第十章 分式 单元练习 2025-2026学年苏科版八年级下册数学

**基本信息** 初中数学分式单元复习卷，通过基础巩固与创新应用结合，全面覆盖分式概念、性质、运算及应用，适配单元提升需求，培养运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|分式概念、性质、方程解的范围|基础辨析与推理意识结合，如分式变形正误判断| |填空题|10题|分式化简、求值、规律探究|含创新运算定义（如16题新运算）和几何情境（17题阴影面积）| |解答题|6题|分式方程求解、实际应用、综合实践|突出数学建模与应用意识，如24题礼品购买（社会热点）、26题糖水浓度证明（生活情境）|

分式单元提升巩固小练 一、单选题 1．代数式中，属于分式的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．要使分式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．下列分式变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大6倍 D．缩小3倍 5．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D．且 6．若且，则的结果为（     ） A．1 B．3 C．6 D． 7．已知 a 为正数，且或，比较与的大小，可通过作差法判断，则 P 与 Q 的大小关系为（     ） A． B． C． D． 8．要使的值为整数，下列选项中，的值不能是（     ） A．2 B．4 C．5 D．7 9．若，，则的值等于（   ） A． B． C． D． 10．对于实数进行如下次操作：；；；；．下列说法：①若，则；②若的值是1，则；③的值为2，则的值为．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 11．化简：_______． 12．已知实数，满足，则的值为______． 13．若分式的值为零，则______． 14．当时，计算的结果是__________． 15．已知，，则的值为________． 16．对于实数m，n，定义两种新运算：，，则的值为______． 17．如图，甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，，按如图所示的两种方式放置．图①中阴影部分面积为16，图②中阴影部分面积为12，则的值是______． 18．观察下列分式：，，，，…（其中，），用任意一个分式除以它前面一个分式得到的结果是_____，根据规律，请写出第2026个分式_____． 19．已知为整数且满足代数式的值为整数，则的所有取值为______ 20．实数a，b，c满足，，则________． 三、解答题 21．解方程： (1)； (2)． 22．先化简，再求值：，其中 23．已知关于的分式方程． (1)当分式方程有增根时，求的值． (2)当分式方程的解为正数时，求的取值范围． (3)当分式方程有整数解，且时，直接写出所有满足条件的整数的和． 24．湖南师大附中团委组织八年级部分同学到长沙县“慢天使”之家给脑瘫儿童送新春慰问．在准备礼品时发现，购买一件甲礼品的费用是购买乙礼品的1.5倍，并且花费600元购买甲礼品比花费600元购买乙礼品的数量少4件． (1)求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？ (2)学校准备购买30件礼品送给“慢天使”们，正逢商店新年促销，甲礼品打八折，乙礼品打九折，要求购买礼品的总费用不超过1500元，那么最多购买多少件甲礼品？ 25．我们知道．假分数可以化为带分数，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或大等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和）． 例如：； ． 请根据上述条件解决下列问题： (1)将分式化为带分式； (2)若分式的值为整数，求的整数值． 26．【综合实践】分式与糖水浓度 在生活中，有这样的一种现象：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜．用数学知识解释：设原来的糖水总质量是a克，其中含有克糖，则糖水的浓度为． ①如果加入克水，糖水的浓度变为__________，由糖水变淡可得不等式__________； ②如果加入克糖，糖水的浓度变为，由糖水变甜可得不等式． (1)【任务1】直接写出①“__________”处的内容： (2)【任务2】证明②中的不等式： (3)【任务3】请运用以上的结论证明： 若是三边的长，则． 答案 1．B 【详解】解：分母是常数2，属于整式，不是分式； 分母是常数，属于整式，不是分式； 分母是含有字母的整式，属于分式； 是整式，不是分式； 分母含有字母，属于分式； 分母含有字母，属于分式； ∴符合条件的分式共有3个． 2．D 【详解】解：∵分式有意义的条件为分母不等于0， ∴， 解得：． 3．C 【详解】解：对于选项A：举反例，当，时，，，则，故A错误； 对于选项B：举反例，当，时，，，则，故B错误； 对于选项C：由分式的基本性质，分子分母同乘以不为零的整式，分式的值不变，故C正确； 对于选项D：举反例，当，时，，，则，故D错误． 4．A 【详解】解：把分式中的x和y都扩大3倍，变为，， 则新分式为， 所以新分式与原分式相等，分式的值不变． 5．A 【详解】解：方程两边同时乘以，得 ， 解得， ∵方程的解为正数， ∴， 解得， 又∵分式分母不能为， ∴，即， 解得， ∴的取值范围是且． 6．D 【详解】解： ， 当时，原式． 7．C 【详解】∵，，为正数， ∴， ，差的符号由分子 决定 或 -当 时，，， ，，即 ， 当 或 时，， ，即 ， ， 当 时，，， ，，即 ， ， 综上，当 或 时，总有 ． 8．D 【详解】首先对原式变形整理 ∵ ，，分式分母不为0，得 ∴ 原式 通分后计算分子得： ∴ 原式 将选项依次代入验证： A． 时， 是整数，符合要求； B． 时， 是整数，符合要求； C． 时， 是整数，符合要求； D． 时， 不是整数，不符合要求． 因此的值不能是7． 9．D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ． 10．D 【详解】解：根据题意，，，， 可见3个为循环，即． ①若，因，故． 验证：时，，，，符合条件，①正确． ②若，因，，故． 代入表达式：，解得． 验证：时，，，和为1，符合条件，②正确． ③∵，， ∴， 解得，即，解得，验证符合条件，③正确． 综上，三个说法均正确，共3个． 故选：D． 11． 【详解】解：原式 12． 【详解】解： ， 原式． 13． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 解得， 由得， ∴． 14． 【详解】解：原式， 当时，原式． 15． 【详解】解：∵，， ∴． 16． 【详解】解：根据新运算定义可得：， 17． 【详解】解：，，，， ，， ， 故答案为：. 18． 【详解】解：计算任意分式除以它前面一个分式：取第二个分式除以第一个分式：， 验证第三个分式除以第二个分式：， ∴任意一个分式除以它前面一个分式的结果为； 第个分式（为正整数）的规律：第个分式的符号为，分子部分：的次数为，分母部分：系数为，的次数为， ∴第个分式可表示为， ∴第2026个分式为． 19．或或 【详解】原式= = = = =， 设 （为整数），则， 整理得：， ∴， 令（为整数且），则， 由于为整数，需为整数，故为的因数：，， 代入求： 时，； 时，； 时，； 时，（舍去，因分母为零）； 时，（舍去，因分母为零）； 时，（舍去，因分母为零） 综上，的所有取值为：，，， 故答案为：，，． 20．72 【详解】解：∵， ∴，，， ∵， ∴ ． 21．(1) (2) 【详解】（1）解：， 去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解； （2）解：， 去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 22．； 【详解】解：原式 ∴原式． 23．(1) (2)且 (3) 【详解】（1）解：分式方程去分母得：， 整理可得：， 当分式方程有增根时，即， 则， 解得：； （2）解：根据题意可得：且， 即，且， 解得：且； （3）解：当时， ∵， ∴， 当分式方程有整数解时，， 由于当分式方程有增根时，即，故需要舍去， 当时，， 当时，， 经检验，都符合题意， ∴它们的和是． 24．(1)甲礼品的单价为75元，乙礼品的单价为50元 (2)最多购买10件甲礼品 【详解】（1）解：设乙礼品的单价为元，则甲礼品的单价为元， 由题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴甲礼品的单价为：元， 答：甲礼品的单价为75元，乙礼品的单价为50元； （2）解：设购买件甲礼品，则购买件乙礼品， 由题意得，， 解得：， 答：最多购买10件甲礼品． 25．(1) (2)或0或4或 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵分式的值为整数， ∴，， 解得：或0或4或． 26． 【详解】（1）解：如果加入克水，糖水的浓度变为， 由糖水变淡可得不等式； （2）证明： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）得，，， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∴； 学科网（北京）股份有限公司 $