山东省枣庄市第八中学2025-2026学年高一下学期5月数学素能综合检测试题

高一年级数学素能综合检测 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 O 求的。 2+i 1.己知复数二= 1-i’ 其中i为虚数单位，则复数三的虚部为() c 2.设1，m是两条不同的直线，，B是两个不同的平面，则下列说法中错误的是() A.若1⊥平面a,a/1B,mcB,则1⊥mB.若l⊥a,CB,l1∥m,则a⊥B .: C.若1⊥o,m⊥o,则1/m D.若l/1a,l∥B,则a11B : : 3.如图，AD为VABC的边BC上的中线，且AD=a,AC=b,那么AB为() ·: 不 A.2a-b B.a-26 C.2a+b D.a+2b 4. 已知点A(-1,-1),B(2,-2),C0,1),则向量B在向量AC方向上的投影向量的坐标为() : V52W5 .: B.（5,25) D.(1,2) 5 O 5.VABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2+c2-b2=√5ac,则∠B的大小为() ： A. 6 8. 3 0.或 3 6.已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现再加入一个数据8，则这5个数据的方差为() 号 c : 7.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将 底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图P-ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD,PA=5, : : AB=3,BC=4,则该阳马的外接球的表面积为() : 班 A .: 试题第1页（共4页） : : A.125V2m B.50元 C.100π D.500r 3 3 8.长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为，B,Y,则() A.cos a+cos B+cos'y=2 B.cos2 a+cos?B+cos'y=1 C.sin2a+sin2B+sin2y=2 D.sin2a+sin2 B+sin2y=3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.有一组样本数据5，，，n,由这组数据得到新样本数据y,,,y,其中 片=x+b(a>0)(i=1,2,,m),则下列说法正确的是() A.若样本数据x,5,,的极差为M,则样本数据，y2,,yn的极差为aM B.若样本数据，x2,,x的中位数为N,则样本数据，y2,,yn的中位数为N C.若样本数据，，，x的平均数为x,则样本数据y1,y2,,ym的平均数为a+b D.若样本数据5,3，，x的方差为2，则样本数据，，，yn的方差为心 10.已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为2，则关于此正四棱台的结论正确的有() A.侧面积为3√5 B.体积为282 3 C.侧面与底面所成角的正切值为√2 D.外接球的表面积为40元 11.己知三棱柱ABC-AB,C1为正三棱柱，且A4=2,AB=2√5，D是BC的中点，点P是线段AD上的 动点，则下列结论正确的是() A.四面体A-BCB外接球的体积为20W5元 3 √215 B.若直线PB与底面ABC所成角为O,则cos日取值范围为 72 C.若4P=2,则异面直线与C所成的角为号 D.过BC且与AP垂直的截面a与AP交于点B,则枝锥P-BCB体积最小值为35 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.样本数据7,8,10,11,12,13,15,17的第40百分位数为 13.现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000,001,002，.499，利用随机数表抽取样 本，从下表第1行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续.则抽 试题第2页（共4页） 出的第三袋牛奶的编号是 35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719 9810507185 12867 35807 44395 23879 33211 14.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，E、F分别是棱BC、CC1的中点，P是侧面BB,CC内一点， 若AP/1平面AEF,则线段AP长度的取值范围是_；AD与平面ACD所成角的正切值为一 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分)在vABC中，b=26,in2B-46sin(4+B）. 3 (1)求c0sB, (2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得VABC存在，求VABC 的周长， 条件①：c=10: 条件②：co4=6 条件③：VABC的面积为5√2 16.(15分)如图，在直三棱柱ABC-AB,C1中，VABC是等边三角形，D,E,F分别是棱B,C,AC, BC的中点. B D B (1)证明：AD/平面C1EF; (2)若2A4=3AB=3,求三棱锥A-C1DE的体积. 17.（15分)八中东校高一年级拔河比赛成功举行.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组： 第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率 分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同. A频率 组距 0.045 b 0.020 0455565758595分数 试题第3页（共4页） (1)求a,b的值： (2)若面试成绩前34%的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分： O (3)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者.若本次宣传者中第二组面试者的 面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据 此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差， 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面四边形ABCD为直角梯形，AD/BC, AD LAB,PA=AD=AB=2,BC=1,M,N分别为PC,PB中点. D : D A (1)求证：PB⊥DM. (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值. (3)求点C到平面PBD的距离. 19.(17分)现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥P-AB,CD,下部是正四棱柱 ABCD-ABCD(如图所示)，且正四棱柱的高OO是正四棱锥的高PO的3倍. A B ⑧ 0: B 性 (1)若AB=6,PO1=2,求该几何体的体积与表面积. O (2)若正四棱锥的侧棱长为6，PO=2,且Q,N分别是线段AB,PB,上的动点，求AQ+ON的最小值. 试题第4页（共4页）高一年级数学素能综合检测参考答案 一、选择题：DDAC ACBA 9 AC 10 BCD 11 AB 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.11 13.169 32V5 14 4,2 2 三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解折】(1)因为b=26,csim2B=4W5 Fin(A+B,所以c,sim2B=3b-sim4 里得sinCsin2 sin Bsin(A+B),而三角形中有sinC生s 所以sin2B=3sinB,再由二倍角公式得2 sin BcosB=SnB,且snB≠0， 所以csB-专C5分》 (2)若选条件①：c=10 因为b=26,由(1)可知cosB行，所以由余弦定理可得：公=d+c2-2cosB, 1 即24=1+100-20a3得30-20a+228=0,△=(20)°-4x3×228=-236<0, 方程无解，所以a边不存在，故VABC不存在.(13分) 若选条件Q:co4=V6 3 因为6=26，由（1）①可知c0sB=写所以血B=c=2点 3 同理co4=6,得in4=V-cosA=5 3 3 所以在ABC中由正弦定理a=b Sin=,得a=。云×二=3，(9分) 2W231 3 再由余弦定理b2=d+c2-2 c.cosB,得24=9+c2-2x3c×} 3 即c2-2c-15=0,解得c=5或c=-3(舍去) 所以三角形的周长a+b+c=3+26+5=8+2√6.(13分) 若选条件③：VABC的面积为5√2 因为b=26,由①)可知cosB-写所以smB=M-csB=25 由三角形面积公式了=a: 5 acsin=V2。 ac=5√2，得ac-15.(8分) 再由余弦定理b2=ad2+c2-2 ac.cos B,得24=a2+c2-10,即a2+c2=34.(10分) 114 所以(a+c)=d2+c2+2ac=34+30=64,所以a+c=8.所以三角形的周长a+b+c=(a+c)+b=8+2W6 16.(【解析】(1)连接BD,E,F分别是AC,BC中点，.EF/1AB,EFC平面C,EF,AB平面C1EF, .AB/1平面CEF 在矩形B8CC中，D是8C中点，：BF11DC且BF-号BC=AG=DC,BDCF是平行四边形， .BD//FC,FC1C平面C,EF,BDt平面CEF,BDII平面C1EF.又AB∩BD=B,AB,BDC平面ABD, .平面ABD1/平面CEF,（4分)：ADc平面ABD,∴.AD11平面CEF.(6分) (2)过D作DH⊥AC1交AC于点H. 直棱柱ABC-AB,CG中，平面ACCA⊥平面ABC1,又平面ACCA∩平面AB,C=AC1,DH⊥AC1,.DH⊥ 平面ACCA,.DH1平面ACE.(9分) B 24=3MB=3,48=L4=多又D为4G中点，DH=5 H D s2他cG-3x5×3& 1 2228 ”ea=eDn=3 .(15分) 38432 10a+10b=0.3 a=0.005 17.【解析】(1)由题意可知， 10×(0.045+0.020+m)=0.7解得 =0.025:(3分) (2)由(1)及图知，(0.020+0.005)×10<0.34<(0.045+0.020+0.005)×10， 所以面试成绩前34%候选者（分数从高到低）的最低分位于区间[65,75)，设为x, 所以0.25+(75-x)×0.045=0.34,可得x=73.(6分) (3)设第二组、第四组的平均数分别为x1,x2,方差分别为5，， 且各组频率之比为： (0.005x10):(0.025×10):(0.045×10):(0.02×10):(0.005×10)=1:5:9:4:1, 所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者1+5+9+4中1 ×20=5人， 第四组面试者 1+5+9+4+1 ×20=4人，(8分) 214 则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数下-5x62+4×80=70,(10分) 9 第二组、第四组面试者的面试成绩的方差 -高+（医-到]都1（医]-g30+6-70+0-80-701100 9 故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是1030.(15分) 9 18.(【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,所以PA⊥AD, 又因为AD⊥AB,AB∩PA=A,且两直线在平面内，所以AD⊥平面PAB, 因为PBC平面PAB,所以AD⊥PB, 因为PA=AB=2,且N为PB中点，所以AN⊥PB,(4分) 又因为AN∩AD=A,所以PB⊥平面ANMD,又因为DMc平面A☑MD,所以PB⊥DM,(5分) (2)连接DN,因为PB⊥平面AMD,PB∩BD=B, 所以∠BDN为BD与平面AMMD所成角，(7分) 又因为PA=AB=2且PA⊥AB,N为PB中点，所以N=√2，所以ND=AN+AD=2+4=6,即ND=√6， 又因为AD=AB=2且AB⊥AD,所以BD=2√5， 所以cos∠BDN-D-6-5,所以BD与平面4MMD所成角的余弦值为5.(11分) BD2√2-2 2 D (3)由己知得，BD=VAB2+AD=2√2，PB=VAB2+AP2=2√2， PD=VAP2+AD=2√2 am吉n×PA=号×3x2xx2-3. 32 =313分) 设点C到平面D的距离么海专知*h写225 1 xh33 2 3 由，m-么n:即？25h,解得-9，即点C到平面PBD的距离为5.(17分) 33 3 19.【解析】(1)由题可知，正四棱锥P-AB,CD中AD=AB,=AB=6, 过点P作PM LAB,垂足为M,则PM=√PO+QM=V4+9=V3 3/4 正四枝维P-4BCA的体积为，ea-吉5eaP0-4B×2-AB×2=24, 侧面积为S=4×号x6×V13=12W3. 因为A4=BB,=CC1=DD=OO=6, 所以正四棱柱ABCD-ABCD的体积为AB2OO=36×3PO=216, 去掉上底面的表面积为S2=5×6×6=180, 所以该几何体的体积为24+216=240，表面积为12√13+180=180+12M3.（7分) (2)如图，将侧面PAB,和侧面ABB,A展开， 易知AQ+QN的最小值为展开图中A,O,N三点共线时AN的最小值，即展开图中点A到线段PB,上点的最小 值.由题可知A4=BB=OO=3PO=6,PB,=6. 过点P作PM⊥AB,垂足为M,则PM2=PO+OM2, 因为正方形AB,CD中，OM=B,M,所以PB2=PMP+MB2=PO+2MB2 所以2MB2=PB2-PO2=32,所以MB=4,所以AB=AB=8.(12分) 因为AP2 +(6+PM}=72+24V5,AB=VAB2+BB=10. 因为0APB=4P+PB-A-8+245 2AP-PB >0,所以∠APB为锐角： 2W72+24v5-6 COS LAB P=AB PB:-AP 64-24V5 8-3/5 2AB,·PB 120 15 0,所以∠PB,A为锐角， 所以AN的最小值为点A到PB的距离 所以ANmn=AB,sin∠AB,P=l0 8-35 -10x45+6_8V5+12 15 15 3 即40+OW的最小值为8W5+12 (17分) 3 B MO B D 0 4/4