江苏常州市2025-2026学年数学七年级下册期末考试模拟练习卷（苏科版）

**基本信息** 以神舟飞船、校园体育节等真实情境为载体，融合几何变换、方程不等式等核心知识，通过分层设计考查数学抽象、推理能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|轴对称图形、科学记数法、命题判断|结合医院标志考轴对称（几何直观）| |填空题|10/20|完全平方公式、不等式组、三角板旋转|通过正方形面积探究代数恒等式（创新意识）| |解答题|8/64|图形变换、方案设计、折叠综合|24题校园体育节购买方案考查模型意识，26题折叠动态问题融合空间观念与推理能力|

2025-2026学年常州市七年级数学下册期末考试模拟练习卷 【全解全析】 考试时间：100分钟 试卷满分：100分 2026年6月 一、选择题：（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应的位置上） 1．下面是四家医院标志的图案部分，其中是轴对称图形的是（     ） A．齐鲁医院 B．华西医院 C．湘雅医院 D．协和医院 【答案】A 【规范解答】解：选项A能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形． 2．神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先求出路程，再用科学记数法表示为的形式． 【规范解答】解：路程=． 故选：B． 【考点剖析】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 3．若，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据不等式的性质逐一判断各选项即可得到答案． 【规范解答】解：， ∴ 对于A，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，可得，该选项正确． 对于B，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，可得，该选项错误． 对于C，不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，可得，该选项错误． 对于D，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，可得，该选项错误． 4．下列语句中真命题的个数是（    ） ①两直线平行，同旁内角相等； ②命题“对顶角相等”是真命题； ③若，，则； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】根据平行线性质、对顶角性质、平行线判定、垂线的基本事实，逐一判断各命题真假，统计真命题个数即可． 【规范解答】解：①两直线平行，同旁内角互补，原命题错误，是假命题． ②对顶角的性质为对顶角相等，因此“对顶角相等”是真命题，原命题正确，是真命题． ③该命题未限定在同一平面内，不在同一平面时，满足，，与不一定平行，原命题错误，是假命题． ④根据垂线的基本事实，在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题正确，是真命题． 综上，真命题共有2个． 5．如图，将三角形沿方向向右平移到三角形的位置，连接．已知三角形的周长为，四边形的周长为，则这次平移的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据平移的性质，平移的距离等于，且结合三角形的周长和四边形的周长，通过周长差求出的长度，即为平移的距离． 【规范解答】解：设平移的距离为，则 ∵平移得到， ∴ ∵的周长为， ∴ ∵四边形的周长为， ∴ ∴ ∴ 解得 ∴这次平移的距离为 6．某同学粗心大意，计算多项式乘法时，把等式中的两个常数弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数可以是（    ） A．20，5 B．16，4 C．13，3 D．8，2 【答案】D 【思路引导】根据多项式的乘法法则，可求出，从而，即可求解． 【规范解答】解：∵， 根据题意， ∴， 解得：， ∴． 7．小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（   ） A．3、 B．1、5 C．、3 D．5、1 【答案】D 【思路引导】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数，将代入第一个方程求出y，再代入第二个方程求． 【规范解答】解：将代入，得：， 解得，即 将，代入，得：， 故和代表的数分别是5和1， 故选：D． 8．如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的值为（　   　） ①；②；③；④ A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，如图，当点在上时，当点在延长线上时，两种情况中又分为当时，当时，过点作，证明，得到，再通过角之间的关系建立方程求解即可． 【规范解答】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作， ∵由平移得到， ， ∵， ， ， 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 第二种情况：当点在延长线上时，过点作， 同理可得， 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 由于，则这种情况不存在； 综上所述，的度数可以为或或． 故选：D． 二、填空题：（本大题共有10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 9．若，则______． 【答案】 【思路引导】根据同底数幂相乘底数不变指数相加得到关于,的等式，整理即可得到的值. 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为 10．已知是方程的解，则式子的值为___________． 【答案】 【规范解答】解：把代入方程，得， 则． 11．若代数式可以化成一个多项式的平方，则实数______． 【答案】 【思路引导】根据完全平方式的结构特征即可求解． 【规范解答】解：代数式是一个完全平方式， ∴． 12．不等式组的整数解为________． 【答案】 【规范解答】解： 由①可得：， 由②可得：， ∴不等式组的解集为， ∴该不等式组的整数解为． 13．已知关于的方程组的解满足，则_______． 【答案】 【思路引导】观察方程组系数特征，可利用整体思想将两个方程作差凑出，再整体代入已知条件求解即可． 【规范解答】解：， 得：， 整理得：， ， ，解得． 14．关于x的不等式组的解如图所示，则关于x的不等式组的解是__________ ． 【答案】 【思路引导】根据数轴得到两个不等式解集的公共部分即可． 【规范解答】解：的不等式组的解集为， ， 关于x的不等式组的解是． 15．若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为________． 【答案】 【思路引导】把的两边都除以4变形为，然后把和看作一个整体，用换元法求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵的解为， ∴， ∴． 16．诚诚在课外实践活动中，利用大小不等的两个正方形纸板，进行探究，纸板与的面积之和为．将纸板按图所示的方式放在纸板的内部，阴影部分的面积为．若将纸板，按图所示的方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为__________． 【答案】 【思路引导】设的边长为，的边长为，根据题意可得，，可得，用，表示图阴影部分的面积，即可求解． 【规范解答】解：设的边长为，的边长为， ∵纸板与的面积之和为， ∴， ∵图阴影部分的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图阴影部分的面积为． 17．已知方程组的解满足x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，；③当时，方程组的解也是方程的解．其中正确的有_____． 【答案】②③/③② 【思路引导】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组，解题的关键是求出,．先解方程组得出,，再根据x为正数，y为非负数判断①．把代入可判断②．将代入可判断③． 【规范解答】解：①， ，得， 解得， ，得， 解得， ∵， ∴， 解③，得， 解④，得， ∴； ∴①不正确； ②当时， ， ， ∴； ∴②正确： ③当时，， ∴， ∵， ∴， ∴③正确． 故答案为：②③． 18．一副三角板如图摆放，边落在直线上，点、点在直线的上方，其中、、．现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时将三角板绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒，则当时，的值为_______． 【答案】2或 【思路引导】当时，，，由，得，解得；当时，，，得，解得． 【规范解答】解：当与相遇前时，， ∵，， 且， ∴， 解得； 当与相遇时，，此时，，不符合题意，舍去， 当与相遇后时，当时， ，， ∴， 解得． 故答案为：2或． 【考点剖析】本题考查了旋转的性质，角的和差倍分的计算，一元一次方程的应用等知识，分类讨论，画出旋转后的图形，是解题的关键． 三、解答题：（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（本题6分）计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【规范解答】（1）解：原式 （2）解：原式 20．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【思路引导】此题考查了整式的化简求值，平方差公式和完全平方公式，利用乘法公式进行计算得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【规范解答】解： 当时， 原式 ． 21．（本题6分）（1）解方程组： （2）解不等式组： 【答案】（1）（2） 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用加减消元法进行解方程，即可作答． （2）先分别算出每个不等式的解集，再取公共部分的解集为不等式组的解集，即可作答． 【规范解答】解：（1）， ，得， 即， 把代入， 得， 解得， ∴方程组的解为， （2）， 由得， 由得， ∴不等式组的解集为． 22．（本题8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知三角形的顶点都在格点上． (1)请画出三角形关于点成中心对称的图形三角形； (2)请画出三角形关于直线成轴对称的图形三角形； (3)在第（1）（2）小题的基础上，连接和，四边形的面积为_____．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)20 【思路引导】本题主要考查了轴对称变换和旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）依据中心对称的性质，即可得到． （2）依据轴对称的性质，即可得到． （3）根据梯形面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：根据题意得，四边形是梯形， 所以，四边形的面积为． 故答案为：20． 23．（本题8分）小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题考查二元一次方程组的解的应用以及解二元一次方程组．关键在于理解“看错系数但解对另一个方程”的核心逻辑：当看错某个方程的系数时，所得的解仍满足另一个未被看错系数的方程． （1）小鑫看错方程②的，因此解满足方程①，代入可得到关于、的方程；小童看错方程①的，因此解满足方程②，代入可得到关于的方程，联立这两个方程即可求解正确的、； （2）将求得的、代入原方程组，得到标准的二元一次方程组，再通过代入消元法求解方程组的解． 【规范解答】（1）解：∵小鑫看错了方程②中的，解得， ∴该解满足方程①，将代入①得：，化简得③； ∵小童看错了①中的，解得， ∴该解满足方程②，将代入②得：，即， 解得； 将代入③得：，解得； 故正确的； （2）解：将代入原方程组，得， 由①得③， 将③代入②得：，解得； 将代入③得：； ∴原方程组的正确解为． 24．（本题8分）2026年3月北京市第五十五中学第20届校园体育节暨“班超”比赛热闹开场．学校需要购买A种品牌的排球20个，B种品牌的排球30个，共花费2100元，已知B种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高20元． (1)求A、B两种品牌排球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的排球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的排球单价优惠5元，B种品牌的排球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌排球的总费用不超过1550元，且购买B种品牌的排球不少于18个，则有几种购买方案？ (3)在(2)的条件下，为了节约资金，学校应选择哪种方案？为什么？ 【答案】(1) A种品牌排球的单价是30元，B种品牌排球的单价是50元 (2) 共有3种购买方案 (3) 为了节约资金，学校应选择购买A种品牌的排球32个，购买B种品牌排球18个，理由见解析 【思路引导】(1)设A种品牌排球的单价是x元，则B种品牌排球的单价是y元，再根据购买A种品牌的排球20个，B种品牌的排球30个，共花费2100元；B种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高20元，列出关于的二元一次方程组求解即可； (2)设购买A种品牌排球m个，则购买B种品牌排球个，根据商店“优惠促销”活动及学校给出的已知条件，列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，又由m为整数，确定购买方案即可； (3)由(2)得三种购买方案及总购买资金，比较数值大小即可得出资金最少的购买方案． 【规范解答】（1）解：设A种品牌的排球的单价是x元，则B种品牌的排球的单价是y元， 根据题意，得，解得， 答：A种品牌的排球的单价是30元，则B种品牌的排球的单价是50元； （2）解：设购买A种品牌的排球m个，则购买B种品牌的排球个， 根据题意，得，解得，即， 又∵m为整数， ∴m的值为30，31，32， ∴共有3种购买方案； （3）解：为了节约资金，学校应该选择购买A种品牌的排球32个，购买B种品牌排球18个．理由如下： 由(2)知3种购买方案及总购买资金分别为 方案一：购买A种品牌的排球30个，则购买B种品牌排球20个，购买资金为(元)； 方案二：购买A种品牌的排球31个，则购买B种品牌排球19个，购买资金为(元)； 方案三：购买A种品牌的排球32个，则购买B种品牌排球18个，购买资金为(元)； ∵， ∴为了节约资金，学校应该选择方案三：购买A种品牌的排球32个，购买B种品牌排球18个． 25．（本题10分）【知识生成】 （1）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：_____，图2中阴影部分面积可表示为_____，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：_____． 【拓展探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （2）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：_____，方法2：_____，所以可得到等式：_____； 【迁移运用】 （3）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： ①已知，则_____； ②已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）①5；② 【思路引导】本题考查了完全平方公式的变形与几何意义，掌握完全平方公式的灵活变形是解决问题的关键． （1）图1中阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，图1中阴影部分的面积为长方形的面积，分别表示出来，再根据两个图中的阴影部分面积是相同的，即可得到等式； （2）图4中阴影正方形边长为，其面积可以由面积公式求解，也可以由边长为的大正方形的面积减去4个长方形的面积求得； （3）①由（2）得，再代值计算即可； ②利用整体思想，将，分别看成一个整体，结合完全平方公式可得，从而可求出的值． 【规范解答】解：（1）图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 故答案为：； （2）方法1：阴影部分面积为阴影部分正方形的面积，表示为：， 方法2：用大正方形的面积减四个长方形的面积，表示为：， 所以可得到等式：； 故答案为：； （3）①由（2）得， ∵， ∴， 故答案为：5； ②方法1：， ． 方法2：令， 则， 所以． 26．（本题12分）综合探究： 【问题感知】 (1)如图1，长方形纸片，点，分别为，边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置，若的延长线过点，且，则__________； 【问题初探】 (2)如图2，长方形纸片，点，分别为，边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置，的延长线交于点，，求的度数； 【问题深探】 (3)如图3，在钝角三角形纸片中，，．点为边上一点（不与点重合），将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置．若所在直线与三角形的一边所在直线垂直，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【思路引导】（1）由长方形性质得，，由得，再由折叠性质得，根据平行线的性质得，然后由可得答案； （2）由长方形性质得，，由得，再由折叠性质得，进而得，然后在三角形中求出，最后结合邻补角的定义可得答案； （3）先求出，分四种情况讨论如下： ①当时，且点在左侧时，则，由折叠性质得，再根据得，在三角形中，由即可； ②当时，设的延长线交于点，则，由折叠性质得，，在三角形中求出，据此可得的度数； ③当时，设与相交于点，则，在三角形中可求出，则，再由折叠性质得，然后在三角形中可得的度数； ④当，且点在右侧时，则，由折叠性质得，然后在三角形中可得的度数． 【规范解答】（1）解：∵在长方形中，，，， ∴， ∵将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵在长方形中，，，， ∴， ∵将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置， ∴， ∴， 在三角形中，， ∴； （3）解：∵在三角形中，，， ∴， 当所在直线与三角形的一边所在直线垂直时，有以下四种情况： ①当时，如图3①所示： ∴， ∵将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置， ∴， ∵， ∴， ∴， 在三角形中，； ②当时，设的延长线交于点，如图3②所示： ∴， ∵将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置， ∴，， 在三角形中，， ∴； ③当时，设与相交于点，如图3③所示： ∴， 在三角形中，， ∴， ∵将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置， ∴， 在三角形中，； ④当，且点在右侧时，如图3④所示： ∴， ∵将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置， ∴， 在三角形中，， 综上所述，的度数为或或或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年常州市七年级数学下册期末考试模拟练习卷 【参考答案】 考试时间：100分钟 试卷满分：100分 2026年6月 一、选择题：（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应的位置上） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A B B D D D 二、填空题：（本大题共有10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 9． 10． 11． 12． 13． 14． 15． 16． 17．②③/③② 18．2或 三、解答题：（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（本题6分）（1）解：原式 （2）解：原式 20．（本题6分）解： 当时， 原式 ． 21．（本题6分）解：（1）， ，得， 即， 把代入， 得， 解得， ∴方程组的解为， （2）， 由得， 由得， ∴不等式组的解集为． 22．（本题8分）（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：根据题意得，四边形是梯形， 所以，四边形的面积为． 故答案为：20． 23．（本题8分）（1）解：∵小鑫看错了方程②中的，解得， ∴该解满足方程①，将代入①得：，化简得③； ∵小童看错了①中的，解得， ∴该解满足方程②，将代入②得：，即， 解得； 将代入③得：，解得； 故正确的； （2）解：将代入原方程组，得， 由①得③， 将③代入②得：，解得； 将代入③得：； ∴原方程组的正确解为． 24．（本题8分）（1）解：设A种品牌的排球的单价是x元，则B种品牌的排球的单价是y元， 根据题意，得，解得， 答：A种品牌的排球的单价是30元，则B种品牌的排球的单价是50元； （2）解：设购买A种品牌的排球m个，则购买B种品牌的排球个， 根据题意，得，解得，即， 又∵m为整数， ∴m的值为30，31，32， ∴共有3种购买方案； （3）解：为了节约资金，学校应该选择购买A种品牌的排球32个，购买B种品牌排球18个．理由如下： 由(2)知3种购买方案及总购买资金分别为 方案一：购买A种品牌的排球30个，则购买B种品牌排球20个，购买资金为(元)； 方案二：购买A种品牌的排球31个，则购买B种品牌排球19个，购买资金为(元)； 方案三：购买A种品牌的排球32个，则购买B种品牌排球18个，购买资金为(元)； ∵， ∴为了节约资金，学校应该选择方案三：购买A种品牌的排球32个，购买B种品牌排球18个． 25．（本题10分）解：（1）图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 故答案为：； （2）方法1：阴影部分面积为阴影部分正方形的面积，表示为：， 方法2：用大正方形的面积减四个长方形的面积，表示为：， 所以可得到等式：； 故答案为：； （3）①由（2）得， ∵， ∴， 故答案为：5； ②方法1：， ． 方法2：令， 则， 所以． 26．（本题12分）（1）解：∵在长方形中，，，， ∴， ∵将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵在长方形中，，，， ∴， ∵将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置， ∴， ∴， 在三角形中，， ∴； （3）解：∵在三角形中，，， ∴， 当所在直线与三角形的一边所在直线垂直时，有以下四种情况： ①当时，如图3①所示： ∴， ∵将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置， ∴， ∵， ∴， ∴， 在三角形中，； ②当时，设的延长线交于点，如图3②所示： ∴， ∵将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置， ∴，， 在三角形中，， ∴； ③当时，设与相交于点，如图3③所示： ∴， 在三角形中，， ∴， ∵将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置， ∴， 在三角形中，； ④当，且点在右侧时，如图3④所示： ∴， ∵将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置， ∴， 在三角形中，， 综上所述，的度数为或或或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年常州市七年级数学下册期末考试模拟练习卷 考试时间：100分钟 试卷满分：100分 2026年6月 一、选择题：（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应的位置上） 1．下面是四家医院标志的图案部分，其中是轴对称图形的是（     ） A．齐鲁医院 B．华西医院 C．湘雅医院 D．协和医院 2．神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 3．若，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列语句中真命题的个数是（    ） ①两直线平行，同旁内角相等； ②命题“对顶角相等”是真命题； ③若，，则； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，将三角形沿方向向右平移到三角形的位置，连接．已知三角形的周长为，四边形的周长为，则这次平移的距离为（     ） A． B． C． D． 6．某同学粗心大意，计算多项式乘法时，把等式中的两个常数弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数可以是（    ） A．20，5 B．16，4 C．13，3 D．8，2 7．小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（   ） A．3、 B．1、5 C．、3 D．5、1 8．如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的值为（　   　） ①；②；③；④ A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 二、填空题：（本大题共有10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 9．若，则______． 10．已知是方程的解，则式子的值为___________． 11．若代数式可以化成一个多项式的平方，则实数______． 12．不等式组的整数解为________． 13．已知关于的方程组的解满足，则_______． 14．关于x的不等式组的解如图所示，则关于x的不等式组的解是__________ ． 15．若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为________． 16．诚诚在课外实践活动中，利用大小不等的两个正方形纸板，进行探究，纸板与的面积之和为．将纸板按图所示的方式放在纸板的内部，阴影部分的面积为．若将纸板，按图所示的方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为__________． 17．已知方程组的解满足x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，；③当时，方程组的解也是方程的解．其中正确的有_____． 18．一副三角板如图摆放，边落在直线上，点、点在直线的上方，其中、、．现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时将三角板绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒，则当时，的值为_______． 三、解答题：（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（本题6分）计算： (1) (2) 20．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 21． （本题6分）（1）解方程组： （2）解不等式组： 22．（本题8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知三角形的顶点都在格点上． (1)请画出三角形关于点成中心对称的图形三角形； (2)请画出三角形关于直线成轴对称的图形三角形； (3)在第（1）（2）小题的基础上，连接和，四边形的面积为_____．（直接写出答案） 23．（本题8分）小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 24．（本题8分）2026年3月北京市第五十五中学第20届校园体育节暨“班超”比赛热闹开场．学校需要购买A种品牌的排球20个，B种品牌的排球30个，共花费2100元，已知B种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高20元． (1)求A、B两种品牌排球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的排球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的排球单价优惠5元，B种品牌的排球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌排球的总费用不超过1550元，且购买B种品牌的排球不少于18个，则有几种购买方案？ (3)在(2)的条件下，为了节约资金，学校应选择哪种方案？为什么？ 25．（本题10分）【知识生成】 （1）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：_____，图2中阴影部分面积可表示为_____，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：_____． 【拓展探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （2）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：_____，方法2：_____，所以可得到等式：_____； 【迁移运用】 （3）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： ①已知，则_____； ②已知，求的值． 26．（本题12分）综合探究： 【问题感知】 (1)如图1，长方形纸片，点，分别为，边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置，若的延长线过点，且，则__________； 【问题初探】 (2)如图2，长方形纸片，点，分别为，边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置，的延长线交于点，，求的度数； 【问题深探】 (3)如图3，在钝角三角形纸片中，，．点为边上一点（不与点重合），将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置．若所在直线与三角形的一边所在直线垂直，求的度数． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $