C． 43．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 【答案】 3+ 3 【分析】此题考查分式的变形计算，分式的四则混合运算，同分母分式加法逆运算． （1）将分子化为分母的倍数与常数的和，然后拆分分式； （2）先将分式化为整式与常数分子的分式的和，再利用分母求最小值． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，分式取得最小值3． 44．材料一：假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式的和的形式，例如：； (1)根据以上思路，解决问题：将分式化为整式与分式和的形式为____________ 材料二：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设 则， ∵对于任意x上述等式成立， ，解得：， ， 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为____________； (3)已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； (4)当时，分式的最小值为____________． 【答案】(1) (2) (3)满足条件的整数或2或16或 (4) 【分析】（1）根据题意，即可获得答案； （2）由分母，可设，进而可得，求解即可获得答案； （3）对于分式，由分母，可设，进而可得，求解可得，若整数x使分式的值为整数，则为整数，即或，进一步求解即可； （4）对于分式，由分母，可设，进而的，求解可得；令，则，当时，可知，当取最小值时，取最小值，据此进一步求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得：， ∴； （3）解：对于分式， 由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得：， ∴， ∵整数x使分式的值为整数， ∴为整数，即或， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴满足条件的整数或2或16或； （4）解：对于分式， 由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得：， ∴， 令，则， 当时，， ∴， 当取最小值时，取最大值，则取最小值， 此时取最小值， ∴当时，取最小值，此时， 即分式的最小值为． 题型12 解分式方程 易错点：去分母时常数项漏乘公分母；忘记检验增根；移项符号出错。 解题技巧：步骤标准化：去分母→去括号→移项合并→系数化1→检验；所有项（含常数项）统一乘最简公分母；解后必须检验，使分母为0的根为增根，方程无解。 45．解分式方程：． 【答案】 【详解】解：， 原方程可变为：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 46．解方程：． 【答案】 【详解】解： ． ， ， ． 经检验：是原分式方程的根． 47．解方程：． 【答案】 2 【详解】解：， 等式两边同乘以，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 检验：将代入最简公分母中，最简公分母不为， ∴是原方程的解． 48．解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（1）（2）先将分式方程去分母转化为整式方程，再进行求解整式方程，最后进行检验即可． 【详解】（1）解： 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解： 解得， 检验：当时，， ∴原方程无解． 题型13 根据分式方程的解的情况求值 易错点：忽略解为正数、负数时的分母限制；遗漏参数取值范围；增根与有效根混淆。 解题技巧：先解含参分式方程，用参数表示未知数；根据解的正负、整数等条件列不等式；剔除使方程产生增根的参数值，确定取值范围。 49．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A．1 B．1或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据分式方程增根的定义，先确定增根的取值，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值. 【详解】∵原分式方程有增根， ∴最简公分母，解得增根为， 方程两边同乘去分母，得： ， 整理得： ， 将增根代入上式，得： ， 解得． 50．若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查分式方程无解的问题，分式方程无解分两种情况：①整式方程本身无解；②整式方程的解为分式方程的增根，先将分式方程化为整式方程，再分两种情况计算的值即可． 【详解】解：原方程， 可变形为， 方程两边同乘去分母，得：， 整理得：， ∵原分式方程无解， ∴分两种情况讨论：① 当整式方程本身无解时，，解得； ② 当整式方程的解为原分式方程的增根时，原分式方程分母为，增根为， 把代入得：， 解得， 综上，的值为或． 51．已知关于的分式方程的解为正数，则m的取值范围是______． 【答案】且 【分析】根据分式方程解的情况求参数的取值范围，先解出分式方程的解，再根据解为正数且分式有意义列出不等式求解即可. 【详解】解：， 方程两边同乘得， ， 展开整理得， 解得：， 分式方程的解为正数，且分式有意义时分母不为， 且，即且， 解得且. 52．已知关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数的值为________． 【答案】5、4、2、1 【分析】利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由题意得到不等式；分式方程有可能产生使分母为0的增根，所以原方程的解不等于1，由以上两个条件即可得出答案． 【详解】解：去分母，得：， 移项，合并同类项，得：， ∵解为非负数， ∴， ∴， ∵原分式方程有可能产生增根， ∴， ∴， ∴正整数的值为5、4、2、1． 故答案为：5、4、2、1． 题型14 分式方程无解问题 易错点：只考虑增根无解，忽略整式方程本身无解的情况；参数求解不全面。 解题技巧：分式方程无解分两种情况：①整式方程有解，但为增根；②整式方程本身无解；分情况讨论，联立求解所有符合条件的参数值。 53．已知关于x的分式方程无解，则m的值是（    ） A． B．1 C．或2 D．或 【答案】D 【分析】由分式方程解法，先去分母得到，分类讨论求解整式方程，再由分式方程无解的条件列方程求解即可得到答案． 【详解】解：， ，则， 若，即时，整式方程无解，则分式方程无解； 若，即时，整式方程解为， 当，即时，则分式方程分母为0，分式方程无解； 综上所述，的值是或． 54．已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 【答案】或 【分析】先用a表示出分式方程的解，再根据分式的分母不为0，即可确定实数a的值． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件有：，，，即， 则当时，原分式方程无解， 令，解得：或， 当或时，原分式方程无解． 55．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若该方程无解，求实数的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（）先把原方程去分母并整理得，解得，然后把代入即可求解； （）根据方程无解可得，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：原方程去分母并整理得：， 整理得，，即， ∴当时，， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解是； （2）解：由（）知，所以要使原方程无解， 只需满足即可，解得或． 56．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且）则称点为点P的“系雅培点”；例如：的“3系雅培点”为，即． (1)点的“2系雅培点”，则的坐标为 ； (2)已知点在第四象限，且满足，点A是点的“系雅培点”； ①求m与n之间的数量关系； ②若分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)①；②2或 【分析】（1）根据新定义的运算法则，即可求出的坐标； （2）①根据点A是点的“系雅培点”，且点在第四象限，结合，即可求解；②由①可得出的值，代入方程，再根据分式方程无解，即可求出c的值． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴点P的“2系雅培点”的坐标为， ∴的坐标为． （2）解：①∵点A是点的“系雅培点”， 同理可得：点， ∵，故，即， ∵点A在第四象限，故， ∴． ②由①得，代入分式方程得， 整理得， 当时，方程无解； 当时，则， ∵该方程无解，即方程有增根为3， ∴，即， 解得， 综上所述，或． 题型15 分式方程的行程问题 易错点：速度、时间、路程关系混淆；单位不统一；等量关系列错。 解题技巧：牢记核心公式：路程=速度×时间；根据时间差、速度差找等量关系；统一路程、速度单位，设未知数后列分式方程，解后双检验（方程+实际意义）。 57．小阳与小红两人周末去广阳岛骑行，小阳的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小阳骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据小红的骑行速度表示出小阳的骑行速度，再根据等量关系列方程即可. 【详解】∵ 小红的骑行速度为，小阳的速度是小红速度的倍， ∴ 小阳的速度为， ∵ 两人各自骑行了，小阳骑行时间比小红少用了，且， ∴ 可得方程. 58．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题可译为：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为里/天，则可列方程：________． 【答案】 【分析】根据它们所需时间与规定时间的关系列方程即可． 【详解】解：设慢马的速度为里/天， 由题意可列方程：. 59．贵州省某初中科技社团甲、乙两个小组各制作了两台遥控小车，分别命名为“天眼号”和“花江号”，在跑道测试中，两车从起点同时出发，已知“天眼号”的速度比“花江号”的速度快，当“天眼号”到达终点时，“花江号”离终点还差． (1)求两车的速度； (2)甲队的同学认为：既然“天眼号”到达终点时，“花江号”距离终点，那么“天眼号”从原起点向后退作为新起点出发，“花江号”从原起点出发，通过这样的操作，两车就能同时出发，且同时到达终点，你赞同甲队同学的看法吗？通过计算说明理由． 【答案】(1)“天眼号”的速度是，“花江号”的速度是 (2)我不赞同甲队同学的看法，见解析 【分析】本题主要考查分式方程的应用，找准关系、准确列出方程是解题的关键． （1）设“天眼号”的速度是，则“花江号”的速度是，再列方程得，求解即可； （2）先根据题意求出两车的路程与所需的时间，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设“天眼号”的速度是，则“花江号”的速度是． 根据行驶时间相等，得，解得． 经检验，是原分式方程的解． ∴． 答：“天眼号”的速度是，“花江号”的速度是． （2）解：我不赞同甲队同学的看法． 理由：按甲队同学的操作，“天眼号”需行驶，“花江号”仍行驶，两车速度不变． ∴“天眼号”所用时间为，“花江号”所用时间为． ∵， ∴两车不能同时到达终点． 60．列方程解下列问题： 马拉松是一项长跑比赛项目，其比赛长度为公里（本题以42公里计算）． (1)据统计，某市今年马拉松的参赛人数较去年增加了，今年与去年共有万人参赛，那么今年与去年的参赛人数各是多少？ (2)甲、乙两人均为该市今年马拉松比赛参赛者，甲平均每小时比乙多跑2公里，且乙跑完全程所用时间是甲的倍，求甲、乙两人全程的平均速度． 【答案】(1)去年有3万人参赛，今年有万人参赛 (2)甲全程的平均速度是14公里/小时，乙全程的平均速度是12公里/小时 【分析】（1）设去年有万人参赛，则今年有万人参赛，根据“今年与去年共有万人参赛”列方程求解即可； （2）设甲全程的平均速度是公里/小时，则乙全程的平均速度是公里/小时，根据“甲平均每小时比乙多跑2公里，且乙跑完全程所用时间是甲的倍”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设去年有万人参赛，则今年有万人参赛， 根据题意得， 解得， ∴今年参赛的人数为（万人）， 答：去年有3万人参赛，今年有万人参赛； （2）解：设甲全程的平均速度是公里/小时，则乙全程的平均速度是公里/小时， 根据题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴乙全程的平均速度为（公里/小时）， 答：甲全程的平均速度是14公里/小时，乙全程的平均速度是12公里/小时． 题型16 分式方程的工程问题 易错点：工作效率、工作时间关系混乱；忽略合作、单独做的区别。 解题技巧：设总工作量为1，工作效率=1÷工作时间；根据“单独工作量+合作工作量=总工作量”列等量关系；准确区分单人效率、合作效率。 61．某工厂新引进一批电子产品，乙工人比甲工人每小时少搬运件电子产品，已知甲工人搬运件电子产品所用的时间与乙工人搬运件电子产品所用的时间相同．若设甲工人每小时搬运件电子产品，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设甲工人每小时搬运件电子产品，由题意可得乙工人每小时搬运件电子产品，再根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：∵设甲工人每小时搬运件电子产品，乙工人比甲工人每小时少搬运件， ∴乙工人每小时搬运件电子产品， ∵甲工人搬运件所用时间与乙工人搬运件所用时间相同， ∴可列方程为． 62．我省特种钢技术全国领先，某企业生产A，B两种规格的手撕钢成品．已知生产B规格手撕钢所用的时间是生产A规格手撕钢所用时间的1.5倍，该企业用生产A规格手撕钢的数量比用生产B规格手撕钢的数量多．设该企业生产A规格的手撕钢需要，则根据题意，可列方程为__________． 【答案】 【分析】设该企业生产A规格的手撕钢需要，则生产B规格的手撕钢需要，根据该企业用生产A规格手撕钢的数量比用生产B规格手撕钢的数量多，建立分式方程即可． 【详解】解：设该企业生产A规格的手撕钢需要，则生产B规格的手撕钢需要， 根据题意，得． 63．为响应国家“发展新质生产力”的号召，某高科技公司计划将一批工业机器人投入智能化生产线．已知旧生产线由工人操作，每天生产的产品数量是固定的；新生产线由机器人操作，其生产效率比旧生产线高．若先用旧生产线单独工作3天，剩下的由新生产线单独完成，则总共需要9天才能完成该订单． 根据以上信息，解答下列问题： (1)旧生产线单独完成这批订单需要多少天？ (2)现计划由旧生产线、新生产线共同完成这批订单，若旧生产线每天所需费用为万元，新生产线每天所需费用为2万元，求在总费用不超万元的情况下，公司最多安排新生产线工作多少天？ 【答案】(1)旧生产线单独完成整批订单需要12天 (2)公司最多安排新生产线工作4天 【分析】（1）设旧生产线单独完成整批订单需要x天，则旧生产线的工作效率为，结合题意可得，再进一步求解即可； （2）由（1）得旧生产线的工作效率为，新生产线的效率为，设公司安排新生产线工作天，则旧生产线工作天，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设旧生产线单独完成整批订单需要x天，则旧生产线的工作效率为 根据题意，新生产线的效率比旧生产线高，故新生产线的效率为， 旧线工作3天，新线工作（天）， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解． 答：旧生产线单独完成整批订单需要12天． （2）解：由（1）得旧生产线的工作效率为，新生产线的效率为， 设公司安排新生产线工作天，则旧生产线工作（天）， 根据题意，得， 解得， 答：公司最多安排新生产线工作4天． 64．为缩短两江新区与武隆之间的距离，武隆凤来大溪河特大桥正在建设中，甲、乙两个工程队承建了该项目中的一段2400米的桥梁施工任务．计划现由甲工程队单独施工6个月后，剩下的施工任务由甲、乙两个工程队合作2个月完成，已知甲工程队每月的施工量比乙工程队每月的施工量多200米． (1)甲、乙两工程队每月各计划施工多少米？ (2)在实际施工中，甲工程队先单独施工了若干个月后，被调往其它工程项目，剩下的施工任务由乙工程队单独完成，甲、乙工程队共用10个月完成了该项目，若这段道路施工任务的总施工费用是420万元，已知乙工程队的总施工费用为120万元，甲工程队每月的施工费用是乙工程队每月施工费用的倍，则甲工程队每月的施工费用是多少万元？ 【答案】(1)甲工程队计划施工280米，乙工程队计划施工80米 (2)50 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，分式方程的实际应用，能够正确把握题目中的等量关系是解题的关键． （1）根据题意可设乙工程队计划施工米，则甲工程队计算施工米，根据工作总量=工作时间工作效率，即可列式求解； （2）根据题意可设乙工程队每月施工费用为万元，则甲工程队每月施工费用为万元，根据工作时间=工作总量工作效率，即可列式求解． 【详解】（1）解：设乙工程队计划施工米，则甲工程队计算施工米， 由题意得，， 解之得， ， 则甲工程队计算施工280米，乙工程队计算施工80米； （2）解：设乙工程队每月施工费用为万元，则甲工程队每月施工费用为万元， 由题意得，， 解之得， 经检验符合题意， 则， 即甲工程队每月施工费用为50万元． 题型17 分式方程的经济问题 易错点：单价、总价、数量关系混淆；价格涨跌、优惠条件理解偏差。 解题技巧：核心公式：数量=总价÷单价；根据价格变化、数量变化的差值找等量；结合实际场景，取值为正整数，排除无意义解。 65．李老师去文具店购买学习用品．他先用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本若干本．已知所买绘画本的单价是笔记本单价的1.5倍，李老师所买笔记本比绘画本多2本．设购买一本笔记本需x元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据“数量=总价÷单价”，分别表示出笔记本和绘画本的购买数量，再根据“笔记本数量比绘画本多2本”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵设购买一本笔记本需元，绘画本单价是笔记本单价的倍， ∴绘画本的单价为元． ∵用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本， ∴笔记本数量为本，绘画本数量为本． ∵笔记本比绘画本多本， ∴可列方程为． 66．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，款哪吒玩偶单价是款哪吒玩偶的2倍．、两款玩偶的单价分别是多少元？设款哪吒玩偶的单价是元．可列方程___________． 【答案】 【分析】先根据题目给出的单价关系表示出A款玩偶的单价，再根据数量等于总金额除以单价的关系，分别表示出两款玩偶的购进数量，最后根据A款数量比B款少50个的等量关系列方程即可； 【详解】解：设B款哪吒玩偶的单价是元，则A款哪吒玩偶单价为元， 根据题意可得购进A款玩偶的数量为个，购进B款玩偶的数量为个， 因为购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，即B款数量减去A款数量等于50， 因此列方程得：． 67．某学校为了全面落实劳动教育，决定开设校园劳动基地．现计划购买甲、乙两种劳动工具．已知甲种工具的单价比乙种工具的单价少10元，且用300元购买甲种工具的数量与用500元购买乙种工具的数量相等． (1)求甲、乙两种工具的单价． (2)若该校计划购买甲、乙两种工具共80件，且甲种工具的数量不超过乙种工具数量的3倍．求购买这批劳动工具所需的最低费用． 【答案】(1) 甲种工具的单价是元，乙种工具的单价是元 (2) 购买这批劳动工具所需的最低费用是元 【分析】 （1）设甲种工具的单价为元，根据题意表示出乙种工具的单价，再根据两种工具购买数量相等列分式方程，求解检验后即可得到结果； （2）设购买甲种工具件，总费用为元，列出总费用关于的一次函数解析式，再根据甲种工具数量的限制条件列不等式求出的取值范围，利用一次函数的增减性即可求出最低费用. 【详解】（1） 解：设甲种工具的单价是元，则乙种工具的单价是元，依题意得 ，解得； 经检验：是原分式方程的解； 当时，； 答：甲种工具的单价是15元，乙种工具的单价是25元； （2）解：设购买甲种工具件，则购买乙种工具件，所需总费用为元，依题意得 ，， 解得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为（元）； 答：购买这批劳动工具所需的最低费用是1400元. 68．近期，曹魏古城“夜经济”持续火爆，某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．求两种型号玩具的单价各是多少元? (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：；乙：． 则甲所列方程中的表示________，乙所列方程中的表示________； (2)从甲、乙两种方法中选择一种进行完整解答； (3)该经营者准备以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，总费用不超过1350元，则最多可购进A型玩具多少个? 【答案】(1)B型玩具的单价；用元购进A型玩具的数量 (2)A型玩具单价为8元，B型玩具单价为5元 (3)最多可购进A型玩具116个 【分析】（1）根据所列方程即可判断出的意义； （2）任意选择一种方法解答即可； （3）设可购进A型玩具个，则，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：根据所列方程即可知，甲所列方程中的表示B型玩具的单价；乙所列方程中的表示用元购进A型玩具的数量； （2）解：甲：， 解得， 经检验，是原方程的解， （元）， 答：A型玩具单价为8元，B型玩具单价为5元； 乙：， 解得， 经检验，是原方程的解， （元）， （元）， 答：A型玩具单价为8元，B型玩具单价为5元； （3）解：设可购进A型玩具个，则B型玩具个， 根据题意得：， 解得， 整数最大值是116， 答：最多可购进A型玩具116个． 题型18 分式方程和差倍分问题 易错点：倍数、和差关系理解颠倒；未知数设取不合理导致列式复杂。 解题技巧：找准题目中“多、少、倍、分”核心关系；优先设标准量为未知数，根据数量差值列分式方程；化简求解后检验实际意义。 69．智能机器人产业发展迅猛，某公司研制出A、B两种搬运机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同．则A型机器人每小时搬运的材料为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“时间相等”建立等量关系，利用公式“时间=搬运总重量÷每小时搬运重量”列方程求解即可． 【详解】解：设A型机器人每小时搬运材料，则B型机器人每小时搬运材料，根据题意得， ， 解得， 检验：当时，，故是原方程的解， 即A型机器人每小时搬运材料． 70．为提升作业批改效率，张老师使用智能批改系统辅助批改数学作业．使用该系统后平均每小时批改的题目数是原来平均每小时批改的题目数的1.5倍，且批改120道题目所用时间比原来节省了2小时，求张老师原来平均每小时批改多少道题目．设张老师原来平均每小时批改x道题目，根据题意列方程为_________． 【答案】 【分析】根据等量关系列出分式方程即可． 【详解】解：设张老师原来平均每小时批改x道题目， 则． 71．从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续多年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破近20万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进．某公司计划购买，两种型号的机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且型机器人搬运材料所用的时间与型机器人搬运材料所用的时间相同． (1)求，两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； (2)该公司计划采购，两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进型机器人多少台？ 【答案】(1)型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料 (2)17台 【分析】（1）根据题意列出分式方程并求解； （2）根据题意列出不等式并求解即可． 【详解】（1）解：设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料， 根据题意列分式方程得，， 解得， 经检验，是所列方程的解且符合题意； 当时， ， 答：型机器人每小时搬运材料，型机器人每小时搬运材料； （2） 解：设购进型机器人台，则购进型机器人台， 则有 ， 解得， ∵是整数， ∴； 答：至少购进型机器人17台． 72．请同学们根据以下表格中的素材一、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三． 合理规划校园文创市集场地 素材一 某校学生会为举办校园文创市集，划分出一块长方形活动区域，长为，宽为（其中）．去年市集共售出480件文创产品，由甲、乙两组志愿者负责售卖． 素材二 甲组售卖速度是乙组的1.2倍，且甲组单独售完所有产品比乙组单独售完所有产品少用20分钟． 素材三 今年从该区域中划出一个边长为的正方形地块作为“盲盒抽取区”，其余部分作为“手工体验区”（如图）．“盲盒抽取区”共吸引360人次参与互动，“手工体验区”共接待240人次．    问题解决 (1)若甲、乙两组单独售完所有文创产品，求甲、乙两组每分钟各售卖多少件产品？ (2)“盲盒抽取区”和“手工体验区”哪一区域的平均单位面积人流量更高？并说明理由． (3)现计划将该区域扩建，长增加，宽增加．若扩建后的面积是原来面积的倍．直接写出的取值范围． 【答案】(1)甲组每分钟售卖件产品，乙组每分钟售卖件产品 (2)“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量更高，理由见解析 (3) 【分析】（1）设乙组每分钟售卖件产品，则甲组每分钟售卖件产品，列分式方程求解即可； （2）设“盲盒抽取区”的面积为，则“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量为，“手工体验区”的平均单位面积人流量为，计算可知“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量更高； （3）用含的代数式表示出原面积和扩建后的面积，根据扩建后的面积是原来面积的倍，可得，根据的取值范围可以求出的取值范围． 【详解】（1）（1）解：设乙组每分钟售卖件产品，则甲组每分钟售卖件产品， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟售卖件产品，乙组每分钟售卖件产品； （2）解：“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量更高， 理由如下： 设“盲盒抽取区”的面积为，则“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量为， “手工体验区”的面积为， 则“手工体验区”的平均单位面积人流量为， ， ，，， ， ， 答：“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量更高； （3）解：①由题意得：原来的面积为， 扩建后的面积为， 扩建后的面积是原来面积的倍， ， ， ， ， ， ， ． 题型19 分式方程的其它实际问题 易错点：无法提炼等量关系；忽略实际问题取值限制（正数、整数）。 解题技巧：通读题干，梳理两组对应数量的变化关系；转化为分式方程模型求解；所有解必须符合实际场景，无效解直接舍去。 73．某生产队承接了240亩地的复合种植任务，为了完成任务，引入新型机械种植，实际工作效率比原来提高了，结果提前3天完成任务．设原计划每天种植的面积为x亩地，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设原计划每天种植的面积为亩地，则实际每天种植的面积为亩地，根据“提前3天完成任务”的等量关系列方程． 【详解】解：设原计划每天种植的面积为亩地，则实际每天种植的面积为亩地， 根据题意得，． 74．爱好摄影的小冀正在学习调节老式胶片相机的光圈，在镜头焦距一定的条件下，光圈孔径直径D（单位：）与光圈系数F的关系式为，小冀分别使用了甲、乙两种不同的光圈设置进行拍摄，已知乙设置下的光圈系数是甲设置下的2倍，且甲设置下的光圈孔径直径比乙设置下的大，则甲设置下的光圈系数为_______． 【答案】 【分析】设甲设置下的光圈系数为，则乙设置下的光圈系数为，根据关系式变形得到，再根据等量关系，列分式方程求解检验即可． 【详解】解：设甲设置下的光圈系数为，则乙设置下的光圈系数为， 根据题意列方程得，， 解得，， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 则甲设置下的光圈系数为． 75．分拣机器人是一种应用于物流、快递、制造业等领域的智能工业设备，核心配置包括传感器、物镜和电子光学系统，为企业带来了勃勃生机．某公司仓库选用了甲、乙两种型号的分拣机器人，已知甲型机器人比乙型机器人每小时多分拣快递200件，且甲型机器人分拣9000件快递所用时间与乙型机器人分拣8000件所用时间相等．求甲、乙两种型号的分拣机器人每小时分拣快递的数量． 【答案】甲型机器人每小时分拣快递1800件，乙型机器人每小时分拣快递1600件 【分析】设乙型机器人每小时分拣快递件，则甲型机器人每小时分拣快递件，再根据两型机器人分拣快递所用时间相等列出方程求解即可，注意分式方程需要检验． 【详解】解：设乙型机器人每小时分拣快递件，则甲型机器人每小时分拣快递件， 根据题意，得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意, ， 答：甲型机器人每小时分拣快递1800件，乙型机器人每小时分拣快递1600件． 76．2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水． (1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水； (2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 售价（元） 1400 2300 【答案】(1)甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升 (2)该专卖店的最大利润为7800元 【分析】（1）根据题意列出分式方程即可求解； （2）设A型打印机有m台，B型打印机有台，可得，由题意列出利润关于m的一次函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：设甲型墨盒每次灌满需x毫升墨水，则乙型墨盒每次灌满需毫升墨水， 由题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升． （2）解：设A型打印机有m台，B型打印机有台， 由题意得，， 解得， 设利润为， 由题意得， ∵， ∴随m增大而减小， 当时，取最大值为元， 答：该专卖店的最大利润为7800元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $