2026年内蒙古自治区通辽市第三中学二模数学试题

参考答案 1．D 2．A 3．A 4．A 5．A． 6．D 7．B 8．A 9． 10． 11． 12． 13．解：（1）原式=． （2）原式． 14．解：（1）85.5 85 20 【解析】甲款人工智能软件得分的中位数为（分），即；∵甲款人工智能软件的所有得分数据中85出现的次数最多，∴众数为85，即；∵乙款人工智能软件中，C组所占的百分比为，，即． （2）乙款人工智能软件更受用户欢迎．理由如下：∵甲款和乙款的平均数相同，乙款的方差小于甲款的方差，∴乙款人工智能软件比较稳定，∴乙款人工智能软件更受用户欢迎． （3）（名）． 答：估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意的总用户数为170名． 15．解：（1）设A款蒙古袍每件进价元，B款蒙古袍每件进价元，由题意，得解得 答：A款蒙古袍每件进价90元，B款蒙古袍每件进价100元． （2）设B款蒙古袍购进件，则A款蒙古袍购进件，由题意，得 解得，为正整数，或11或12，当时，， 当时，，当时，． ∴有三种进货方案：①B款蒙古袍购进10件，A款蒙古袍购进24件；②B款蒙古袍购进11件，A款蒙古袍购进26件；③B款蒙古袍购进12件，A款蒙古袍购进28件． 16．（1）证明：如图，连接， 是的直径，，． 是的中点，． 在和中，，． 是的直径，∴直线是的切线． （2）解：，由（1），可知，， ． 是的直径，，，即， ． 17．解：（1）2 【解析】由表格，可知当时，，∴喷枪的出水口到地面的距离为． （2）由题意，作图如下： （3）5 14 【解析】由（2），可知、满足函数解析式，水流的最高点与喷枪的水平距离为，即时，水流的最高点到地面的距离；以喷枪的位置为原点，喷枪竖立向上的方向为轴正方向，地面水平向右为轴正方向，建立平面直角坐标系，∴水流抛物线经过点，最高点为，设水流抛物线的解析式为，∵最高点就是抛物线的顶点坐标，（不合题意，舍去）或，，∴水流抛物线的解析式为，当时，，（不合题意，舍去），，∴此时水流的射程为． 18．解：（1）① 【解析】∵四边形是正方形，，．在和中，，． ，．在中，，． ②是等腰三角形，理由如下： 由①，可知，． ，．，． ∵直线是线段的垂直平分线，，是等腰三角形． （2）如图，延长到点，使得，连接， ∵四边形是菱形， ，，． 在和中，，，． ，，，，是等边三角形，． ，，，，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下学期中考二模 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片包装上注明净含量为，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的大小为（ ） A． B． C． D． 3．蒙古包是内蒙古高原地区的传统民居．如图1是一种蒙古包的大致示意图，将该蒙古包看成图2所示的由一个圆柱和一个圆锥组成的几何体，则该几何体的主视图是（ ） A． B． C． D． 4．某物体对地面的压力为，物体对地面的压强与受力面积之间的函数关系式为，该函数图象位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的75%，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 6．将一次函数的图象向下平移4个单位长度，若点关于原点的对称点落在平移后的函数图象上，则的值为（ ） A． B．8 C． D．10 7．如图，在中，在，上分别截取，，使，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，作射线，交于点，过点作于点．若，，则点到的距离为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（ ） A．2 B． C．4 D． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9．李白在《将进酒》中写道“陈王昔时宴平乐，斗酒十千恣欢谑”．唐时，某酒坊每斗酒售价8贯钱，每碟花生米3贯钱．若买斗酒，碟花生米一共需要________贯钱． 10．现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字2，4，5的卡片在甲手中，标有数字1，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率为________． 11．元宝山，位于内蒙古赤峰市喀喇沁旗北部，紧邻元宝山区，是赤峰南部低山丘陵区的一座标志性山峰．如图，山高为，在点处测得山顶的仰角为，从点沿方向走1000米到达处（，，在同一直线上），此时测得山顶的仰角为，则山高为________米． 12．如图，在四边形中，，，，的平分线交于点，且．点在的延长线上，连接．若，则线段的长为________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13．（10分）（1）计算：； （2）化简：． 14．（7分）随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用x表示），共分为四组，A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息． 甲款人工智能软件得分数据： 64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款人工智能软件在C组内（）的所有得分数据： 85，86，87，88，88，88，90，90． 1、 乙两款人工智能软件得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 a b 96.6 乙 86 86.5 88 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若本次调查有300名用户对甲款人工智能软件进行了评分，有400名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 15．（10分）某草原服饰店准备购进一批两种不同款式的蒙古袍．已知购进A款蒙古袍3件和B款蒙古袍4件，共需670元；购进A款蒙古袍2件和B款蒙古袍5件，共需680元．销售一件A款蒙古袍可获利20元，销售一件B款蒙古袍可获利30元． （1）A、B两款蒙古袍的进价每件各是多少元？ （2）若已知购进A款蒙古袍的数量是B款蒙古袍数量的2倍还多4件，要使在这次销售中获利不少于780元，且A款蒙古袍不多于28件，则该草原服饰店在这次进货中，共有哪几种方案？ 16．（12分）如图，是的直径，，E是的中点，连接并延长到点F，使得．连接交于点D，连接，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的长． 17．（12分）某村庄农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线，如图1，这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高，射程越远，设水流的最高点与喷枪的水平距离记为，水流的最高点到地面的距离记为．下表中记录了几组对应x、y的值，根据题意完成下列问题． x（单位：m） 0 1 2 3 4 5 … y（单位：m） 2 3 4 … （1）该喷枪的出水口到地面的距离为________m； （2）在图2所示的平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出y与x的函数图象； （3）结合（2）中的图象，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为时，水流的最高点到地面的距离为________m（精确到）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为________m．（精确到，参考数据） 18．（13分） 问题解决： （1）如图1，在正方形中，点，分别在，边上，，且与相交于点． ①与的位置关系为________； ②延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由； 类比迁移： （2）如图2，在菱形中，点，分别在，边上，与相交于点，，，，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $