精品解析：2026年内蒙古自治区通辽市第三中学二模数学试题

2025-2026学年九年级下学期中考二模 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片包装上注明净含量为，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 蒙古包是内蒙古高原地区的传统民居．如图1是一种蒙古包的大致示意图，将该蒙古包看成图2所示的由一个圆柱和一个圆锥组成的几何体，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 某物体对地面的压力为，物体对地面的压强与受力面积之间的函数关系式为，该函数图象位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 将一次函数的图象向下平移4个单位长度，若点关于原点的对称点落在平移后的函数图象上，则的值为（ ） A. B. 8 C. D. 10 7. 如图，在中，在，上分别截取，，使，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，作射线，交于点，过点作于点．若，，则点到的距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 李白在《将进酒》中写道“陈王昔时宴平乐，斗酒十千恣欢谑”．唐时，某酒坊每斗酒售价8贯钱，每碟花生米3贯钱．若买斗酒，碟花生米一共需要______贯钱． 10. 现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字2，4，5的卡片在甲手中，标有数字1，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率为______． 11. 元宝山，位于内蒙古赤峰市喀喇沁旗北部，紧邻元宝山区，是赤峰南部低山丘陵区的一座标志性山峰．如图，山高为，在点处测得山顶的仰角为，从点沿方向走1000米到达处（，，在同一直线上），此时测得山顶的仰角为，则山高为______米． 12. 如图，在四边形中，，，，的平分线交于点，且．点在的延长线上，连接．若，则线段的长为______． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算和化简： （1）； （2）． 14. 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用x表示），共分为四组，A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息． 甲款人工智能软件得分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款人工智能软件在C组内（）的所有得分数据：85，86，87，88，88，88，90，90． 甲、乙两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 96.6 乙 86 86.5 88 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若本次调查有300名用户对甲款人工智能软件进行了评分，有400名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 15. 某草原服饰店准备购进一批两种不同款式的蒙古袍．已知购进款蒙古袍件和款蒙古袍件，共需元；购进款蒙古袍件和款蒙古袍件，共需元．销售一件款蒙古袍可获利元，销售一件款蒙古袍可获利元． （1）两款蒙古袍的进价每件各是多少元？ （2）若已知购进款蒙古袍的数量是款蒙古袍数量的倍还多件，要使在这次销售中获利不少于元，且款蒙古袍不多于件，则该草原服饰店在这次进货中，共有哪几种方案？ 16. 如图，是的直径，，E是的中点，连接并延长到点F，使得．连接交于点D，连接，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的长． 17. 某村庄农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线，如图1，这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高，射程越远，设水流的最高点与喷枪的水平距离记为，水流的最高点到地面的距离记为．下表中记录了几组对应x、y的值，根据题意完成下列问题． x（单位：m） 0 1 2 3 4 5 … y（单位：m） 2 3 4 … （1）该喷枪的出水口到地面的距离为________； （2）在图2所示的平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出y与x的函数图象； （3）结合（2）中的图象，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为时，水流的最高点到地面的距离为________（精确到）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为________．（精确到，参考数据） 18. 问题解决： （1）如图1，在正方形中，点，分别在，边上，，且与相交于点． ①与的位置关系为________； ②延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由； 类比迁移： （2）如图2，在菱形中，点，分别在，边上，与相交于点，，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下学期中考二模 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片包装上注明净含量为，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据标注计算出净含量的合格范围，再判断各选项是否符合要求． 【详解】解：∵薯片净含量标注为 ∴合格净含量的范围为净含量，即净含量 ∵、、都在该范围内，超出合格范围 ∴不符合标准的是D选项． 2. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 3. 蒙古包是内蒙古高原地区的传统民居．如图1是一种蒙古包的大致示意图，将该蒙古包看成图2所示的由一个圆柱和一个圆锥组成的几何体，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：该几何体的主视图是 4. 某物体对地面的压力为，物体对地面的压强与受力面积之间的函数关系式为，该函数图象位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据实际意义确定自变量和函数值的取值范围，即可判断图象所在象限． 【详解】解：∵已知函数关系式为，， ∴当时，， ∵横坐标和纵坐标都为正， ∴该函数图象上所有点都在第一象限 ∴该函数图象位于第一象限． 5. 春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设小路的宽为，根据矩形的面积公式（将绿化区域合并成矩形），进而即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设小路的宽为，则绿化区域的长为，宽为， 根据题意，得． 6. 将一次函数的图象向下平移4个单位长度，若点关于原点的对称点落在平移后的函数图象上，则的值为（ ） A. B. 8 C. D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】先求出平移后的函数解析式，再得到对称点坐标，代入解析式即可求解 【详解】解：∵ 将一次函数的图象向下平移4个单位长度，根据“上加下减”的平移规律，得平移后的函数为， ∵ 点关于原点对称时，横纵坐标均为原坐标的相反数， ∴ 点关于原点的对称点坐标为， ∵ 对称点在平移后的函数图象上，将代入得 解得 7. 如图，在中，在，上分别截取，，使，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，作射线，交于点，过点作于点．若，，则点到的距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先根据，，得，再运用勾股定理列式计算得，根据作图过程，得出是的平分线，最后结合角平分线上的点到角的两边距离相等，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， 根据作图过程，得出是的平分线， ∵， ∴点到的距离． 8. 如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 李白在《将进酒》中写道“陈王昔时宴平乐，斗酒十千恣欢谑”．唐时，某酒坊每斗酒售价8贯钱，每碟花生米3贯钱．若买斗酒，碟花生米一共需要______贯钱． 【答案】## 【解析】 【详解】解：由题意，得买斗酒，碟花生米一共需要贯钱． 10. 现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字2，4，5的卡片在甲手中，标有数字1，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】先列表得到所有等可能性的结果数，再找出甲出的卡片数字比乙大的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 甲\乙 由表格可知，一共有种等可能的结果，其中甲出的卡片数字比乙大的结果有种，因此甲出的卡片数字比乙大的概率为． 11. 元宝山，位于内蒙古赤峰市喀喇沁旗北部，紧邻元宝山区，是赤峰南部低山丘陵区的一座标志性山峰．如图，山高为，在点处测得山顶的仰角为，从点沿方向走1000米到达处（，，在同一直线上），此时测得山顶的仰角为，则山高为______米． 【答案】 【解析】 【分析】解直角三角形得出，，根据，得出，求出结果即可． 【详解】解：根据题意得：，，，米， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：米， 答：山高为米． 12. 如图，在四边形中，，，，的平分线交于点，且．点在的延长线上，连接．若，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长和交于点，作交于点，设，则，根据“三个角是直角的四边形是矩形”，可得四边形是矩形，从而，，利用，可得，可求，再根据角平分线的定义和平行线的性质，得，进而，利用勾股定理，列方程，求出，最后根据等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：延长和交于点，作交于点， 设，则， ，， ，即四边形是矩形， ，， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ，即， ， 平分， ， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得， ， ，， ． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算和化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式． 14. 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用x表示），共分为四组，A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息． 甲款人工智能软件得分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款人工智能软件在C组内（）的所有得分数据：85，86，87，88，88，88，90，90． 甲、乙两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 96.6 乙 86 86.5 88 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若本次调查有300名用户对甲款人工智能软件进行了评分，有400名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 【答案】（1）85.5，85，20 （2）乙款人工智能软件更受用户欢迎．理由如下：甲款和乙款的平均数相同，乙款的方差小于甲款的方差，所以乙款人工智能软件比较稳定，乙款人工智能软件更受用户欢迎． （3）估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意的总用户数为170名 【解析】 【分析】（1）中位数：将甲数据从小到大排序后取第10、11位平均数； 众数：甲出现次数最多的数； 先求乙C组占比，再算D组百分比得； （2）平均数相同，方差越小数据越稳定，据此判断； （3）算出甲、乙D组样本占比，乘对应总人数再相加． 【小问1详解】 解：甲款人工智能软件得分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100， 一共20个数据，中位数是第10、11个数据的平均数，为（分），即； 甲款人工智能软件的所有得分数据中85出现的次数最多，则众数为85，即； 乙款人工智能软件中，C组所占的百分比为，， 即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（名）， 估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意的总用户数为170名． 15. 某草原服饰店准备购进一批两种不同款式的蒙古袍．已知购进款蒙古袍件和款蒙古袍件，共需元；购进款蒙古袍件和款蒙古袍件，共需元．销售一件款蒙古袍可获利元，销售一件款蒙古袍可获利元． （1）两款蒙古袍的进价每件各是多少元？ （2）若已知购进款蒙古袍的数量是款蒙古袍数量的倍还多件，要使在这次销售中获利不少于元，且款蒙古袍不多于件，则该草原服饰店在这次进货中，共有哪几种方案？ 【答案】（1）款蒙古袍每件进价元，款蒙古袍每件进价元； （2）有三种进货方案：款蒙古袍购进件，款蒙古袍购进件；款蒙古袍购进件，款蒙古袍购进件；款蒙古袍购进件，款蒙古袍购进件． 【解析】 【分析】设款蒙古袍每件进价元，款蒙古袍每件进价元，由题意得，然后解方程组即可； 设款蒙古袍购进件，则款蒙古袍购进件，由题意得，然后解不等式组并求出整数解即可． 【小问1详解】 解：设款蒙古袍每件进价元，款蒙古袍每件进价元， 由题意得， 解得， 答：款蒙古袍每件进价元，款蒙古袍每件进价元； 【小问2详解】 解：设款蒙古袍购进件，则款蒙古袍购进件， 由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴或或， 当时，，当时，，当时，， ∴有三种进货方案：款蒙古袍购进件，款蒙古袍购进件；款蒙古袍购进件，款蒙古袍购进件；款蒙古袍购进件，款蒙古袍购进件． 16. 如图，是的直径，，E是的中点，连接并延长到点F，使得．连接交于点D，连接，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， 是的直径，， ． 是的中点， ． 在和中， ， ， ． 是的直径， ∴直线是的切线． （2） 【解析】 【分析】(1) 连接，由及为直径得，再利用为中点和证明，得到，从而证得直线为切线． (2)由半径得，利用全等性质得，在中用勾股定理求，再由直径所对圆周角为得，利用等面积法求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 由（1），可知， ， ． 是的直径， ， ， 即， ． 17. 某村庄农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线，如图1，这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高，射程越远，设水流的最高点与喷枪的水平距离记为，水流的最高点到地面的距离记为．下表中记录了几组对应x、y的值，根据题意完成下列问题． x（单位：m） 0 1 2 3 4 5 … y（单位：m） 2 3 4 … （1）该喷枪的出水口到地面的距离为________； （2）在图2所示的平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出y与x的函数图象； （3）结合（2）中的图象，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为时，水流的最高点到地面的距离为________（精确到）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为________．（精确到，参考数据） 【答案】（1）2 （2）y与x的函数图象，如图所示： （3）5；14 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据得出答案即可； （2）根据表格中的数据先描点，再连线即可； （3）先求出直线的解析式，再将代入求出y的值即可得出答案；以喷枪的位置为原点，喷枪竖立向上的方向为轴正方向，地面水平向右为轴正方向，建立平面直角坐标系，求出水流抛物线的解析式为，再求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由表格，可知当时，， ∴喷枪的出水口到地面的距离为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据函数图象可知y是x的一次函数，设，把，代入得： ， 解得：， ∴、满足函数解析式为：， 水流的最高点与喷枪的水平距离为， 当时，， ∴当水流的最高点与喷枪的水平距离为时，水流的最高点到地面的距离为； 以喷枪的位置为原点，喷枪竖立向上的方向为轴正方向，地面水平向右为轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示： ∴水流抛物线经过点，最高点为， 设水流抛物线的解析式为， ∵最高点就是抛物线的顶点坐标， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ， ∴水流抛物线的解析式为， 当时，， 解得：（不合题意，舍去），， ∴此时水流的射程为． 18. 问题解决： （1）如图1，在正方形中，点，分别在，边上，，且与相交于点． ①与的位置关系为________； ②延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由； 类比迁移： （2）如图2，在菱形中，点，分别在，边上，与相交于点，，，，，求的长． 【答案】（1）① ②是等腰三角形， 理由如下： 由①，可知， ． ， ． ， ． 直线是线段的垂直平分线， ， 是等腰三角形． （2） 【解析】 【分析】(1) ① 由正方形性质得，，利用判定，得到，再通过直角互余与三角形内角和证得，从而得出． ② 由全等性质得，结合已知得，利用证得直线为线段的垂直平分线，从而，判定为等腰三角形． (2) 延长到点使，利用菱形性质得到，通过判定，得到且；再结合判定为等边三角形，从而． 【小问1详解】 解：①， ∵四边形是正方形， ，． 在和中， ， ． ， ． 在中，， ． ②略 【小问2详解】 如图，延长到点，使得，连接， ∵四边形是菱形， ，， ． 在和中， ， ，． ，， ，， 是等边三角形， ． ，， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $