精品解析：湖南邵阳市拔尖创新人才早期培养“九校联盟”2025-2026学年高一下学期3月第一次联考数学试题

2026年邵阳市拔尖创新人才早期培养“九校联盟”高一第一次联考 数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算得到复数，再确定其在复平面内对应点的坐标，即可确定点所在的象限. 【详解】因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D 2. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，利用线面平行的性质判断；对于C，利用线面垂直的判定判断；对于C，利用线面垂直的性质判断；对于D，利用线面平行的判定判断即可 【详解】解：对于A，若，，则与可能平行，可能相交，也可能异面，所以A错误； 对于B，若，，则直线与平面可能垂直，可能平行，也可能相交不垂直，所以B错误； 对于C，若，，，则，所以C正确； 对于D，若，，则与可能平行，也有可能直线在平面内，所以D错误， 故选：C 3. 已知，是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的概念结合数量积的计算可得结果. 【详解】由题意得，向量在向量上的投影向量为， ∵，是夹角为的两个单位向量， ∴， ∴向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 4. 圆与圆的位置关系为（ ）． A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算得到两圆圆心和半径，根据得到答案. 【详解】，即，圆心，半径， ，圆心为，， ，故两圆外切. 故选：C. 5. 已知实数x，y满足，且，则的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出对应图象，利用斜率与倾斜角的关系，找出其边界情况即可求解. 【详解】的几何意义为动点与定点所在直线的斜率， 动点满足关系式，且， 可知在线段（除点外）上移动，且， 如图，，， 点与定点所在直线的斜率不存在， 所以的取值范围是， 故选：A. 6. 已知点，直线与直线交于点，则的值可以为（ ）． A. 7 B. 6 C. 8 D. 19 【答案】C 【解析】 【分析】由题意确定直线与互相垂直，得到点轨迹，即可求解. 【详解】由题意可知，当时，直线与互相垂直， 当时，，直线与互相垂直， 且直线经过定点，直线经过定点，所以. 设，则，即， 则点在以点为圆心，5为半径的圆（除去与、）上， 所以的最大值为， 最小值为. 故的取值范围是. 故选：C 7. 已知，则“”是“为常数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分性、必要性的定义进行求解即可. 【详解】设 ，所以是必要的； 因为，，所以， 为常数，所以是充分的， 故选：C 8. 若关于x的方程在内有两个不同的解，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用换元法，结合二次函数和余弦函数的图象进行求解即可. 【详解】，，，分别作出它们的图象如下， 要使得关于x的方程在内有解，必须. 当时，，此时方程，只有一个解，不符合题意； 当时，，此时方程，有两个不同的解； 当时，，此时，只有一个解，不符合题意； 当时，，此时方程，有两个不同的解； 当时，，此时方程，只有一个解，不符合题意， 综上，或. 故选：D 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知点，到直线l的距离相等，且l过点，则l的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先利用几何意义得到直线l与AB平行或经过AB的中点．然后由点斜式和两点式求直线方程. 【详解】由已知直线l与AB平行或经过AB的中点． 当直线l与AB平行时，由可得：， 再由直线l与AB平行，可知斜率相等，然后由点斜式直线方程可得：， 整理得直线l方程为； 由可知中点坐标为，当直线l经过AB的中点和点时， 由两点式直线方程得：， 整理得直线l方程为． 故选：BD． 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 的图象关于点中心对称 D. 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则是区间上的增函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用题给图象结合正弦函数的性质得出和值，求出函数表达式，再结合正弦函数的图象和性质对选项进行逐一判断. 【详解】由图象可知，相邻最小值点和最大值点之间的水平距离为半个周期， 即， 由周期公式， 所以，选项A正确； 因为图象经过点，代入函数得：， 由正弦函数性质可知时，， 所以， 因为，所以， ， 因为，故B错误； 因为是中心对称函数，对称中心为，， 若函数图象关于点对称，则. 代入计算：， 所以图象关于点对称，故C正确； 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则， 由正弦函数性质可知在上单调递增， 令，解得， 区间位于增区间内，故在区间内是增函数，故D正确. 故选：ACD. 11. 如果正方体的棱长为1，动点M满足,，那么下列说法正确的是（ ） A. 当时，与所成角的最大正切值是 B. 时，的最小值为 C. 当时，所在的平面与平面所成夹角的正切值为 D. 当时，M轨迹的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A项，得，则点的轨迹为线段，即可求解；对于B项，M点在三角形的边上及其内部，进行求解；对于C项，则M在线段上运动，所以所在平面与平面所成夹角即为所在平面与平面的夹角，进行求解；对于D项，M的轨迹为以A为球心，半径为的球与正方体所交成的八分之一球，进行求解． 【详解】 当时，则，得， 得， 则点的轨迹为线段， 与所成角为∠BAM，其最大正切值是=，所以A正确; 当时，因为， 所以四点共面，则M点在三角形的边上及其内部， 所以的最小值为≠，所以B错误; 当时，得，则M在线段上运动， 所以所在的平面为，因为平面与平面平行， 所以所在平面与平面所成夹角即为所在平面与平面的夹角. 取的中点为O，连接， 由于， 则， 得为所在平面与平面的夹角， 则， 所以C正确; 当时，M的轨迹为以A为球心，半径为的球与正方体所交成的八分之一球， 所以M的轨迹的体积为，所以D正确. 故答案为：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线与圆交于A，B两点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦长． 【详解】由圆，得， 则圆心坐标为，半径为1． 圆心到直线的距离， ． 故答案为：． 13. 已知三棱锥的底面是以为斜边的直角三角形，平面且，设三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球体积与之比的最小值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直关系，可得球心位置以及半径，即可根据体积公式，结合基本不等式求解. 【详解】取的中点分别为，连接， 由于平面，平面，则， 又，所以平面，平面，故， 故均为直角三角形，设，故，故是三棱锥的外接球的球心，且半径为， 故，当且仅当时等号成立，故体积之比的最小值为 故答案为： 14. 某校举办“数学文化节”，其中一项活动为“多人石头剪刀布挑战赛”．规则如下：每次挑战由n名同学同时参与（），每人独立选择出“石头”“剪刀”或“布”中的一种手势．若所有人出的手势完全相同（如全为石头），或三种手势均同时出现，则视为平局．否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则判定胜负．已知每位同学出每种手势的概率均等，则一次挑战中出现平局的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意求出一次挑战中出现平局的不同种类数；再根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】假设在一次挑战中n名同学只能从“石头”“剪刀”这两种手势中选择， 则每个人都有两种选择；在一次挑战n名同学独立选择手势的不同种类数共有：； 在一次挑战n名同学相同手势种类数共有：； 此时一次挑战中n名同学只出现两种手势的不同种类数共有. 由题意可得：每个人都有三种选择. 所以在一次挑战n名同学独立选择手势的不同种类数共有：； 在一次挑战中n名同学只出现两种手势的不同种类数共有. 所以一次挑战中出现平局的不同种类数共有. 根据古典概型概率公式可得：一次挑战中出现平局的概率为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角B的大小； （2）若的面积为且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及和角的正弦公式，诱导公式将变形化简，再结合角的范围即可求出角B； （2）由三角形的面积公式求出，再由余弦定理求出，即可求出的周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得． 即， 因为，所以． 所以． 因为，，所以， 因为，所以． 【小问2详解】 因为，所以， 由余弦定理得， 由，可得， 所以，所以的周长为． 16. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式，再结合互斥事件加法公式即可求解； （2）先求甲乙两人分别没通过面试的概率，再利用对立事件，即可得到甲乙两人分别通过面试的概率，然后利用两人中仅有一人通过，结合两相互独立事件概率乘法公式即可求解. 【小问1详解】 设“甲答对3道题目”, “甲答对2道题目” “乙答对3道题目”， “乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得， ， ， ， ， 设为 “甲、乙两人共答对5道题目”， 则，因为与互斥，与，与分别相互独立，， 所以甲、乙两人共答对5道题目的概率． 【小问2详解】 C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”，与相互独立， ， E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则，因为与互斥， 与，与分别相互独立， 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率 17. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，E为AD的中点，平面，，M为PB的中点. （1）求证：直线平面PCD； （2）若，，求直线EM与平面PCE所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为,连接，证明四边形是平行四边形，则，再利用线面平行的判定即可； （2）以为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，从而写出相关向量，求出相关平面的法向量，再利用线面夹角正弦值公式即可得到答案. 【小问1详解】 取的中点为,连接，则,且, ∴四边形是平行四边形，， 平面,平面, ∴直线平面. 【小问2详解】 因为平面PAB，平面PAB，则，， 以为原点，以垂直所在直线为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示 设，则，．，则． ，，，，，, ，，. 设平面的一个法向量为，则， 即 不妨令，得，，所以， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 18. 设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）圆过三个点，求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可； （3）设直线的方程为，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，由斜率公式求出，即可得解. 【小问1详解】 由题意可得，圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点， ，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组，解得，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交. 又， 则，解得. 【小问3详解】 设直线的方程为， 由得，， 所以， 所以， 所以，所以直线方程为，令，解得，即直线过定点． 19. 设函数，． （1）求证：； （2）分别求和时函数的最小值； （3）求函数的最小值（用k表示）． 参考公式：当且时，． 【答案】（1）证明见解析 （2）当时，；当时， （3） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式将分别化简，即可证明； （2）根据三角恒等变换的化简和同角的三角函数关系计算即可求解； （3）令，则，利用定义法，结合题意给的公式讨论函数的单调性，求解即可. 【小问1详解】 ，； ，； 所以，得证. 【小问2详解】 当时， ， 又，所以； 当时， ， 又，所以. 【小问3详解】 根据（2）进行猜想：当时，. 当时，，函数的最小值为1， 当时，令，则， 显然，即函数图象关于直线对称， 令， 则 ， 由，得， 所以对任意，都有， 所以， 得， 则，即函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以，即，， 当且仅当即时，取到最小值， 所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年邵阳市拔尖创新人才早期培养“九校联盟”高一第一次联考 数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 3. 已知，是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 圆与圆的位置关系为（ ）． A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 5. 已知实数x，y满足，且，则的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 6. 已知点，直线与直线交于点，则的值可以为（ ）． A. 7 B. 6 C. 8 D. 19 7. 已知，则“”是“为常数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若关于x的方程在内有两个不同的解，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知点，到直线l的距离相等，且l过点，则l的方程可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 的图象关于点中心对称 D. 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则是区间上的增函数 11. 如果正方体的棱长为1，动点M满足,，那么下列说法正确的是（ ） A. 当时，与所成角的最大正切值是 B. 时，的最小值为 C. 当时，所在的平面与平面所成夹角的正切值为 D. 当时，M轨迹的体积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线与圆交于A，B两点，则______． 13. 已知三棱锥的底面是以为斜边的直角三角形，平面且，设三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球体积与之比的最小值是_____. 14. 某校举办“数学文化节”，其中一项活动为“多人石头剪刀布挑战赛”．规则如下：每次挑战由n名同学同时参与（），每人独立选择出“石头”“剪刀”或“布”中的一种手势．若所有人出的手势完全相同（如全为石头），或三种手势均同时出现，则视为平局．否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则判定胜负．已知每位同学出每种手势的概率均等，则一次挑战中出现平局的概率为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角B的大小； （2）若的面积为且，求的周长． 16. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 17. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，E为AD的中点，平面，，M为PB的中点. （1）求证：直线平面PCD； （2）若，，求直线EM与平面PCE所成角的正弦值. 18. 设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 19. 设函数，． （1）求证：； （2）分别求和时函数的最小值； （3）求函数的最小值（用k表示）． 参考公式：当且时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $