山东省枣庄市第八中学2025-2026学年高一下学期5月数学素能综合检测试题

高一年级数学素能综合检测参考答案 一、选择题： DDAC ACBA 9 AC 10 BCD 11 AB 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．11 13．169 14． 三、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【解析】（1）因为，，所以， 由正弦定理得，而三角形中有， 所以，再由二倍角公式得，且， 所以．（5分） （2）若选条件①：． 因为，由（1）可知，所以由余弦定理可得：， 即，得，， 方程无解，所以a边不存在，故不存在．（13分） 若选条件②：． 因为，由（1）可知，所以． 同理，得， 所以在中由正弦定理，得，（9分） 再由余弦定理，得， 即，解得或（舍去）． 所以三角形的周长．（13分） 若选条件③：的面积为． 因为，由（1）可知，所以， 由三角形面积公式，得．（8分） 再由余弦定理，得，即．（10分） 所以，所以．所以三角形的周长． 16．【解析】（1）连接，E，F分别是，中点，，平面，平面，平面， 在矩形中，D是中点，且，是平行四边形，，平面，平面，平面，又，，平面，平面平面，（4分）平面，平面．（6分） （2）过D作交于点H． 直棱柱中，平面平面，又平面平面，，平面，平面，（9分） ，，，又D为中点，． ，．（15分） 17．【解析】（1）由题意可知，解得；（3分） （2）由（1）及图知，， 所以面试成绩前34%候选者（分数从高到低）的最低分位于区间，设为x， 所以，可得．（6分） （3）设第二组、第四组的平均数分别为，，方差分别为，， 且各组频率之比为： ， 所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者人， 第四组面试者人，（8分） 则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数，（10分） 第二组、第四组面试者的面试成绩的方差 ， 故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是．（15分） 18．【解析】（1）因为平面，平面，所以， 又因为，，且两直线在平面内，所以平面， 因为平面，所以， 因为，且N为中点，所以，（4分） 又因为，所以平面，又因为平面，所以．（5分） （2）连接，因为平面，， 所以为与平面所成角，（7分） 又因为且，N为中点，所以，所以，即， 又因为且，所以， 所以，所以与平面所成角的余弦值为．（11分） （3）由已知得，，， ，（13分） 设点C到平面的距离h，则． 由，即，解得，即点C到平面的距离为．（17分） 19．【解析】（1）由题可知，正四棱锥中， 过点P作，垂足为M，则． 正四棱锥的体积为， 侧面积为．因为， 所以正四棱柱的体积为， 去掉上底面的表面积为． 所以该几何体的体积为，表面积为．（7分） （2）如图，将侧面和侧面展开， 易知的最小值为展开图中A，Q，N三点共线时的最小值，即展开图中点A到线段上点的最小值．由题可知，． 过点P作，垂足为M，则， 因为正方形中，，所以． 所以，所以，所以．（12分） 因为，． 因为，所以为锐角； ，所以为锐角， 所以的最小值为点A到的距离． 所以． 即的最小值为．（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级数学素能综合检测 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，其中i为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．设l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法中错误的是（ ） A．若平面，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．如图，为的边上的中线，且，，那么为（ ） A． B． C． D． 4．已知点，，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为（ ） A． B． C． D． 5．中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的大小为（ ） A． B． C．或 D．或 6．已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现再加入一个数据8，则这5个数据的方差为（ ） A． B． C． D． 7．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图是阳马，平面，，，．则该阳马的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 8．长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为，，，则（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中（）（），则下列说法正确的是（ ） A．若样本数据，，…，的极差为M，则样本数据，，…，的极差为 B．若样本数据，，…，的中位数为N，则样本数据，，…，的中位数为 C．若样本数据，，…，的平均数为，则样本数据，，…，的平均数为 D．若样本数据，，…，的方差为，则样本数据，，…，的方差为 10．已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为2，则关于此正四棱台的结论正确的有（ ） A．侧面积为 B．体积为 C．侧面与底面所成角的正切值为 D．外接球的表面积为 11．已知三棱柱为正三棱柱，且，，D是的中点，点P是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A．四面体外接球的体积为 B．若直线与底面所成角为，则取值范围为 C．若，则异面直线与所成的角为 D．过且与垂直的截面与交于点E，则棱锥体积最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．样本数据7，8，10，11，12，13，15，17的第40百分位数为__________． 13．现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…，499，利用随机数表抽取样本，从下表第1行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则抽出的第三袋牛奶的编号是__________． 35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719 98105 07185 12867 35807 44395 23879 33211 14．在棱长为1的正方体中，E、F分别是棱、的中点，P是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是__________；与平面所成角的正切值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，，． （1）求． （2）再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为 16．（15分）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，D，E，F分别是棱，，的中点． （1）证明：平面； （2）若，求三棱锥的体积． 17．（15分）八中东校高一年级拔河比赛成功举行．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）求a，b的值； （2）若面试成绩前34%的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分； （3）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差． 18．（17分）如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，M，N分别为，中点． （1）求证：． （2）求与平面所成角的余弦值． （3）求点C到平面的距离． 19．（17分）现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的3倍． （1）若，，求该几何体的体积与表面积． （2）若正四棱锥的侧棱长为6，，且Q，N分别是线段，上的动点，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $