江苏宿迁卷（考试范围：苏科版七下全章）-2025-2026学年江苏十三市七年级数学下册期末模拟卷（苏科版）

**基本信息** 融合汉服纹样（文化传承）、智能机器人（科技前沿）等情境，梯度设计基础运算与几何探究，全面覆盖苏科版七下数学核心知识，体现抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/24|图形性质、整式运算、不等式|汉服纹样考轴对称与中心对称（文化情境）| |填空|10/30|科学记数法、方程解、多边形内角和|智能机器人动作调整考科学记数法（科技情境）| |解答|10/96|几何证明、方程组、新定义“梦想解”|“梦想解”新定义题（创新应用）、体育器材采购考方程组（模型意识）|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七下数学期末模拟卷 考试范围：苏科版新教材七下全章 总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1．下列汉服纹样中，既是轴对称又是中心对称图形的是（     ） A．如意纹 B．凤纹 C．龙纹 D．忍冬纹 2．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则下列不等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，由绕点逆时针旋转得到，若，则（     ） A． B． C． D． 5．一个长方形的长，宽分别是和，这个长方形的面积是（） A． B． C． D． 6．为促进学生健康成长和全面发展，漳州某校计划为“阳光体育大课间”活动采购一批体育器材．已知购买3副羽毛球拍和2副乒乓球拍共需120元，购买4副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需110元．设每副羽毛球拍x元，每副乒乓球拍y元，根据题意可列二元一次方程组为（     ） A． B． C． D． 7．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于”时，用反证法的假设正确的是：假设（    ） A．三个内角都大于 B．三个内角都小于 C．三个内角都不大于 D．三个内角至多有两个大于 8．如图，延长的边到点E，过点E作，平分，平分交的反向延长线于点F．已知，则的大小为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9．2026年央视春晚的智能机器人舞蹈表演中，某款控制的机器人每秒完成0.0000005次精准的动作调整．将该数据用科学记数法表示为________． 10．若，则___． 11．已知是方程的一个解，那么m的值是________． 12．若一个正多边形的内角和等于外角和的2倍，则该正多边形的边数是______． 13．不等式的最大整数解是______． 14．说明命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的______．（写出一个即可） 15．已知的结果中不含的一次项，则的值为________． 16．如图，在中，．将沿BC向右平移，得到，与交于点D，连接，若，，则图中阴影部分的面积为______． 17．如图，在中，，点D、E分别为、边上的点，平分，平分，、相交于点O，若，则______． 18．对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，已知，，若关于的不等式组恰好有个奇数解，则实数的取值范围是_____． 三、解答题：本题共10小题，共96分. 19．（10分）计算： (1)； (2)． 20．（10分）解方程组、不等式组 (1)解方程组：； (2)解不等式组：，并写出它的所有整数解． 21．（8分）先化简，再求值：，其中． 22．（8分）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 23．（10分）电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两城镇，的距离要相等，发射塔到两条高速公路和的距离要相等． ①连接，作线段的垂直平分线； ②作的平分线交于点； 则点就是所要修建的电视信号发射塔． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出电视信号发射塔的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 24．（8分）如图，在中，点D在上，是的平分线，点F在的延长线上，连接交于点G，． (1)求证：； (2)若且，求的度数． 25．（8分）某文具店购进A、B两款笔记本，购进2本A款和3本B款共需22元；购进5本A款和4本B款共需41元． (1)求A、B两款笔记本进价各多少元； (2)若计划购进两款笔记本共100本，A款售价5元，B款售价8元，全部售出后利润不低于280元，求A款最多购进多少本． 26．（10分）解答： 【知识技能】 已知：；； (1)填空： _____； _____． 【数学理解】 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 【解决问题】 (2)若满足，求的值； 【灵活运用】 (3)如图，已知正方形被分割成4个部分，其中四边形与为正方形，若，，四边形的面积为6，求正方形的面积． 27．（12分）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)方程与不等式的“梦想解”是______； (2)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式______的“梦想解”；（填序号） (3)若关于x，y的二元一次方程组与有“梦想解”，求m的取值范围． 28．（12分）【发现问题】如图，点为线段延长线上一点，，连接，过点的直线，求证：． 小明想到了平行线可以改变角的位置而不改变角的大小，于是，他延长；小白想到把两个角分别放在两个三角形中，于是他延长，请你按照小明或者小白的想法完成此问题． 【解决问题】如图，沿方向平移到（、、共线），是线段延长线上一点，，与相交于点，、分别平分、且相交于点，，求与的数量关系． 【拓展问题】如图，沿方向平移到（、、共线），与相交于点，、分别平分、且相交于点，请直接写出与的数量关系． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七下数学期末模拟卷 总分：150分（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1 2 3 4 5 6 7 8 A B D C D A A C 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 10. 36 11. 12. 6 13. 2 14. （答案不唯一） 15. 16. 8 17. /125度 18. 三、解答题：本题共10小题，共96分. 19．（10分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式；（5分） （2）解： ．（10分） 20．（10分） 【答案】(1) (2)不等式组的解集为，所有整数解为 【分析】（1）利用加减消元法消去，使两个方程的系数统一为6，再两式相减消元先求，再代回求； （2）分别解两个一元一次不等式，取解集的公共部分得到不等式组解集，再从中筛选整数． 【详解】（1）解：， ①：③， ②：④， ④③：， ， 把代入②： ， ， ， 方程组的解：．（5分） （2）解：， 解不等式①：， ， ， 解不等式②（两边同乘4去分母）：， ， ， ， 不等式组解集：， 满足范围的整数解：0，1，2．（10分） 21．（8分） 【答案】 【详解】解：原式，（4分） 当时， 原式．（8分） 22．（8分） 【答案】（1）；；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得 ，根据角平分线的定义，可得 ，再根据平行线的判定，即可得出 ； （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵ 分别平分 和 （已知）， （角平分线的定义），（3分） （已知）， （两直线平行，内错角相等），（4分） （等量代换），（5分） （等式的性质）， （内错角相等，两直线平行），（6分） 故答案为： ；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行．（8分） 23．（10分） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图---线段的垂直平分线和角平分线，以及线段垂直平分线和角平分线的判定定理，正确掌握尺规作图的方法是解题的关键． 根据线段垂直平分线和角平分线的判定定理可得点为的角平分线与线段的垂直平分线的交点，据此利用尺规作图即可． 【详解】解：如图，点即为所求 （10分） 24．（8分） 【答案】(1)证明：在中，， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和求出，结合角平分线的定义推得，根据内错角相等，两直线平行即可证明； （2）根据两直线平行，同位角相等得出，推得，设，则，，结合三角形内角和是列方程求出的值，即可求解． 【详解】（1）略（4分） （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴； 设，则，，， 在中，， 即， 解得； 故．（8分） 25．（8分） 【答案】(1)A进价5元，B进价4元 (2)A款最多购进30本 【分析】（1）设A进价x元， B进价y元，购进2本A款和3本B款共需22元；购进5本A款和4本B款共需37元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设购进A款a本，根据全部售出后利润不低于280元列不等式并解不等式即可． 【详解】（1）解：设A进价x元， B进价y元， 解得 答：A进价5元，B进价4元．（4分） （2）解：设购进A款a本， ， 解得， ∴A款最多购进30本．（8分） 26．（10分） 【答案】(1)①；② (2)1 (3)33 【分析】（1）根据已知的两个等式变形即可解答； （2）设，，则，，再由，求出，即可解答； （3）由四边形的面积为6得到，设，，则，，，再根据计算即可． 【详解】（1）解：∵；； ； ．（3分） （2）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴．（6分） （3）解：∵四边形的面积为6， ∴，即， 设，，则，， 由题意可得， ∴， ∴ ．（10分） 27．（12分） 【答案】(1) (2)③ (3) 【分析】（1）先求出方程的解为，再将代入不等式进行验证即可； （2）解方程得，分别解不等式①②③，根据“梦想解”定义逐一判断即可求解； （3）解二元一次方程组得，进而求出，根据题意得即可得到，从而求出的取值范围﹒ 【详解】（1）解：由方程得：， 当时，， ∴方程与不等式的“梦想解”是．（4分） （2）解：解方程得， 解不等式得，故方程与不等式①没有梦想解； 解不等式得，故方程与不等式②没有梦想解； 解不等式得，故方程与不等式③的梦想解为﹒（8分） （3）解：解二元一次方程组， 得， ∴， ∵方程组和不等式有“梦想解”， ∴， ∴﹒（12分） 28．（12分） 【答案】发现问题：见解析；解决问题：；拓展问题：． 【分析】发现问题：按照小明的想法，延长FM交EC于点H，利用平行线性质和已知角相等来推导； 解决问题：通过平移性质得到平行关系，再结合角平分线定义，利用三角形外角性质等推导α与β的关系； 拓展问题：根据平移性质、角平分线定义，结合三角形内角和等知识推导与的关系． 【详解】解：发现问题：延长交于点． ， ， ， ， ， ；（4分） 解决问题：如图， 由平移得， ， 平分，平分 即 ；（8分） 拓展问题：如图，延长PO交AC于点R， 由平移性质得， ， 平分，平分 ∴，， ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴．（12分） 【点睛】本题主要考查了平移的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握平移的性质以及角平分线的定义是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七下数学期末模拟卷 考试范围：苏科版新教材七下全章 总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1．下列汉服纹样中，既是轴对称又是中心对称图形的是（     ） A．如意纹 B．凤纹 C．龙纹 D．忍冬纹 2．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则下列不等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，由绕点逆时针旋转得到，若，则（     ） A． B． C． D． 5．一个长方形的长，宽分别是和，这个长方形的面积是（） A． B． C． D． 6．为促进学生健康成长和全面发展，漳州某校计划为“阳光体育大课间”活动采购一批体育器材．已知购买3副羽毛球拍和2副乒乓球拍共需120元，购买4副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需110元．设每副羽毛球拍x元，每副乒乓球拍y元，根据题意可列二元一次方程组为（     ） A． B． C． D． 7．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于”时，用反证法的假设正确的是：假设（    ） A．三个内角都大于 B．三个内角都小于 C．三个内角都不大于 D．三个内角至多有两个大于 8．如图，延长的边到点E，过点E作，平分，平分交的反向延长线于点F．已知，则的大小为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9．2026年央视春晚的智能机器人舞蹈表演中，某款控制的机器人每秒完成0.0000005次精准的动作调整．将该数据用科学记数法表示为________． 10．若，则___． 11．已知是方程的一个解，那么m的值是________． 12．若一个正多边形的内角和等于外角和的2倍，则该正多边形的边数是______． 13．不等式的最大整数解是______． 14．说明命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的______．（写出一个即可） 15．已知的结果中不含的一次项，则的值为________． 16．如图，在中，．将沿BC向右平移，得到，与交于点D，连接，若，，则图中阴影部分的面积为______． 17．如图，在中，，点D、E分别为、边上的点，平分，平分，、相交于点O，若，则______． 18．对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，已知，，若关于的不等式组恰好有个奇数解，则实数的取值范围是_____． 三、解答题：本题共10小题，共96分. 19．（10分）计算： (1)； (2)． 20．（10分）解方程组、不等式组 (1)解方程组：； (2)解不等式组：，并写出它的所有整数解． 21．（8分）先化简，再求值：，其中． 22．（8分）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 23．（10分）电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两城镇，的距离要相等，发射塔到两条高速公路和的距离要相等． ①连接，作线段的垂直平分线； ②作的平分线交于点； 则点就是所要修建的电视信号发射塔． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出电视信号发射塔的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 24．（8分）如图，在中，点D在上，是的平分线，点F在的延长线上，连接交于点G，． (1)求证：； (2)若且，求的度数． 25．（8分）某文具店购进A、B两款笔记本，购进2本A款和3本B款共需22元；购进5本A款和4本B款共需41元． (1)求A、B两款笔记本进价各多少元； (2)若计划购进两款笔记本共100本，A款售价5元，B款售价8元，全部售出后利润不低于280元，求A款最多购进多少本． 26．（10分）解答： 【知识技能】 已知：；； (1)填空： _____； _____． 【数学理解】 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 【解决问题】 (2)若满足，求的值； 【灵活运用】 (3)如图，已知正方形被分割成4个部分，其中四边形与为正方形，若，，四边形的面积为6，求正方形的面积． 27．（12分）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)方程与不等式的“梦想解”是______； (2)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式______的“梦想解”；（填序号） (3)若关于x，y的二元一次方程组与有“梦想解”，求m的取值范围． 28．（12分）【发现问题】如图，点为线段延长线上一点，，连接，过点的直线，求证：． 小明想到了平行线可以改变角的位置而不改变角的大小，于是，他延长；小白想到把两个角分别放在两个三角形中，于是他延长，请你按照小明或者小白的想法完成此问题． 【解决问题】如图，沿方向平移到（、、共线），是线段延长线上一点，，与相交于点，、分别平分、且相交于点，，求与的数量关系． 【拓展问题】如图，沿方向平移到（、、共线），与相交于点，、分别平分、且相交于点，请直接写出与的数量关系． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七下数学期末模拟卷 考试时间：120分钟 考试范围：苏科版新教材七下全章 总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1．下列汉服纹样中，既是轴对称又是中心对称图形的是（     ） A．如意纹 B．凤纹 C．龙纹 D．忍冬纹 【答案】A 【分析】根据“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形”及“一个图形绕某个点旋转180度后仍与原图完全重合的图形叫做中心对称图形”进行排除选项即可． 【详解】解：A、既是轴对称又是中心对称图形，故符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意． 2．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类项定义，同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方的法则对各选项逐一判断即可. 【详解】选项A：∵与不是同类项，不能合并，∴A错误. 选项B：∵根据同底数幂乘法法则，，∴B正确. 选项C：∵根据幂的乘方法则，，∴C错误. 选项D：∵根据积的乘方法则，，∴D错误. 3．已知，则下列不等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：已知， 不等号两边同时减1，不等号方向不变，得，故A选项不等式正确，不合题意； 不等号两边同时加m，不等号方向不变，得，故B选项不等式正确，不合题意； 不等号两边同时乘以，不等号方向改变，得，故C选项不等式正确，不合题意； 不等号两边同时乘以c时，若则，若则，若则，故D选项不等式不正确，符合题意． 4．如图，由绕点逆时针旋转得到，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由旋转可得，， ∵ ∴． 5．一个长方形的长，宽分别是和，这个长方形的面积是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的定义是关键．根据长方形的面积等于长乘以宽列式计算即可． 【详解】∵长方形的面积=长×宽， ∴面积， ， ． 故选D． 6．为促进学生健康成长和全面发展，漳州某校计划为“阳光体育大课间”活动采购一批体育器材．已知购买3副羽毛球拍和2副乒乓球拍共需120元，购买4副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需110元．设每副羽毛球拍x元，每副乒乓球拍y元，根据题意可列二元一次方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，只需根据题目给出的两个总价条件，找出等量关系即可列出方程组.，即可求解． 【详解】解：设每副羽毛球拍元，每副乒乓球拍元， 根据“购买3副羽毛球拍和2副乒乓球拍共需120元”，可得方程 ， 根据“购买4副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需110元”，可得方程 ， ∴可列二元一次方程组为． 7．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于”时，用反证法的假设正确的是：假设（    ） A．三个内角都大于 B．三个内角都小于 C．三个内角都不大于 D．三个内角至多有两个大于 【答案】A 【分析】本题考查了反证法．反证法是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后通过推理，推出矛盾，从而证明原命题成立． “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“三角形的三个内角都大于”． 【详解】∵命题“三角形的内角中至少有一个角不大于”，其结论为“至少有一个角不大于”，意思是三角形的三个内角中存在一个或者多个角是小于等于的， ∴它的否定就是三角形的三个内角都大于． ∴用反证法证明该命题时，应假设“三角形的三个内角都大于”． 故选：A． 8．如图，延长的边到点E，过点E作，平分，平分交的反向延长线于点F．已知，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点F作，结合平行线的判定和性质以及角平分线的定义可得，，根据三角形内角和定理可得，结合得到，求解即可． 【详解】解：过点F作， ∵， ∴， ∴，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9．2026年央视春晚的智能机器人舞蹈表演中，某款控制的机器人每秒完成0.0000005次精准的动作调整．将该数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【详解】解：将数据0.0000005用科学记数法表示为． 10．若，则___． 【答案】36 【详解】∵， ∴. 11．已知是方程的一个解，那么m的值是________． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的解的定义，将已知的的值代入原方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值，即可求解． 【详解】解：将代入方程， 得， 解得． 12．若一个正多边形的内角和等于外角和的2倍，则该正多边形的边数是______． 【答案】6 【分析】设边数为n，根据题意可列出方程进行求解． 【详解】解：设多边形有n条边，由题意得： ， 解得． 13．不等式的最大整数解是______． 【答案】2 【分析】先求解一元一次不等式得到解集，再在解集中找出最大整数解即可． 【详解】解：， ∴， 整理得：， 解得：， ∴不等式的最大整数解是． 14．说明命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】只需要满足即可． 【详解】解：当时，满足，此时，不满足， 故反例可以是． 15．已知的结果中不含的一次项，则的值为________． 【答案】 【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则展开原式，合并同类项后，利用结果中不含的一次项即一次项的系数为，列方程求解即可． 【详解】解： ， 结果中不含的一次项， ， 解得． 16．如图，在中，．将沿BC向右平移，得到，与交于点D，连接，若，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 8 【分析】利用平移的性质得到，，，从而可得，，然后根据梯形的面积公式计算． 【详解】解：∵将沿向右平移，得到，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ． 17．如图，在中，，点D、E分别为、边上的点，平分，平分，、相交于点O，若，则______． 【答案】/125度 【分析】首先由三角形内角和定理求出，然后结合角平分线求出，然后证明，即可得到． 【详解】解：∵ ∴ ∵平分，平分 ∴， ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 18．对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，已知，，若关于的不等式组恰好有个奇数解，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据，，可以求出，，把转化为一元一次不等式组，可得：，解不等式组可得，根据不等式组有个奇数解，可得关于的不等式，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：，， ， 解得：， 由， 可得：， 整理得：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组恰好有个奇数解， 这个奇数解为、、， ， 解得：． 三、解答题：本题共10小题，共96分. 19．（10分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式；（5分） （2）解： ．（10分） 20．（10分）解方程组、不等式组 (1)解方程组：； (2)解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】(1) (2)不等式组的解集为，所有整数解为 【分析】（1）利用加减消元法消去，使两个方程的系数统一为6，再两式相减消元先求，再代回求； （2）分别解两个一元一次不等式，取解集的公共部分得到不等式组解集，再从中筛选整数． 【详解】（1）解：， ①：③， ②：④， ④③：， ， 把代入②： ， ， ， 方程组的解：．（5分） （2）解：， 解不等式①：， ， ， 解不等式②（两边同乘4去分母）：， ， ， ， 不等式组解集：， 满足范围的整数解：0，1，2．（10分） 21．（8分）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】解：原式，（4分） 当时， 原式．（8分） 22．（8分）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得 ，根据角平分线的定义，可得 ，再根据平行线的判定，即可得出 ； （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵ 分别平分 和 （已知）， （角平分线的定义），（3分） （已知）， （两直线平行，内错角相等），（4分） （等量代换），（5分） （等式的性质）， （内错角相等，两直线平行），（6分） 故答案为： ；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行．（8分） 23．（10分）电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两城镇，的距离要相等，发射塔到两条高速公路和的距离要相等． ①连接，作线段的垂直平分线； ②作的平分线交于点； 则点就是所要修建的电视信号发射塔． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出电视信号发射塔的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图---线段的垂直平分线和角平分线，以及线段垂直平分线和角平分线的判定定理，正确掌握尺规作图的方法是解题的关键． 根据线段垂直平分线和角平分线的判定定理可得点为的角平分线与线段的垂直平分线的交点，据此利用尺规作图即可． 【详解】解：如图，点即为所求 （10分） 24．（8分）如图，在中，点D在上，是的平分线，点F在的延长线上，连接交于点G，． (1)求证：； (2)若且，求的度数． 【答案】(1)证明：在中，， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和求出，结合角平分线的定义推得，根据内错角相等，两直线平行即可证明； （2）根据两直线平行，同位角相等得出，推得，设，则，，结合三角形内角和是列方程求出的值，即可求解． 【详解】（1）略（4分） （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴； 设，则，，， 在中，， 即， 解得； 故．（8分） 25．（8分）某文具店购进A、B两款笔记本，购进2本A款和3本B款共需22元；购进5本A款和4本B款共需41元． (1)求A、B两款笔记本进价各多少元； (2)若计划购进两款笔记本共100本，A款售价5元，B款售价8元，全部售出后利润不低于280元，求A款最多购进多少本． 【答案】(1)A进价5元，B进价4元 (2)A款最多购进30本 【分析】（1）设A进价x元， B进价y元，购进2本A款和3本B款共需22元；购进5本A款和4本B款共需41元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设购进A款a本，根据全部售出后利润不低于280元列不等式并解不等式即可． 【详解】（1）解：设A进价x元， B进价y元， 解得 答：A进价5元，B进价4元．（4分） （2）解：设购进A款a本， ， 解得， ∴A款最多购进30本．（8分） 26．（10分）解答： 【知识技能】 已知：；； (1)填空： _____； _____． 【数学理解】 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 【解决问题】 (2)若满足，求的值； 【灵活运用】 (3)如图，已知正方形被分割成4个部分，其中四边形与为正方形，若，，四边形的面积为6，求正方形的面积． 【答案】(1)①；② (2)1 (3)33 【分析】（1）根据已知的两个等式变形即可解答； （2）设，，则，，再由，求出，即可解答； （3）由四边形的面积为6得到，设，，则，，，再根据计算即可． 【详解】（1）解：∵；； ； ．（3分） （2）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴．（6分） （3）解：∵四边形的面积为6， ∴，即， 设，，则，， 由题意可得， ∴， ∴ ．（10分） 27．（12分）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)方程与不等式的“梦想解”是______； (2)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式______的“梦想解”；（填序号） (3)若关于x，y的二元一次方程组与有“梦想解”，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)③ (3) 【分析】（1）先求出方程的解为，再将代入不等式进行验证即可； （2）解方程得，分别解不等式①②③，根据“梦想解”定义逐一判断即可求解； （3）解二元一次方程组得，进而求出，根据题意得即可得到，从而求出的取值范围﹒ 【详解】（1）解：由方程得：， 当时，， ∴方程与不等式的“梦想解”是．（4分） （2）解：解方程得， 解不等式得，故方程与不等式①没有梦想解； 解不等式得，故方程与不等式②没有梦想解； 解不等式得，故方程与不等式③的梦想解为﹒（8分） （3）解：解二元一次方程组， 得， ∴， ∵方程组和不等式有“梦想解”， ∴， ∴﹒（12分） 28．（12分）【发现问题】如图，点为线段延长线上一点，，连接，过点的直线，求证：． 小明想到了平行线可以改变角的位置而不改变角的大小，于是，他延长；小白想到把两个角分别放在两个三角形中，于是他延长，请你按照小明或者小白的想法完成此问题． 【解决问题】如图，沿方向平移到（、、共线），是线段延长线上一点，，与相交于点，、分别平分、且相交于点，，求与的数量关系． 【拓展问题】如图，沿方向平移到（、、共线），与相交于点，、分别平分、且相交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】发现问题：见解析；解决问题：；拓展问题：． 【分析】发现问题：按照小明的想法，延长FM交EC于点H，利用平行线性质和已知角相等来推导； 解决问题：通过平移性质得到平行关系，再结合角平分线定义，利用三角形外角性质等推导α与β的关系； 拓展问题：根据平移性质、角平分线定义，结合三角形内角和等知识推导与的关系． 【详解】解：发现问题：延长交于点． ， ， ， ， ， ；（4分） 解决问题：如图， 由平移得， ， 平分，平分 即 ；（8分） 拓展问题：如图，延长PO交AC于点R， 由平移性质得， ， 平分，平分 ∴，， ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴．（12分） 【点睛】本题主要考查了平移的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握平移的性质以及角平分线的定义是解题的关键． 16 学科网（北京）股份有限公司 $