学易金卷：高一数学下学期期末模拟卷【广东专用，测试范围：人教A版必修第二册】

**基本信息** 以三余弦定理证明、科普公益大赛概率应用为特色，覆盖复数、统计、立体几何等必修二核心知识，注重数学思维与实际应用结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数运算、百分位数、独立事件概率、空间线面关系|基础题与中档题结合，如第2题考查统计百分位数，第5题辨析空间位置关系| |填空题|3题/15分|旋转体体积、圆台体积比、外接圆最值|注重空间想象，如第12题旋转体体积计算| |解答题|5题/77分|解三角形、立体几何证明与体积、概率应用、三余弦定理|融合实际情境（科普大赛概率）与定理证明（三余弦定理），如第18题以算法大赛为背景考查概率计算，第19题证明三余弦定理培养推理能力|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知i为虚数单位，复数，则（   ） A． B． C． D． 2．有一组数据按从小到大排序如下：85，86，88，90，94，则这组数据的第30百分位数，第60百分位数分别是（    ）． A．86，88 B．86，89 C．87，88 D．87，89 3．甲、乙、丙三人破译一份密码，若三人各自独立破译出密码的概率为，，，且他们是否破译出密码互不影响，则这份密码被破译出的概率为（    ） A． B． C． D． 4．已知D为的边的中点，O为上一点，且满足，设，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题一定正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，则 6．一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为1cm和5cm，高为10cm（器皿厚度忽略不计）.现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为5cm，则溶液体积为（   ） A． B． C． D． 7．已知，是第四象限角，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 B．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 C．若是关于的方程的一个根，则 D．若，则的模为13 10．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（    ） A．A与B互斥 B．A与C相互独立 C． D． 11．已知正方体 的棱长为是正方形 的中心， 是棱 (包含顶点) 上的动点， 则以下结论正确的是（      ） A．的最小值为 B．不存在点，使与 所成角等于 C．二面角正切值的取值范围为 D．当为中点时，三棱锥的外接球表面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在半径为1的半圆中，挖去一个三角形ABC，其中，再将所得平面图形（如图）以线段AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为__________. 13．已知圆台的上底半径为2，下底半径为4，则经过母线中点且与底面平行的平面将圆台分成上下两部分的体积之比为__________. 14．已知圆为的外接圆，，则的最大值为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求角A； (2)若的外接圆的面积为，求面积的最大值． 16．（15分）如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点． (1)求证：； (2)若，求三棱锥的体积． (3)若，当二面角的正切值为时，求直线与平面所成的角． 17．（15分）已知函数的最小值为． (1)求m的值； (2)当时，函数的取值范围是，求n的取值范围； (3)当时，求方程所有实数根的和． 18．（17分）为了鼓励社会力量参与科技创新拔尖人才贯通式培育工作，提高青少年对人工智能的整体认知和应用水平，某地区面向该区青少年举办了“算法设计”科普公益大赛． (1)若A，B，C三个赛区进入决赛的分别有1人、2人、3人，现需从这6人中随机选择2人组成一队进行模拟测试，求这两人来自同一个赛区的概率； (2)某个算法编程题，若甲同学能解决的概率为0.8，乙同学能解决的概率为0.9，且甲、乙能否解决问题相互独立，求甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率； (3)对甲、乙两位同学进行两轮测试，若每轮测试中甲、乙同学各解决一道题，每一轮中的每一道题甲、乙能解决的概率分别为0.8和0.9，且在每轮测试中甲、乙能否解决问题互不影响，每一轮的结果也互相不影响，求两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率． 19．（17分）三余弦定理是空间角的重要结论之一，如图1：设点为平面外一点，过点的斜线在平面上的射影为为平面上的任意直线，则.    (1)证明以上三余弦定理； (2)如图2，在平行六面体中，，. ①证明：平面平面； ②若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知i为虚数单位，复数，则（   ） A． B． C． D． 2．有一组数据按从小到大排序如下：85，86，88，90，94，则这组数据的第30百分位数，第60百分位数分别是（    ）． A．86，88 B．86，89 C．87，88 D．87，89 3．甲、乙、丙三人破译一份密码，若三人各自独立破译出密码的概率为，，，且他们是否破译出密码互不影响，则这份密码被破译出的概率为（    ） A． B． C． D． 4．已知D为的边的中点，O为上一点，且满足，设，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题一定正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，则 6．一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为1cm和5cm，高为10cm（器皿厚度忽略不计）.现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为5cm，则溶液体积为（   ） A． B． C． D． 7．已知，是第四象限角，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 B．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 C．若是关于的方程的一个根，则 D．若，则的模为13 10．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（    ） A．A与B互斥 B．A与C相互独立 C． D． 11．已知正方体 的棱长为是正方形 的中心， 是棱 (包含顶点) 上的动点， 则以下结论正确的是（      ） A．的最小值为 B．不存在点，使与 所成角等于 C．二面角正切值的取值范围为 D．当为中点时，三棱锥的外接球表面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在半径为1的半圆中，挖去一个三角形ABC，其中，再将所得平面图形（如图）以线段AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为__________. 13．已知圆台的上底半径为2，下底半径为4，则经过母线中点且与底面平行的平面将圆台分成上下两部分的体积之比为__________. 14．已知圆为的外接圆，，则的最大值为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求角A； (2)若的外接圆的面积为，求面积的最大值． 16．（15分）如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点． (1)求证：； (2)若，求三棱锥的体积． (3)若，当二面角的正切值为时，求直线与平面所成的角． 17．（15分）已知函数的最小值为． (1)求m的值； (2)当时，函数的取值范围是，求n的取值范围； (3)当时，求方程所有实数根的和． 18．（17分）为了鼓励社会力量参与科技创新拔尖人才贯通式培育工作，提高青少年对人工智能的整体认知和应用水平，某地区面向该区青少年举办了“算法设计”科普公益大赛． (1)若A，B，C三个赛区进入决赛的分别有1人、2人、3人，现需从这6人中随机选择2人组成一队进行模拟测试，求这两人来自同一个赛区的概率； (2)某个算法编程题，若甲同学能解决的概率为0.8，乙同学能解决的概率为0.9，且甲、乙能否解决问题相互独立，求甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率； (3)对甲、乙两位同学进行两轮测试，若每轮测试中甲、乙同学各解决一道题，每一轮中的每一道题甲、乙能解决的概率分别为0.8和0.9，且在每轮测试中甲、乙能否解决问题互不影响，每一轮的结果也互相不影响，求两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率． 19．（17分）三余弦定理是空间角的重要结论之一，如图1：设点为平面外一点，过点的斜线在平面上的射影为为平面上的任意直线，则.    (1)证明以上三余弦定理； (2)如图2，在平行六面体中，，. ①证明：平面平面； ②若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B D B C B D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 BC BC ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）因为，由余弦定理得， 所以，由正弦定理得，因为且，所以， 又因为，所以. (5分） （2）若的外接圆的面积为，设外接圆半径为，则，解得， 由正弦定理得，又因为，即，(7分） 所以，当且仅当时，等号成立，，(12分） 所以面积的最大值为.(13分） 16．（15分） 【详解】（1）如图所示，设点是棱的中点，连接，，，由及点是棱的中点，可得， 因为平面平面，平面平面，平面，故平面， 又因为平面，所以，(3分） 又因为四边形为菱形，所以， 而是的中位线，所以，可得， 又由，且平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以．(5分） （2）若，由于菱形，易证正三角形中，由于平面， 所以．(8分） （3）设点是与的交点，由（1）可知平面，又，均在平面内，从而有，， 故为二面角的平面角，所以，(10分） 所以， 因为，所以为等边三角形． 不妨设菱形的边长为，． 则在直角中，，， ，所以，(12分） 因为平面，所以为直线与平面所成的角． 则，所以直线与平面所成的角为45°(15分） 17．（15分） 【详解】（1）由题意， 因为函数的最小值为，所以，解得；(3分） （2）由（1）可知，当时，， 因为当时，函数的取值范围是，所以，解得，所以n的取值范围为；(7分） （3）因为或，(9分） 在同一平面直角坐标系中画出函数、以及的图象，如图所示， (11分） 令，可得；令，可得. 所以当时，方程所有实数根的和为.(15分） 18．（17分） 【详解】（1）记来自A赛区的同学为，来自B赛区的同学为，，来自C赛区的同学为，，．设“从6人中随机选择2人”；“选择的两人来自同一个赛区”. 则 ，有15种可能的结果.，有4种可能的结果.所以，所以这两人来自同一个赛区的概率为.(5分） （2）设“甲能解决问题”，“乙能解决问题”，“甲不能解决问题”，“乙不能解决问题”，“甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决问题”， 显然，，，.因为事件，互斥，事件D，E相互独立， 所以， 所以甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率为0.26. (10分） （3）设“两轮测试中甲解决一道题”，“两轮测试中甲解决两道题”，“两轮测试中乙解决一道题”，“两轮测试中乙解决两道题”，“两轮测试中甲、乙共解决三道题”． ；； ；．(12分） 因为，互斥，事件与，与相互独立， 所以， 所以两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率为0.3744．(15分） 19．（17分） 【详解】（1）在射线上任取不同于点的点，设点在平面上的射影点为，则平面，，在平面内过点作于点，连接，因为平面，平面，则，因为，，平面， 则平面，又平面，因此，， 所以.(5分）    （2）①在平行六面体中，连接，连接， 由，得是菱形，则，为中点， 又，则≌，，因此， 而平面，则平面，又平面， 所以平面平面.(7分）    ②由①得，在平面内射影为，令在平面内射影为，则平面，是直线与平面所成角，即，，由①得平分，即，由（1）得，，(12分） ， 由平面平面，得点到平面的距离等于点到平面的距离， 由，得，又，因此，解得，所以点到平面的距离为.(12分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 全解全析 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知i为虚数单位，复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法一：∵，∴. 法二：∵，∴. 故选：B. 2．有一组数据按从小到大排序如下：85，86，88，90，94，则这组数据的第30百分位数，第60百分位数分别是（    ）． A．86，88 B．86，89 C．87，88 D．87，89 【答案】B 【详解】因为，故该组数据的第百分位数为， 因为，故该组数据的第百分位数为. 故选：B. 3．甲、乙、丙三人破译一份密码，若三人各自独立破译出密码的概率为，，，且他们是否破译出密码互不影响，则这份密码被破译出的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设这份密码被破译出为事件， 所以, 所以, 故选:D. 4．已知D为的边的中点，O为上一点，且满足，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，因为D为的边的中点，所以， 因为，所以， ． 故选：B. 5．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题一定正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，则 【答案】C 【详解】对于A，，且，可能与平行或在内，同样可能在平面内，A错； 对于B，，可能在内，，则可能在内，可能与相交，B错； 对于C，，且，则，又，则，C正确； 对于D，，且，可能相交，可能平行，也可能异面，D错； 故选：C。 6．一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为1cm和5cm，高为10cm（器皿厚度忽略不计）.现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为5cm，则溶液体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为溶液高度恰为5cm，所以溶液的上底面半径为， 下底面半径为，高为， 所以溶液的体积. 故选：B 7．已知，是第四象限角，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得， 即，所以 ∵是第四象限角，∴. 所以. 故选：D. 8．如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】法1：以A为原点，建立平面直角坐标系如图：    依题意可知：，，，，则：， ∴ ，， ∴． 故选：D. 法2：∵M，N分别是BC，AC的中点， ∴，． ∵与的夹角等于∠MPN，∴． ∵ ， ， ， ∴． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 B．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 C．若是关于的方程的一个根，则 D．若，则的模为13 【答案】BC 【详解】A选项，因为点的坐标为，则对应的点为，所以在第四象限，故A选项错误； B选项，，则依据复数模长的几何意义可知，表示一个圆环，面积为，故B选项正确； C选项，是关于的方程的一个根， 则，即， 整理得，解得，所以，故C选项正确； D选项，，则，故D选项错误； 故选：BC. 10．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（    ） A．A与B互斥 B．A与C相互独立 C． D． 【答案】BC 【详解】根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则 ， ， ， 所以有， ， 对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误； 对于B，，A、C相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误． 故选：BC． 11．已知正方体 的棱长为是正方形 的中心， 是棱 (包含顶点) 上的动点， 则以下结论正确的是（      ） A．的最小值为 B．不存在点，使与 所成角等于 C．二面角正切值的取值范围为 D．当为中点时，三棱锥的外接球表面积为 【答案】ACD 【详解】对于A， 最小值时，为中点.作个草图，取中点，连接． 此时，故A正确． 设与所成的角为θ，当与重合时，， 当在中点时，．则存在点 ，使. 即存在点，使与 所成角等于 .故B错误． 如图，过中点作于，则为二面角的平面角， 因此，故C正确． 设三棱锥的外接球的球心为，显然平面，为等腰直角三角形，外心为M， 则O可以由M沿着方向移动即可,O一定在上． 为中点时，半径，于是． 在中有，解得， 于是球表面积为.故D正确． 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在半径为1的半圆中，挖去一个三角形ABC，其中，再将所得平面图形（如图）以线段AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为__________. 【答案】/ 【详解】旋转形成的几何体的体积是球的体积减去两个圆锥的体积. 球的体积为：.圆锥的体积为：.所以所得几何体的体积为：.故答案为： 13．已知圆台的上底半径为2，下底半径为4，则经过母线中点且与底面平行的平面将圆台分成上下两部分的体积之比为__________. 【答案】 【详解】设圆台上、下底面圆的圆心分别为、，将圆台还原为圆锥，设圆锥的顶点为， 设经过母线中点且与底面平行的平面所成截面圆的圆心为，设圆、圆、圆的半径分别为、、，则，，则，设圆锥、圆锥、圆锥的体积分别为、、， 因为，则， ，则，所以，，， 则经过母线中点且与底面平行的平面将圆台分成上下两部分的体积之比为，. 故答案为：. 14．已知圆为的外接圆，，则的最大值为______________. 【答案】3 【详解】设圆的半径为，则，解得， 因为，所以，取的中点，连接，则， 故， ，当三点共线时，取得最大值，最大值为， 故的最大值为. 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求角A； (2)若的外接圆的面积为，求面积的最大值． 【详解】（1）因为，由余弦定理得， 所以，由正弦定理得，因为且，所以， 又因为，所以. (5分） （2）若的外接圆的面积为，设外接圆半径为，则，解得， 由正弦定理得，又因为，即，(7分） 所以，当且仅当时，等号成立，，(12分） 所以面积的最大值为.(13分） 16．（15分）如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点． (1)求证：； (2)若，求三棱锥的体积． (3)若，当二面角的正切值为时，求直线与平面所成的角． 【详解】（1）如图所示，设点是棱的中点，连接，，，由及点是棱的中点，可得， 因为平面平面，平面平面，平面，故平面， 又因为平面，所以，(3分） 又因为四边形为菱形，所以， 而是的中位线，所以，可得， 又由，且平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以．(5分） （2）若，由于菱形，易证正三角形中，由于平面， 所以．(8分） （3）设点是与的交点，由（1）可知平面，又，均在平面内，从而有，， 故为二面角的平面角，所以，(10分） 所以， 因为，所以为等边三角形． 不妨设菱形的边长为，． 则在直角中，，， ，所以，(12分） 因为平面，所以为直线与平面所成的角． 则，所以直线与平面所成的角为45°(15分） 17．（15分）已知函数的最小值为． (1)求m的值； (2)当时，函数的取值范围是，求n的取值范围； (3)当时，求方程所有实数根的和． 【详解】（1）由题意， 因为函数的最小值为，所以，解得；(3分） （2）由（1）可知，当时，， 因为当时，函数的取值范围是，所以，解得，所以n的取值范围为；(7分） （3）因为或，(9分） 在同一平面直角坐标系中画出函数、以及的图象，如图所示， (11分） 令，可得；令，可得. 所以当时，方程所有实数根的和为.(15分） 18．（17分）为了鼓励社会力量参与科技创新拔尖人才贯通式培育工作，提高青少年对人工智能的整体认知和应用水平，某地区面向该区青少年举办了“算法设计”科普公益大赛． (1)若A，B，C三个赛区进入决赛的分别有1人、2人、3人，现需从这6人中随机选择2人组成一队进行模拟测试，求这两人来自同一个赛区的概率； (2)某个算法编程题，若甲同学能解决的概率为0.8，乙同学能解决的概率为0.9，且甲、乙能否解决问题相互独立，求甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率； (3)对甲、乙两位同学进行两轮测试，若每轮测试中甲、乙同学各解决一道题，每一轮中的每一道题甲、乙能解决的概率分别为0.8和0.9，且在每轮测试中甲、乙能否解决问题互不影响，每一轮的结果也互相不影响，求两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率． 【详解】（1）记来自A赛区的同学为，来自B赛区的同学为，，来自C赛区的同学为，，．设“从6人中随机选择2人”；“选择的两人来自同一个赛区”. 则 ，有15种可能的结果.，有4种可能的结果.所以，所以这两人来自同一个赛区的概率为.(5分） （2）设“甲能解决问题”，“乙能解决问题”，“甲不能解决问题”，“乙不能解决问题”，“甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决问题”， 显然，，，.因为事件，互斥，事件D，E相互独立， 所以， 所以甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率为0.26. (10分） （3）设“两轮测试中甲解决一道题”，“两轮测试中甲解决两道题”，“两轮测试中乙解决一道题”，“两轮测试中乙解决两道题”，“两轮测试中甲、乙共解决三道题”． ；； ；．(12分） 因为，互斥，事件与，与相互独立， 所以， 所以两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率为0.3744．(15分） 19．（17分）三余弦定理是空间角的重要结论之一，如图1：设点为平面外一点，过点的斜线在平面上的射影为为平面上的任意直线，则.    (1)证明以上三余弦定理； (2)如图2，在平行六面体中，，. ①证明：平面平面； ②若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 【详解】（1）在射线上任取不同于点的点，设点在平面上的射影点为，则平面，，在平面内过点作于点，连接，因为平面，平面，则，因为，，平面， 则平面，又平面，因此，， 所以.(5分）    （2）①在平行六面体中，连接，连接， 由，得是菱形，则，为中点， 又，则≌，，因此， 而平面，则平面，又平面， 所以平面平面.(7分）    ②由①得，在平面内射影为，令在平面内射影为，则平面，是直线与平面所成角，即，，由①得平分，即，由（1）得，，(12分） ， 由平面平面，得点到平面的距离等于点到平面的距离， 由，得，又，因此，解得，所以点到平面的距离为.(12分） 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) D C D A --E B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $