第9章 因式分解 期末复习训练 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 本卷为初中数学第9章因式分解期末复习训练，涵盖定义辨析、公式应用及综合创新，通过新定义、几何情境等载体，考查抽象能力、推理意识与模型意识，适配期末复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|因式分解定义（1题）、公因式提取（2题）、公式法（3-7题）、应用（8-10题）|结合“智慧数”（8题）、AI工具命题（7题）等新情境，考查概念辨析与应用| |填空题|10题|提公因式与公式综合（11题）、代数式求值（12题）、密码问题（13题）、几何与代数结合（16题）|设置密码生成（13题）、“师上数”（19题）等创新题型，体现模型意识| |解答题|10题|分解因式（21题）、几何应用（22题）、配方法（23题）、新定义“子陵数”（24题）、证明推理（25题）|综合考查因式分解与代数推理（24题）、几何与代数融合（26题），注重思维层次性|

期末复习·章节训练·2025—2026学年苏科版八年级下册 第9章 因式分解 期末复习训练 一．选择题 1．（2026春•余姚市期中）下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　） A．x2+4＝（x﹣2）2+4x B．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2 C．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 D． 2．（2026春•余姚市期中）把多项式6a3b2﹣3a2b2﹣12a2b2分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．3a2b B．3ab2 C．3a3b3 D．3a2b2 3．（2026•青田县模拟）多项式4x2﹣4x+1因式分解正确的是（　　） A．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2 B．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）（2x+1） C．4x2﹣4x+1＝4x（x﹣1） D．4x2﹣4x+1＝4x2﹣（4x﹣1） 4．（2026春•丰县期中）若x2+ax+9能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（　　） A．3 B．3或﹣3 C．6 D．6或﹣6 5．（2025秋•平原县月考）若m为任意整数，则（3m+2）2﹣9m2的值总能（　　） A．被4整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被6整除 6．（2026春•南海区校级月考）小贤在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式a2﹣□b2中“□”的部分，若该二项式能分解因式，则“□”不可能是（　　） A．a B．﹣16 C．49 D．a2 7．（2026•袁州区一模）在借助某AI工具命制如下①∼④四道试题时，小聪发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（　　） 用平方差公式分解下列各式： ①﹣a2﹣b2；②a2﹣b2；③﹣a2+b2；④4m2﹣25n2． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 8．（2026春•福田区校级期中）若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”．例如13＝72﹣62，所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（　　） A．代数式a2﹣2ab（a，b是正整数）是智慧数的条件是a≥2b B．将智慧数从小到大进行排列，第10个智慧数是16 C．所有大于1的奇数都是智慧数 D．12是智慧数 9．（2025秋•召陵区期末）如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则a2b+ab2的值为（　　） A．80 B．96 C．192 D．240 10．（2026•滨湖区二模）现定义对于一个数a，我们把{a}称为a的“邻一数”：若a≥0，则{a}＝a﹣1；若a＜0，则{a}＝a+1．例如：{1}＝1﹣1＝0，{﹣0.5}＝﹣0.5+1＝0.5．下列结论： ①若a≠b，则{a}≠{b}； ②当x＞0，y＜0时，{x}﹣1＝{y}+1，那么代数式x2+3y+y2﹣3x﹣2xy的值为4； ③方程{m﹣1}+{m+2}＝﹣2的解为或或； 其中正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．② D．①② 二．填空题 11．（2026•宁夏模拟）分解因式：3m2n﹣27n＝　 　 ． 12．（2026•清江浦区模拟）若x+y＝3，xy＝2，则x2y+xy2的值为 　 　 ． 13．（2026•盐城二模）有一种明码为自然数的密码产生法，原理是：对于多项式x4﹣y4因式分解的结果（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝8，y＝8作为明码，则各个因式的值是：x﹣y＝0，x+y＝16，x2+y2＝128，把这些值从大到小排列得到128160，于是就可以把“128160”作为一个六位数的密码．那么，对于多项式x3﹣xy2，若给定明码x，y的值，所产生的密码为201510，请写出明码　 　 ． 14．（2026春•玄武区校级期中）已知M＝20242，N＝2021×2027，则M与N的大小关系是　 　 ． 15．（2026•巴南区模拟）已知x2﹣3x﹣3＝0，则x4﹣3x3﹣2x2﹣3x＝　 　 ． 16．（2026春•历下区期中）如图所示，大长方形是由若干个长、宽分别为a，b的小长方形，边长为a的正方形，边长为b的正方形拼成的，由此可进行因式分解：3a2+4ab+b2＝　 　 ． 17．（2026春•宿城区校级期中）在△ABC中，它的三边长分别为a、b、c，若a、b、c满足等式：ac+2ab﹣bc＝a2+b2，则△ABC的形状一定是　 　 ． 18．（2026春•玄武区期中）以下三种方法中，能够验证等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的有　 　 （填序号）． 19．（2026春•龙泉驿区校级月考）若一个三位正整数满足十位数字大于百位数字，且个位数字等于十位数字与百位数字之和，则称这个数为“师上数”．例如：123：∵2＞1，3＝2+1，∴123是一个“师上数”．对于一个“师上数”m，交换其百位和十位得到m1，规定，若F（m）的值为完全平方数，求出所有满足条件的“师上数”m的值是　 　 ． 20．（2026•巴南区模拟）一个四位正整数，各数位上的数字互不相等且均不为0．当a+b＝c+d＝8时，称这个四位数M为“吉祥数”，将M的千位数字与十位数字调换，百位数字与个位数字调换后得到的新四位数记为M′，规定，G（3517）的值为　 　 ；将M的千位数字放到个位数字之后得到N，将M的个位数字放到千位数字之前得到N′，规定，若是完全平方数，且为整数，则满足条件的正整数M的和为　 　 ． 三．解答题 21．（2026春•丰县期中）分解因式： （1）10ab+5ac； （2）x2+6xy+9y2； （3）a4﹣9； （4）3ax2﹣12ay2． 22．（2026春•丰县期中）矩形的相邻两边长分别为m，n，（m＞n），其面积为6，周长为10．求m3n+2m2n2+mn3的值． 23．（2026春•丰县期中）【方法学习】配方法是初中数学的重要变形工具，核心是利用完全平方公式将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，可用于解决分解因式、求最值等多类问题． 请补全下列配方法的应用过程： （1）分解因式x2+6x﹣7：原式＝（x2+6x+9）﹣16＝（x+3）2﹣16＝　 　 ； （2）求代数式x2﹣8x+10的最小值：x2﹣8x+10＝x2﹣8x+16﹣6＝（x﹣4）2﹣6， ∵（x﹣4）2≥0，∴当x＝4即（x﹣4）2＝0时，x2﹣8x+10有最小值，最小值是　 　 ； 【拓展应用】（3）a，b，c分别为△ABC的三边长，当满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0时，求c的取值范围； （4）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝x，BD＝y，若x+y＝12，则四边形ABCD面积的最大值为　 　 ． 24．（2026春•余姚市期中）定义：对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“子陵数”．设一个“子陵数”n的个位数为x，十位数为y． （1）求各位数上的数字均不相同的“子陵数”的个数； （2）如果一个正整数p是另一个正整数q的平方，则称正整数p是完全平方数．找出所有“子陵数”中的完全平方数； （3）记，若D（n）能被（x+y）整除，且x，y均不为0，求出满足要求的“子陵数”n． 25．（2026春•宿豫区期中）初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．例如，在课本中第109页出现了这样一道题： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 小明给出了如下解答过程： 证明：设n、n+1、n+2都是自然数， ∵n（n+1）+（n+1）（n+2）…① ＝（n+1）（n+n+2） ＝（n+1）（2n+2） ＝2（n+1）2…② 且2（n+1）2能被2整除， ∴n（n+1）+（n+1）（n+2）能被2整除． ∴三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 观察小明的证明过程，然后解答下列问题： （1）在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于　 　 （填写“整式的乘法”或“因式分解”）； （2）已知m＞0，且m是奇数．求证：m2﹣m+2能被2整除． 26．（2026春•天府新区校级期中）“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图1，是一个面积为（2a+b）2的图形，同时此图中有4个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形，4个两边长分别为a和b的长方形，可得到乘法公式（2a+b）2＝4a2+4ab+b2． （1）如图2，若2a+b＝6，4a2+b2＝24，则图中阴影部分面积的值为　 　 ； （2）若（2025﹣y）（2y﹣4048）＝﹣2，求代数式（2025﹣y）2+（y﹣2024）2的值； （3）观察图3，可得到乘法公式：（a+2b+c）2＝　 　 ； （4）根据以上知识，解决问题：已知a+2b+c＝5，2ab+2bc+ac＝3，求代数式a2+4b2+c2的值． 27．（2026春•婺城区校级期中）已知，xy，求下列代数式的值： （1）x2y﹣xy2； （2）x2+y2． 28．（2026春•邳州市期中）阅读材料解决问题 【材料】：学习了公式法a2±2ab+b2＝（a±b）2后，某些二次三项式可以按照如下的方法分解因式和解决问题： ①将多项2x2﹣3x﹣9因式分解： （变形依据　 　 ） ＝（2x+3）（x﹣3） ②求多项式2x2﹣3x﹣9的最小值． 由①，得，因为， 所以．所以当时，2x2﹣3x﹣9的值最小，且最小值为． 【问题】（1）①中第四步变形依据是　 　 ； （2）把多项式3x2+5x﹣2分解因式并求出最小值； （3）已知x﹣2y＝3，求代数式﹣x2+2y+3x﹣2的最大值． 29．（2026•临平区二模）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2＝ab+bc+ca． （1）证明：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0； （2）根据（1）的结果，判断△ABC的形状，并说明理由． 30．（2026春•泰兴市期中）在学习平方差公式时，小明发现：两个连续偶数的平方差有一些有趣的结论．他定义：如果一个正整数N可以写成（2k+2）2﹣（2k）2的形式（其中k为正整数），则称N为“双偶平方差数”，k称为N的“序数”．例如，当k＝1时，42﹣22＝12，所以12是双偶平方差数，序数为1． （1）下列各数是双偶平方差数的是　 　 ；（填序号） ①20；②27；③36． （2）小明猜想：任意一个双偶平方差数都能被4整除．请帮助小明证明他的猜想； （3）设两个双偶平方差数P和Q的序数分别为a和b（a、b为正整数）． ①若P+Q＝72，a2+b2＝34，求a和b的值； ②若P•Q可表示为64（m﹣n）+16的形式，其中m＝a2+b2，n＝ab．已知a﹣b＝2，求P和Q的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习·章节训练·2025—2026学年苏科版八年级下册 第9章 因式分解 期末复习训练 一．选择题 1．（2026春•余姚市期中）下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　） A．x2+4＝（x﹣2）2+4x B．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2 C．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 D． 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，需根据此定义逐一判断． 【解答】解：A．x2+4＝（x﹣2）2+4x，选项式子式从左到右的变形不是因式分解，不符合题意； B．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，选项式子式从左到右的变形是因式分解，符合题意； C．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，选项式子式从左到右的变形是乘法运算，不是因式分解，不符合题意； D．中含有分式，选项式子式从左到右的变形不是因式分解，不符合题意． 故选：B． 2．（2026春•余姚市期中）把多项式6a3b2﹣3a2b2﹣12a2b2分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．3a2b B．3ab2 C．3a3b3 D．3a2b2 【分析】根据因式分解﹣提取公因式解答即可． 【解答】解：多项式系数的最小公倍数是3，a的最低次数是2，b的最低次数是2，所以公因式是3a2b2． 故选：D． 3．（2026•青田县模拟）多项式4x2﹣4x+1因式分解正确的是（　　） A．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2 B．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）（2x+1） C．4x2﹣4x+1＝4x（x﹣1） D．4x2﹣4x+1＝4x2﹣（4x﹣1） 【分析】利用完全平方公式分解因式即可判断． 【解答】解：4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2， 故选：A． 4．（2026春•丰县期中）若x2+ax+9能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（　　） A．3 B．3或﹣3 C．6 D．6或﹣6 【分析】根据完全平方公式进行分解，即可解答． 【解答】解：∵x2+ax+9＝（x±3）2， ∴x2+ax+9＝x2±6x+9， ∴常数a的值是6或﹣6， 故选：D． 5．（2025秋•平原县月考）若m为任意整数，则（3m+2）2﹣9m2的值总能（　　） A．被4整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被6整除 【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【解答】解：（3m+2）2﹣9m2＝（3m+2+3m）（3m+2﹣3m）＝2（6m+2）＝4（3m+1）， 4（3m+1）的值总能被4整除， 因此（3m+2）2﹣9m2的值总能被4整除， 故选：A． 6．（2026春•南海区校级月考）小贤在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式a2﹣□b2中“□”的部分，若该二项式能分解因式，则“□”不可能是（　　） A．a B．﹣16 C．49 D．a2 【分析】运用提公因式法和平方差公式，逐个代入选项判断二项式能否分解因式，即可得到答案． 【解答】解：根据提公因式法和平方差公式逐项分析判断如下： A．当□＝a时，a2﹣ab2＝a（a﹣b2），可以分解，不符合题意； B．当□＝﹣16时，a2﹣（﹣16）b2＝a2+16b2，该多项式不能分解因式，符合题意； C．当□＝49时，a2﹣49b2＝（a+7b）（a﹣7b），可以分解，不符合题意； D．当□＝a2时，a2﹣a2b2＝a2（1﹣b2）＝a2（1+b）（1﹣b），可以分解，不符合题意． 故选：B． 7．（2026•袁州区一模）在借助某AI工具命制如下①∼④四道试题时，小聪发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（　　） 用平方差公式分解下列各式： ①﹣a2﹣b2；②a2﹣b2；③﹣a2+b2；④4m2﹣25n2． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 【分析】能够分解因式的关键是多项式可以化为两个平方项且符号相反的a2﹣b2形式，据此逐一判断即可． 【解答】解：能够分解因式的关键是多项式可以化为两个平方项且符号相反的a2﹣b2形式，据此逐项分析判断如下： 对于①，﹣a2﹣b2的两个平方项符号相同，无法写成平方差的形式，故①不能按要求分解； 对于②，a2﹣b2符合平方差形式，故②可以按要求分解； 对于③，﹣a2+b2＝b2﹣a2，符合平方差形式，故③可以按要求分解； 对于④，4m2﹣25n2＝（2m）2﹣（5n）2，符合平方差形式，故③可以按要求分解． 综上可知，不能按要求分解因式的是①题． 故选：A． 8．（2026春•福田区校级期中）若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”．例如13＝72﹣62，所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（　　） A．代数式a2﹣2ab（a，b是正整数）是智慧数的条件是a≥2b B．将智慧数从小到大进行排列，第10个智慧数是16 C．所有大于1的奇数都是智慧数 D．12是智慧数 【分析】正整数n若能写成两个正整数平方差：n＝x2﹣y2＝ （x﹣y）（x+y）（x＞y≥1），则为智慧数．需逐一分析选项的逻辑与数学正确性． 【解答】解：A．代数式a2﹣2ab（a，b 为正整数）是智慧数的条件是：a≥2b， 变形与等价形式：a2﹣2ab ＝（a﹣b）2﹣b2， 令x＝a﹣b、y＝b， 则需x＞y＞0 才符合智慧数定义， 条件分析：x＞y得：a﹣b＞b， 即a＞2b， 当a＝2b时，原式＝0（非正整数），不满足智慧数要求； 当a＜2b时为负数，也不满足， 选项给出a≥2b，包含了a＝2b（结果为 0）这一反例，因此该条件不充分．真正充要条件应为a＞2b， 此说法不正确； B．将智慧数从小到大排列，第10个智慧数是16 枚举法（取x从小到大，y＜x）：得智慧数：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，（去重并按大小排序）． 排序验证：第1～10个依次为 3，5，7，8，9，11，12，13，15，16． 结论：此说法正确； C．设奇数n＝2k+1（k≥1），取x＝k+1、y＝k，则x2﹣y2 ＝ （k+1）2﹣k2 ＝ 2k+1＝n， 且 x＞y＞0 均为正整数． 此说法正确； D.12＝42﹣22＝16﹣4，且4＞2＞1． 此说法正确． 故选：A． 9．（2025秋•召陵区期末）如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则a2b+ab2的值为（　　） A．80 B．96 C．192 D．240 【分析】根据题意得出a+b＝8，ab＝12，然后将整式因式分解化简，整体代入求解即可 【解答】解：∵边长为a，b的长方形周长为16，面积为12， ∴a+b＝8，ab＝12， ∴a2b+ab2 ＝ab（a+b） ＝12×8 ＝96． 故选：B． 10．（2026•滨湖区二模）现定义对于一个数a，我们把{a}称为a的“邻一数”：若a≥0，则{a}＝a﹣1；若a＜0，则{a}＝a+1．例如：{1}＝1﹣1＝0，{﹣0.5}＝﹣0.5+1＝0.5．下列结论： ①若a≠b，则{a}≠{b}； ②当x＞0，y＜0时，{x}﹣1＝{y}+1，那么代数式x2+3y+y2﹣3x﹣2xy的值为4； ③方程{m﹣1}+{m+2}＝﹣2的解为或或； 其中正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．② D．①② 【分析】当a＝1.5，b＝﹣0.5时，根据“邻一数”定义，可得{a}＝{b}，可判定①；当x＞0，y＜0时，根据“邻一数”定义，可得x﹣y＝4，代入计算即可判定②；当m＜﹣2时，可解得，当﹣2≤m＜1时，可解得，当m≥1时，解得，舍去，可判定③；根据“邻一数”定义，得y＝{﹣x2﹣3}+3{|x|+3}＝﹣x2﹣3+1+3（|x|+3﹣1）＝﹣x2+3|x|+4． 【解答】解：①当a＝1.5，b＝﹣0.5时，则 {a}＝{1.5}＝1.5﹣1＝0.5，{b}＝{﹣0.5}＝﹣0.5+1＝0.5， ∴{a}＝{b}， ∴若a≠b，则{a}≠{b}错误，故①错误； ②当x＞0，y＜0时， ∵{x}﹣1＝{y}+1， ∴x﹣1﹣1＝y+1+1，即 x﹣y＝4， ∴x2+3y+y2﹣3x﹣2xy＝（x﹣y）2﹣3（x﹣y）＝42﹣3×4＝4，故②正确； ③∵{m﹣1}+{m+2}＝﹣2， 当m＜﹣2时，m﹣1+1+m+2+1＝﹣2，解得； 当﹣2≤m＜1时，m﹣1+1+m+2﹣1＝﹣2，解得； 当m≥1时，m﹣1﹣1+m+2﹣1＝﹣2，解得，舍去； ∴方程 {m﹣1}+{m+2}＝﹣2的解为或，故③错误； 综上，正确的有②， 故选：C． 二．填空题 11．（2026•宁夏模拟）分解因式：3m2n﹣27n＝　3n（m+3）（m﹣3）　 ． 【分析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：3m2n﹣27n＝3n（m2﹣9）＝3n（m+3）（m﹣3）， 故答案为：3n（m+3）（m﹣3）． 12．（2026•清江浦区模拟）若x+y＝3，xy＝2，则x2y+xy2的值为 　6　 ． 【分析】把x+y和xy看作整体，利用提公因式对x2y+xy2进行分解，代入可得． 【解答】解：∵x+y＝3，xy＝2， ∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝2×3＝6． 故答案为：6． 13．（2026•盐城二模）有一种明码为自然数的密码产生法，原理是：对于多项式x4﹣y4因式分解的结果（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝8，y＝8作为明码，则各个因式的值是：x﹣y＝0，x+y＝16，x2+y2＝128，把这些值从大到小排列得到128160，于是就可以把“128160”作为一个六位数的密码．那么，对于多项式x3﹣xy2，若给定明码x，y的值，所产生的密码为201510，请写出明码x＝15，y＝5　 ． 【分析】先对多项式进行因式分解，再根据密码生成规则，结合因式值的大小关系列出方程组，解方程组即可得到明码． 【解答】解：x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x﹣y）（x+y）， ∵x，y为自然数， ∴x+y＞x＞x﹣y， 根据密码生成规则，可知三个因式的值从大到小为20，15，10， ∴， 解得x＝15，y＝5． ∴若给定明码x，y的值，所产生的密码为201510，明码x＝15，y＝5． 故答案为：x＝15，y＝5． 14．（2026春•玄武区校级期中）已知M＝20242，N＝2021×2027，则M与N的大小关系是M＞N ． 【分析】根据条件列式分解因式代入求值即可． 【解答】解：∵M＝20242，N＝2021×2027＝（2024﹣3）×（2024+3）＝20242﹣9， ∴M﹣N＝20242﹣（20242﹣9）＝9＞0， ∴M＞N， 故答案为：M＞N． 15．（2026•巴南区模拟）已知x2﹣3x﹣3＝0，则x4﹣3x3﹣2x2﹣3x＝　3　 ． 【分析】根据因式分解解答即可． 【解答】解：由条件可知x2﹣3x＝3，x2＝3x+3， ∴x4﹣3x3﹣2x2﹣3x ＝x2•x2﹣3x3﹣2x2﹣3x ＝x2（3x+3）﹣3x3﹣2x2﹣3x ＝3x3+3x2﹣3x3﹣2x2﹣3x ＝x2﹣3x ＝3． 故答案为：3． 16．（2026春•历下区期中）如图所示，大长方形是由若干个长、宽分别为a，b的小长方形，边长为a的正方形，边长为b的正方形拼成的，由此可进行因式分解：3a2+4ab+b2＝　（a+b）（3a+b）　 ． 【分析】图中长方形的面积＝3个边长为a的正方形面积+4个长为a宽为b的小长方形的面积+1个边长为b的正方形的面积；长方形的面积＝长×宽，据此可得因式分解的式子． 【解答】解：长方形的面积可以表示为：3a2+4ab+b2； 长方形的面积也可以表示为：（a+b）（a+a+a+b）＝（a+b）（3a+b）， 所以3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b）． 故答案为：（a+b）（3a+b）． 17．（2026春•宿城区校级期中）在△ABC中，它的三边长分别为a、b、c，若a、b、c满足等式：ac+2ab﹣bc＝a2+b2，则△ABC的形状一定是　等腰三角形　 ． 【分析】先把等式两边的项移到一起，整理成一边为零的形式；对整理后的式子进行因式分解，得到两个因式相乘等于零的形式；根据三角形边长的性质（两边之和大于第三边），排除其中一个因式为零的可能；得出剩下的因式为零，即两条边相等，判断三角形形状． 【解答】解：因为ac+2ab﹣bc＝a2+b2， 所以ac﹣bc＝a2+b2﹣2ab， 即c（a﹣b）＝（a﹣b）2， 即c（a﹣b）﹣（a﹣b）2，＝0， 所以（a﹣b）（c﹣a+b）＝0， 因为△ABC的三边长分别为a、b、c， 所以c﹣a+b＞0， 所以a﹣b＝0， 即a＝b， 所以△ABC的形状一定是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 18．（2026春•玄武区期中）以下三种方法中，能够验证等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的有　①②③　 （填序号）． 【分析】用两种方法分别用代数式表示图①、图②、图③中的两个图形阴影部分的面积进而得到三个等式即可． 【解答】解：图①中，左图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成右图是底为a+b，高为a﹣b的平行四边形，所以面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此图①符合题意； 图②中，左图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成右图是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，所以面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此图②符合题意； 图③中，左图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成右图是底为a+b，高为a﹣b的平行四边形，所以面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此图③符合题意； 综上所述，图①、图②、图③均能验证等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：①②③． 19．（2026春•龙泉驿区校级月考）若一个三位正整数满足十位数字大于百位数字，且个位数字等于十位数字与百位数字之和，则称这个数为“师上数”．例如：123：∵2＞1，3＝2+1，∴123是一个“师上数”．对于一个“师上数”m，交换其百位和十位得到m1，规定，若F（m）的值为完全平方数，求出所有满足条件的“师上数”m的值是　123，156，235，268，347，459　 ． 【分析】设m＝100a+10b+（a+b）＝101a+11b，且b＞a，a+b＜10，a，b为正整数，则m1＝100b+10a+（a+b）＝101b+11a，根据的值为完全平方数，可得b﹣a＝1或b﹣a＝4即可求解． 【解答】解：由题意，设m＝100a+10b+（a+b）＝101a+11b，且b＞a，a+b＜10，a，b为正整数，则m1＝100b+10a+（a+b）＝101b+11a， ∴ ＝4b﹣4a ＝4（b﹣a）， ∵F（m）的值为完全平方数， ∴b﹣a＝1或b﹣a＝4， ∵b＞a，a+b＜10，a，b为正整数， 当b﹣a＝4时，b＝4+a，则a+b＝2a+4＜10， ∴a＝1，2，对应的m为：156，268； 当b﹣a＝1时，b＝1+a，则a+b＝2a+1＜10， ∴a＝1，2，3，4，对应的m为：123，235，347，459； 综上所述，所有满足条件的“师上数”m的值是123，156，235，268，347，459． 故答案为：123，156，235，268，347，459． 20．（2026•巴南区模拟）一个四位正整数，各数位上的数字互不相等且均不为0．当a+b＝c+d＝8时，称这个四位数M为“吉祥数”，将M的千位数字与十位数字调换，百位数字与个位数字调换后得到的新四位数记为M′，规定，G（3517）的值为　18　 ；将M的千位数字放到个位数字之后得到N，将M的个位数字放到千位数字之前得到N′，规定，若是完全平方数，且为整数，则满足条件的正整数M的和为　8906　 ． 【分析】先根据新定义计算第一个空，再用数位表示法化简G（M）和F（N），结合完全平方数的性质和整除条件，找出所有符合条件的“吉祥数”，再计算求和． 【解答】解：已知M＝3517，按规则调换数位得M′＝1735， ； 对于吉祥数，由定义得a+b＝c+d＝8， 即b＝8﹣a，d＝8﹣c，其中1≤a，b，c，d≤9，且四个数字互不相等，M′＝1000c+100d+10a+b，M＝1000a+100b+10c+d， M﹣M′＝990a+99b﹣990c﹣99d＝99（10a+b﹣10c﹣d）， 因此； 按规则得N＝1000b+100c+10d+a，N′＝1000d+100a+10b+c， N﹣N′＝990b+99c﹣990d﹣99a＝99（10b+c﹣10d﹣a）， 因此； ，由题意c﹣a是完全平方数， 因为1≤a，c≤9，且各数位互不相等， 所以0＜c﹣a≤8， 所以c﹣a＝1或c﹣a＝4； 条件为整数： 当c﹣a＝1，即c＝a+1时，原式， ， ∵为整数，则2a+1整除65，且能被4整除， 若2a+1整除65，符合3≤2a+1≤17的因数为5，13； 当2a+1＝13时，a＝6，c＝7，b＝2，d＝1，数字互不相等且不为0，且满足为整数，符合条件，得M2＝6271； 当2a+1＝5时，a＝2，c＝3，b＝6，d＝5，数字互不相等且不为0，且满足为整数，符合条件，得M1＝2635； 当c﹣a＝4，即c＝a+4时，原式， 对1≤a≤5逐一验证，均不满足原式为整数，无符合条件的M； 符合条件的M的和：2635+6271＝8906． 故答案为：18，8906． 三．解答题 21．（2026春•丰县期中）分解因式： （1）10ab+5ac； （2）x2+6xy+9y2； （3）a4﹣9； （4）3ax2﹣12ay2． 【分析】（1）利用提公因式法进行分解，即可解答； （2）利用完全平方公式进行分解，即可解答； （3）利用平方差公式进行分解，即可解答； （4）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答． 【解答】解：（1）10ab+5ac＝5a（2b+c）； （2）x2+6xy+9y2＝（x+3y）2； （3）a4﹣9＝（a2+3）（a2﹣3）； （4）3ax2﹣12ay2． ＝3a（x2﹣4y2） ＝3a（x+2y）（x﹣2y）． 22．（2026春•丰县期中）矩形的相邻两边长分别为m，n，（m＞n），其面积为6，周长为10．求m3n+2m2n2+mn3的值． 【分析】根据已知易得：2（m+n）＝10，mn＝6，从而可得m+n＝5，然后利用因式分解进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：2（m+n）＝10，mn＝6， ∴m+n＝5， ∴m3n+2m2n2+mn3 ＝mn（m2+2mn+n2） ＝mn（m+n）2 ＝6×52 ＝6×25 ＝150． 23．（2026春•丰县期中）【方法学习】配方法是初中数学的重要变形工具，核心是利用完全平方公式将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，可用于解决分解因式、求最值等多类问题． 请补全下列配方法的应用过程： （1）分解因式x2+6x﹣7：原式＝（x2+6x+9）﹣16＝（x+3）2﹣16＝　（x+7）（x﹣1）　 ； （2）求代数式x2﹣8x+10的最小值：x2﹣8x+10＝x2﹣8x+16﹣6＝（x﹣4）2﹣6， ∵（x﹣4）2≥0，∴当x＝4即（x﹣4）2＝0时，x2﹣8x+10有最小值，最小值是　﹣6　 ； 【拓展应用】（3）a，b，c分别为△ABC的三边长，当满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0时，求c的取值范围； （4）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝x，BD＝y，若x+y＝12，则四边形ABCD面积的最大值为　18　 ． 【分析】（1）先将原式配成完全平方差形式（x+3）2﹣42，再用平方差公式分解为（x+7）（x﹣1）； （2）将原式配方为（x﹣4）2﹣6，利用平方的非负性，当（x﹣4）2＝0时取最小值﹣6； （3）对等式配方得（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，由平方非负性得a＝5、b＝6，根据三角形三边关系得1＜c＜11； （4）面积，结合x+y＝12得，由二次函数性质得最大值为18． 【解答】解：（1）x2+6x﹣7 ＝（x2+6x+9）﹣16 ＝（x+3）2﹣16 ＝（x+3+4）（x+3﹣4） ＝（x+7）（x﹣1）， 故答案为：（x+7）（x﹣1）； （2）x2﹣8x+10 ＝x2﹣8x+16﹣16+10 ＝（x﹣4）2﹣6， 因为（x﹣4）2≥0， 所以当x＝4即（x﹣4）2＝0时，x2﹣8x+10有最小值，最小值是﹣6； （3）a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0， a2﹣10a+25+b2﹣12b+36＝0， （a﹣5）2+（b﹣6）2＝0， 因为平方数具有非负性， （a﹣5）2≥0，（b﹣6）2≥0， 所以a﹣5＝0，b﹣6＝0， 解得a＝5，b＝6， 因为a，b，c分别为△ABC的三边长， 可得6﹣5＜c＜6+5， 即1＜c＜11； （4）四边形ABCD的面积：， 因为x+y＝12， 所以y＝12﹣x， 则S ， 因为， 所以当x＝6时，S有最大值，最大值为18． 24．（2026春•余姚市期中）定义：对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“子陵数”．设一个“子陵数”n的个位数为x，十位数为y． （1）求各位数上的数字均不相同的“子陵数”的个数； （2）如果一个正整数p是另一个正整数q的平方，则称正整数p是完全平方数．找出所有“子陵数”中的完全平方数； （3）记，若D（n）能被（x+y）整除，且x，y均不为0，求出满足要求的“子陵数”n． 【分析】（1）根据“子陵数”的定义可得：千位为9﹣y，百位为9﹣x，即确定个位与十位，千位和百位就随之确定，因为y为整数，x为整数，所以9﹣y与y必然不同，9﹣x与x必然不同，只需要让x与y的取值不相同，且y与9﹣x的取值不相同即可使各位数上的数字均不相同，所以y有9种可能时，x只有10﹣2＝8种可能，据此即可求出各位数上的数字均不相同的“子陵数”个数； （2）分析“子陵数”的特征可得：n＝32×11×（100﹣10y﹣x），要使n为完全平方数，即要使100﹣10y﹣x＝11m2，由100﹣10y﹣x＝11m2＜100，可得m2＝1或4或9，即可求出所有“子陵数”中的完全平方数； （3）由（2）得：，D（n）能被（x+y）整除，且x，y均不为0，即设为整数，y可取的数为1～8的整数，对y进行逐一讨论即可找到满足要求的“子陵数”． 【解答】解：（1）根据“子陵数”的定义可得：千位为9﹣y，百位为9﹣x， 即确定个位与十位，千位和百位就随之确定， ∴只需考虑个位与十位的可能情况即可， ∴9﹣y≠0，即y≠9， ∴y可取的数为0∼8的整数，有9种可能，x可取的数为0～9的整数，有10种可能， ∵y为整数，x为整数， ∴9﹣y≠y，9﹣x≠x，即y的取值与9﹣y的取值不相同，x的取值与9﹣x的取值不相同， ∴只需要让x与y的取值不相同，且y与9﹣x的取值不相同即可使各位数上的数字均不相同， ∴当y取0∼8中的一个整数后，x能取的整数只有10﹣2＝8种， ∴各位数上的数字均不相同的“子陵数”有9×8＝72个． （2）由“子陵数”的定义可得：n＝1000（9﹣y）+100（9﹣x）+10y+x＝99（100﹣10y﹣x）＝32×11×（100﹣10y﹣x）， ∴要使n为完全平方数，即要使100﹣10y﹣x＝11m2， ∵y可取的数为0∼8的整数，x可取的数为0～9的整数， ∴100﹣10y﹣x＝11m2＜100， ∴m2＝1或4或9， ∴100﹣10y﹣x＝11或44或99， ∴n＝32×11×11＝1089或n＝32×11×44＝4356或n＝32×11×99＝9801． （3）由条件可知， 由条件可设为整数，y可取的数为1～8的整数，x可取的数为1～9的整数， ∵当y＝1时，， ∴为整数， ∵91＝7×13，x+1可取2∼10的整数， ∴x+1＝7，解得：x＝6， ∴此时n＝8316， ∵当y＝2时，， ∴为整数， ∵82＝2×41，x+2可取3∼11的整数， ∴此时没有满足条件的“子陵数”， ∵当y＝3时，， ∴为整数， ∵73为素数，73＝1×73，x+3可取4～12的整数， ∴此时没有满足条件的“子陵数”， ∵当y＝4时，， ∴为整数， ∵64＝8×8，x+4可取5～13的整数， ∴x+4＝8，解得：x＝4， ∴此时n＝5544， ∵当y＝5时，， ∴为整数， ∵55＝5×11，x+5可取6～14的整数， ∴x+5＝11，解得：x＝6， ∴此时n＝4356， ∵当y＝6时，， ∴为整数， ∵46＝2×23，x+6可取7～15的整数， ∴此时没有满足条件的“子陵数”， ∵当y＝7时，， ∴为整数， ∵37为素数，37＝1×37，x+7可取8～16的整数， ∴此时没有满足条件的“子陵数”， ∵当y＝8时，， ∴为整数， ∴x+8＝14，解得：x＝6， ∴此时n＝1386， 综上：满足条件的“子陵数”有8316，5544，4356，1386． 25．（2026春•宿豫区期中）初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．例如，在课本中第109页出现了这样一道题： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 小明给出了如下解答过程： 证明：设n、n+1、n+2都是自然数， ∵n（n+1）+（n+1）（n+2）…① ＝（n+1）（n+n+2） ＝（n+1）（2n+2） ＝2（n+1）2…② 且2（n+1）2能被2整除， ∴n（n+1）+（n+1）（n+2）能被2整除． ∴三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 观察小明的证明过程，然后解答下列问题： （1）在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于　因式分解　 （填写“整式的乘法”或“因式分解”）； （2）已知m＞0，且m是奇数．求证：m2﹣m+2能被2整除． 【分析】（1）根据因式分解的定义判断即可： （2）将m2﹣m+2变形为m（m﹣1）+2，再通过m＞0，且m是奇数分析出m（m﹣1）+2是偶数即可． 【解答】（1）解：∵从第①处到第②处的变形是把多项式n（n+1）+（n+1）（n+2）写成因式2、（n+1）2积的形式， ∴这个变形属于因式分解， 故答案为：因式分解； （2）证明：m2﹣m+2 ＝（m2﹣m）+2 ＝m（m﹣1）+2， ∵m＞0，且m是奇数， ∴m﹣1是偶数， ∴m（m﹣1）是偶数， ∴m（m﹣1）+2是偶数， ∴m（m﹣1）+2能被2整除， ∴m2﹣m+2能被2整除． 26．（2026春•天府新区校级期中）“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图1，是一个面积为（2a+b）2的图形，同时此图中有4个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形，4个两边长分别为a和b的长方形，可得到乘法公式（2a+b）2＝4a2+4ab+b2． （1）如图2，若2a+b＝6，4a2+b2＝24，则图中阴影部分面积的值为　　 ； （2）若（2025﹣y）（2y﹣4048）＝﹣2，求代数式（2025﹣y）2+（y﹣2024）2的值； （3）观察图3，可得到乘法公式：（a+2b+c）2＝a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc ； （4）根据以上知识，解决问题：已知a+2b+c＝5，2ab+2bc+ac＝3，求代数式a2+4b2+c2的值． 【分析】（1）先由2a+b＝6平方得4a2+4ab+b2＝36，结合4a2+b2＝24求出ab＝3；阴影面积为ab，求出结果即可； （2）设m＝2025﹣y，n＝y﹣2024，则m+n＝1，2mn＝﹣2；利用m2+n2＝（m+n）2﹣2mn计算得5． （3）图3正方形边长为a+2b+c，分割成小图形后面积相加，得展开式a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc； （4）由a+2b+c＝5平方得a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc＝25；将2ab+2bc+ac＝3乘2得4ab+4bc+2ac＝6，代入得a2+4b2+c2＝19． 【解答】解：（1）因为2a+b＝6，4a2+b2＝24， 所以（2a+b）2＝4a2+b2+4ab＝62＝36， 4ab＝36﹣（4a2+b2） ＝36﹣24 ＝12， ab＝3， 阴影面积ab． 故答案为：； （2）设m＝2025﹣y，n＝y﹣2024 （2025﹣y）（2y﹣4048）＝﹣2， 即（2025﹣y）×2（y﹣2024）＝﹣2， 所以2mn＝﹣2， m+n＝2025﹣y+y﹣2024＝1， 因为（2025﹣y）2+（y﹣2024）2 ＝m2+n2 ＝（m+n）2﹣2mn ＝12﹣（﹣2） ＝3； （3）（a+2b+c）2＝a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc； （4）因为a+2b+c＝5，2ab+2bc+ac＝3， 所以（a+2b+c）2＝52＝25， 因为（a+2b+c）2＝a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc 4ab+2ac+4bc＝2×（2ab+2bc+ac）＝2×3＝6， a2+4b2+c2＝25﹣6＝19． 27．（2026春•婺城区校级期中）已知，xy，求下列代数式的值： （1）x2y﹣xy2； （2）x2+y2． 【分析】（1）先运用提取公因式法进行因式分解，再将，整体代入求值即可； （2）先利用完全平方公式变形，再将，整体代入求值即可． 【解答】解：（1）先运用提取公因式法进行因式分解可得： ． （2）先利用完全平方公式变形可得： ． 28．（2026春•邳州市期中）阅读材料解决问题 【材料】：学习了公式法a2±2ab+b2＝（a±b）2后，某些二次三项式可以按照如下的方法分解因式和解决问题： ①将多项2x2﹣3x﹣9因式分解： （变形依据　平方差公式　 ） ＝（2x+3）（x﹣3） ②求多项式2x2﹣3x﹣9的最小值． 由①，得，因为， 所以．所以当时，2x2﹣3x﹣9的值最小，且最小值为． 【问题】（1）①中第四步变形依据是　平方差公式　 ； （2）把多项式3x2+5x﹣2分解因式并求出最小值； （3）已知x﹣2y＝3，求代数式﹣x2+2y+3x﹣2的最大值． 【分析】（1）观察式子结构即可解答； （2）根据材料，结合完全平方和平方差公式即可求解； （3）由已知得到 2y＝x﹣3，代入﹣x2+2y+3x﹣2中，再利用完全平方公式变形求解即可． 【解答】解：（1）①中第四步变形依据是平方差公式， 故答案为：平方差公式； （2）将多项式3x2+5x﹣2因式分解： 3x2+5x﹣2 ＝（x+2）（3x﹣1）； 求多项式3x2+5x﹣2的最小值： 3x2+5x﹣2 ， ∵， ∴， ∴当时，3x2+5x﹣2的值最小，且最小值为； （3）∵x﹣2y＝3， ∴2y＝x﹣3， ∴﹣x2+2y+3x﹣2 ＝﹣x2+x﹣3+3x﹣2 ＝﹣x2+4x﹣5 ＝﹣（x2﹣4x+4）+4﹣5 ＝﹣（x﹣2）2﹣1， ∴﹣（x﹣2）2≤0， ∴﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1， ∴当x＝2时，﹣x2+2y+3x﹣2的值最大，且最大值为﹣1． 29．（2026•临平区二模）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2＝ab+bc+ca． （1）证明：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0； （2）根据（1）的结果，判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）将已知等式两边乘2，移项后分组配方，得到三个完全平方的和为0．（2）根据平方的非负性，得出三边相等，判定为等边三角形． 【解答】解：（1）因为a2+b2+c2＝ab+bc+ca 所以2（a2+b2+c2）＝2（ab+bc+ca）， 所以2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ca）＝0， 即a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+c2﹣2ca+a2＝0， 所以（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0． （2）△ABC是等边三角形，理由如下： 因为（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（c﹣a）2≥0， 因为（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0， 即a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形． 30．（2026春•泰兴市期中）在学习平方差公式时，小明发现：两个连续偶数的平方差有一些有趣的结论．他定义：如果一个正整数N可以写成（2k+2）2﹣（2k）2的形式（其中k为正整数），则称N为“双偶平方差数”，k称为N的“序数”．例如，当k＝1时，42﹣22＝12，所以12是双偶平方差数，序数为1． （1）下列各数是双偶平方差数的是　①③　 ；（填序号） ①20；②27；③36． （2）小明猜想：任意一个双偶平方差数都能被4整除．请帮助小明证明他的猜想； （3）设两个双偶平方差数P和Q的序数分别为a和b（a、b为正整数）． ①若P+Q＝72，a2+b2＝34，求a和b的值； ②若P•Q可表示为64（m﹣n）+16的形式，其中m＝a2+b2，n＝ab．已知a﹣b＝2，求P和Q的值． 【分析】（1）根据“双偶平方差数”的定义求解即可； （2）根据“双偶平方差数”的定义即可证明猜想； （3）①根据已知可得 a+b＝8，a﹣b＝2 或﹣2，即可得a和b的值； ②由（2）知P＝8a+4，Q＝8b+4，可得a+b＝8，结合已知a﹣b＝2，可得a和b的值，即可得P和Q的值． 【解答】解：（1）∵20＝62﹣42，36＝102﹣82， ∴20和36是双偶平方差数， ∵（2k+2）2﹣（2k）2＝（4k2+8k+4）﹣4k2＝8k+4＝4（2k+1），（k为正整数）， ∴“双偶平方差数”必为偶数， ∴27不是“双偶平方差数”， 故答案为：①③； （2）（2k+2）2﹣（2k）2＝（4k2+8k+4）﹣4k2＝8k+4＝4（2k+1）， ∵2k+1是整数， ∴8k+4能被4整除； （3）①∵两个双偶平方差数P和Q的序数分别为a和b（a、b为正整数）， ∴P＝（2a+2）2﹣（2a）2＝8a+4Q＝（2b+2）2﹣（2b）2＝8b+4， ∵P+Q＝72， ∴P+Q＝（8a+4）+（8b+4）＝8a+8b+8＝8（a+b）+8＝72， ∴a+b＝8， ∵a2+b2＝34， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64， ∴ab＝15， ∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝34﹣2×15＝4， ∴a﹣b＝2或﹣2， 由，解得， ，解得， ∴a＝3，b＝5；a＝5，b＝3； ②由 （2）知 P＝8a+4，Q＝8b+4， 则 P•Q＝（8a+4）（8b+4）＝64ab+32（a+b）+16． ∵P•Q＝64（m﹣n）+16，且m＝a2+b2n＝ab， ∴64ab+32（a+b）+16＝64（a2+b2﹣ab）+16． ∴a+b＝2（a﹣b）2＝8， ∴， 解得a＝5，b＝3， ∴P＝8a+4＝44，Q＝8b+4＝28． 1 学科网（北京）股份有限公司 $