湖南师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

高一年级阶段练习 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1．若，则实数a等于（ ） A． B． C．2 D．3 2．如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（ ） A． B． C． D．4 3．已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 4．设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ） A．存在无数条直线与，都平行 B．存在无数个平面与，都垂直 C．存在两条平行直线a，b，，，， D．存在两条异面直线a，b，，，， 5．从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之和大于等于10的概率为（ ） A． B． C． D． 6．如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段，C，O，D为线段AB的四等分点，则该圆台的体积为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，，为偶函数，且，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知平面向量，，，且，向量与所成的角为，且对任意实数t每成立，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ） A．若A与B互斥，则 B．若，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则A与B相互独立 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．不等式的解集为 D．将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在上不单调 11．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现．如图是一个圆柱容球，，为圆柱下、上底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（ ） A．球与圆柱的表面积之比为 B．平面DEF截得球的截面面积最小值为 C．四面体CDEF的体积的取值范围为 D．若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知向量，，，若，则______． 13．某校组织了“人工智能知识”测试，现随机抽取了100名学生的测试成绩（单位：分），这100名学生的成绩都分布在区间内，绘制成如图所示的频率分布直方图． 则这100名学生成绩的61%分位数为______． 14．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．若关于x的不等式有解，则实数t的取值范围为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分13分） 已知集合，． （1）若，求A，B及； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 16．（本小题满分15分） 已知奇函数的定义域为． （1）求实数a，b的值； （2）当时，恒成立，求实数m的取值范围． 17．（本小题满分15分） 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，． （1）求角B； （2）若的面积为，求的值； （3）若为锐角三角形，求面积的取值范围． 18．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，，，，M，N分别为PA，BC的中点，底面四边形ABCD是边长为2的菱形且，AC交BD于点O．。 （1）求证：平面PCD； （2）求证：平面平面ABCD； （3）求二面角的平面角的余弦值． 19．（本小题满分17分） 设P，Q是两个非空数集，若定义在上的函数对任意当时，，则称为P到Q的双界函数． （1）设，，． （ⅰ）证明：当时，是P到Q的双界函数； （ⅱ）若是P到Q的双界函数，求实数k的取值范围． （2）若，，是P到Q的双界函数，当时，，求在上的最小值． （3）设集合其中，．若，是P到Q的双界函数，证明：是A到B的双界函数． 高一年级阶段练习 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B A D C A B B CD AC ABD 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．D 【解析】，若，则，． 2．B 【解析】在直观图中，，，则在原图形平行四边形OABC中，，所以原图形的面积为． 3．A 【解析】因为一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数为，方差为． 4．D 【解析】对于A，B，如图，作长方体，取平面ABCD，平面分别为平面，． 因为，且，且，，则，，显然可作无数条与平行且不在平面，内的直线，即存在无数条直线与，都平行，但，不平行，故A错误； 因为平面与平面，均垂直，且显然可作无数个与平面平行的平面，即存在无数个平面与，都垂直，但，不平行，故B错误； 对于C，若与相交，可在内取a平行于交线，在内取b也平行于交线，满足，，，但无法推出，故C错误； 对于D，异面直线，，，，可在内作出，在内作出，可得，b是内的相交直线，a，是内的相交直线，且都平行于另一个平面，根据面面平行判定定理可推出，符合要求． 5．C 【解析】从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数有，，，，，，，，，，共10种情况， 其中三个数之积为偶数且它们之和大于等于10的有，，，，共4种情况， 所以这三个数之积为偶数且它们之和大于等于10的概率为． 6．A 【解析】由圆台的侧面展开图可求得圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，从而圆台的高为，所以圆台的体积． 7．B 【解析】因为函数为偶函数，所以，则， 又因为，所以，则， 所以函数是周期为4的周期函数．在式子中，令，得到， 所以，， 故． 8．B 【解析】由题意得，，由，得，即，化简得．令，其图象开口向上，要使恒成立，则，解得．又， ，所以的最小值为． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．CD 【解析】选项A：若A与B互斥，则，故A错误； 选项B：若，则，故B错误； 选项C：若A与B相互独立，则与也相互独立，则，故C正确； 选项D：，，则A与B相互独立，故D正确。故选CD． 10．AC 【解析】对于A，由图象可知，最小正周期，所以, 因为图象过点，所以，又，所以， 所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，令，则，所以，，解得，，所以不等式的解集为，，故C正确； 对于D，将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，当时，，此时函数在区间上单调递增，故D错误。故选AC． 11．ABD 【解析】对于A，由球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，则球的表面积为，圆柱的表面积为，所以球与圆柱的表面积之比为，故A正确； 对于B，短形ABCD所在截面如图所示，过点O作于点G，则由题可得，设点O到平面DEF的距离为，平面DEF截得球的截面圆的半径为，则，，所以平面DEF截得球的截面面积最小值为，故B正确； 对于C，由题可知四面体CDEF的体积等于，点E到平面的距离，又，所以，故C错误； 对于D，由题可知点P在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上， 设P在底面的射影为，则，，， ，设，则，， 所以，所以．故D正确，故选ABD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．0 【解析】因为向量，，所以，若，则，解得． 13．82 【解析】设这200名学生成绩的61%分位数为x， 因为前4组频率之和为， 前5组频率之和为， 所以这200名学生成绩的61%分位数落在第5组内， 所以，解得，所以这200名学生成绩的61%分位数为82． 14． 【解析】在中，由正弦定理及，得， 由余弦定理，得，又因为，所以， 记，则． 因为，所以，从而， 所以，可化为， 即有解，所以依题有， 化简得，即恒成立，又，则，得，则． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．【解析】（1）当时，由，解得，所以， 由，解得，所以， 所以． （2）由，解得，所以， 又“”是“”的充分条件，所以， 已知，可得解得， 所以实数a的取值范围为． 16．【解析】（1）因为函数为定义域为的奇函数， 所以，即， 所以，整理得，解得， 因为函数的定义域为，则，解得． 所以，． （2）当时，，由恒成立，可得恒成立，即当时，． 令，，则， 令，，易知在区间上单调递增， 所以，所以，则， 则实数m的取值范围为． 17．【解析】（1）由及正弦定理得， 即， 即， 所以，因为，所以， 因为，所以． （2）由余弦定理得，即，所以． 又的面积为，所以． 所以，所以． （3）由（1）知，，则， 所以，，所以 由，得， 所以，所以，所以， 所以面积的取值范围是． 18．【解析】（1）取PD的中点E，连接ME，CE，如图． ∵M为PA的中点，∴，， ∵N为BC的中点且四边形ABCD为菱形，∴，． ∴，，∴四边形MNCE为平行四边形，∴， 又平面PCD，平面PCD，∴平面PCD． （2）如图，连接PO，∵，O是BD的中点，∴， 由菱形ABCD知，又，PO，平面PAC，∴平面PAC， ∵平面ABCD，∴平面平面ABCD． （3）如图，过点B作于点F，连接DF，OF． ∵平面PAC，平面PAC，∴． ∵，BD，平面BDF，． ∴平面BDF，∴，． ∴为二面角的平面角． ∵，，PC，PA，OF共面，∴， ∵O是AC的中点，∴F是PC的中点，又， ∴，，∴． ∵F是PC的中点，又，∴， ∴， ∴二面角的平面角的余弦值为． 19．【解析】（1）（ⅰ）证明：当，即时，则，即． 因为，所以，所以当时，是P到Q的双界函数． （ⅱ）若是P到Q的双界函数，则当，即时， 恒成立， 即，即恒成立，因为，故，， 由恒成立，可得；由恒成立，可得，故， 即实数k的取值范围为． （2）依题意得，当时，， 所以，所以， 易知函数在上单调递增，分析可得在，上单调递增，在该区间上的，， 则当时，；当时，，， 又因为，故在上的最小值为， ， 由，得，即在上的最小值为2705． （3）证明：由题得，时，， 令，，则①， 令，，则②， 可得，， 即． 令，，则， 所以． 则，所以， 所以是A到B的双界函数． 学科网（北京）股份有限公司 $