精品解析：广东揭阳真理中学2025-2026学年七年级下学期下学期第二次综合训练数学试题

2025～2026学年度第二学期第二次综合训练七年级数学试卷 一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分） 1. 嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行1m大约需要．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在与中，，添加下列条件后，仍不能得到的是（ ） A. B. C. D. 5. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图为槐荫区勾股数学公众号二维码，小莲将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，她在纸片内随机掷点，经过大量试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.75左右，则据此估计此二维码白色部分的面积为（ ） A. 15 B. 5 C. 0.75 D. 0.25 6. 如图，用尺规作一个角等于已知角，其作图原理是：由△ODC≌△O′D′C′得∠AOB＝∠A′O′B′，其依据的定理是（　　） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 7. 等腰三角形的周长是30，其中一条边长为6，则等腰三角形的腰长为（ ） A. 18 B. 6或12 C. 12 D. 6 8. 若，则 的值为（ ） A. B. 8 C. 7 D. 6 9. 如图，都是的中线，连接，的面积足，则的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5题，每题3分，共15分） 11. 若代数式是完全平方式，则______． 12. 如图，在中，分别是的高和角平分线，，，则_______度． 13. 如图，在网格中，___________． 14. 如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C＝135°，∠A＝15°，则∠A′DB的度数为_____． 15. 如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动_________ s时，． 三、解答题（本大题共3小题，每小题7分， 共21分） 16. 先化简再求值：其中． 17. 如图，现有一转盘被平均分成八等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字． （1）转动转盘，转出的数字不大于4的概率是_______； （2）小明和小强玩转盘游戏，转出的数字为2的倍数小明胜，为3的倍数小强胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请你设计出公平的游戏规则． 18. 如图，点在同一直线上，点在的异侧，，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． （1）画出的重心． （2）在已知网格中找出所有格点，使点与的面积相等． 20. 已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． （1）若，，且c是奇数，试判断的形状； （2）化简：． 21. 如图，，，． （1）试说明：； （2）若，，求的度数． 五、解答题（本大题共2题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 图形可以形象直观显示数量关系．例如，根据图1可以得到，请解答下列问题： （1）根据图2，直接写出一个代数恒等式：____ ； （2）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张宽、长分别为a、b的长方形，9张边长为b的正方形纸片，拼成一个面积最小的正方形，则的值为____；这个正方形的边长为____；(用含a，b的式子表示) （3）如图4，是4个边长分别为a、b、c的直角三角形和1个边长为c的正方形拼成的大正方形．请根据图4中的图形关系可推导出a、b、c的数量关系式为____； （4）如图5，直角中，，，，点D是边上的一动点．请利用（3）的结论，求线段的最小值． 23. 综合题 （1）如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由． （2）【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由． （3）【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期第二次综合训练七年级数学试卷 一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分） 1. 嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行1m大约需要．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】， 故选：A． 【点睛】此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数大于10时，n等于原数的整数数位减1，按此方法即可正确求解． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、积的乘方、同底数幂的除法和乘法分别计算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 3. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、是边上的高，故此选项符合题意； C、不是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项不符合题意； 故选：B． 4. 在与中，，添加下列条件后，仍不能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题已知条件一边和一角，可以添加一边，利用可证三角形全等，一角或，利用证明全等． 【详解】A．，，根据可判定，故A可以判定，不符合题意． B．已知，可证，再加上，根据可判定，故B可以判定，不符合题意． C．，，无法根据判定，故C不可以判定，符合题意． D．， ，根据可判定，故D可以判定，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法，主要有、、、、，要特别注意是不能作为判定全等三角形全等的定理． 5. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图为槐荫区勾股数学公众号二维码，小莲将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，她在纸片内随机掷点，经过大量试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.75左右，则据此估计此二维码白色部分的面积为（ ） A. 15 B. 5 C. 0.75 D. 0.25 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右， 据此可以估计黑色部分的面积为, 此二维码白色部分的面积为． 6. 如图，用尺规作一个角等于已知角，其作图原理是：由△ODC≌△O′D′C′得∠AOB＝∠A′O′B′，其依据的定理是（　　） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 【答案】A 【解析】 【详解】分析：在做一个角等于已知角时，实际上作的是三边对应相等，根据三边对应相等两三角形全等，全等三角形的对应角相等可知所作的角等于已知角. 详解：在△OCD与△O′C′D′， ∵ , ∴△OCD≌△O′C′D′（SSS）， ∴∠A′O′B′=∠AOB， 显然运用的判定方法是SSS． 故选A. 点睛：本题考点是全等三角形的判定和性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解决本题的关键，本题是常考题，要熟练掌握 7. 等腰三角形的周长是30，其中一条边长为6，则等腰三角形的腰长为（ ） A. 18 B. 6或12 C. 12 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的定义，分两种情况，当底边为时，可得出腰长为12，当腰长为时，则底边长为，再利用三角形三边关系判断能否构造三角形． 【详解】解：当底边为时，可得出腰长为12，这时三边长为能构成三角形； 当腰长为时，则底边长为，这时三边长为不能构成三角形； 故等腰三角形腰长为.   故选：． 8. 若，则 的值为（ ） A. B. 8 C. 7 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则及整体代入思想，解题关键是利用幂的性质对变形后，将作为整体代入求值 ． 根据幂的运算法则对进行化简得，然后由，可得，再代入求值即可解答 【详解】 ， ∵， ∴， ∴原式， 故选：B． 9. 如图，都是的中线，连接，的面积足，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用三角形的中线求三角形的面积，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，两次利用该定理即可求得结果，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴为的中线， 即， 故选：B． 10. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，根据全等三角形的性质可得，再求出的长，然后根据求解即可得． 【详解】解：由题意可知，， ，与底面垂直，B处距地面高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是． 二、填空题（本大题共5题，每题3分，共15分） 11. 若代数式是完全平方式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键．根据完全平方式的结构特点进行解答即可． 【详解】解：∵多项式是完全平方式，即： ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在中，分别是的高和角平分线，，，则_______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形角平分线，高线，根据，得到，根据角平分线得到，根据高线得到即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵分别是的高和角平分线， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在网格中，___________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】由题意得，，，,用SSS可证明，根据全等三角形的性质和外角和内角之间的关系即可得． 【详解】如图 解：由题意得，，，， 在和中， ∴（SSS）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角与内角的关系，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 14. 如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C＝135°，∠A＝15°，则∠A′DB的度数为_____． 【答案】120° 【解析】 【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠B，根据两直线平行，同位角相等可得∠ADE=∠B，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE=∠ADE，然后根据平角等于180°列式计算即可得解． 【详解】解：∵∠C＝135°，∠A＝15°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣15°﹣135°＝30°， ∵△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′， ∴∠ADE＝∠B＝30°， ∠A′DE＝∠ADE＝30°， ∴∠A′DB＝180°﹣30°﹣30°＝120°． 故答案为120°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 15. 如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动_________ s时，． 【答案】6或2##2或6 【解析】 【分析】根据点的位置分情况讨论，证明，得到，最后结合速度求时间即可． 【详解】解：设点运动的时间为，如图1， 点从点出发沿射线方向运动， 为边上的高， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，且， ， 解得； 如图2，点从点出发沿射线方向运动，则， ， 在和中， ， ， ， ，且， ， 解得， 综上所述，当点运动或时，． 三、解答题（本大题共3小题，每小题7分， 共21分） 16. 先化简再求值：其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式去括号，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 17. 如图，现有一转盘被平均分成八等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字． （1）转动转盘，转出的数字不大于4的概率是_______； （2）小明和小强玩转盘游戏，转出的数字为2的倍数小明胜，为3的倍数小强胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请你设计出公平的游戏规则． 【答案】（1） （2）不公平；设计的方案：转出数字是奇数，则小明胜，转出数字是偶数，则小强胜（答案不唯一，设计方案正确即可） 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率、概率的应用等知识点，掌握几何概率的求法成为解题的关键． （1）转出的数字不大于4的可能是1、2、3、4这4种结果，利用概率公式即可解答； （2）先分别求出转出的数字为2的倍数、3的倍数的概率，然后再比较即可判定游戏的公平性；然后设计出公平的游戏方案即可． 【小问1详解】 解：转出的数字不大于4的可能是1、2、3、4这4种结果，则转出的数字不大于4的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：转出的数字为2的倍的可能是2、4、6、8，即小明胜的概率为；转出的数字为3的倍的可能是3、6、9，即小强胜的概率为；由，故该游戏不公平； 设计的方案：转出数字是奇数，则小明胜，转出数字是偶数，则小强胜． 18. 如图，点在同一直线上，点在的异侧，，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， ， ． （2）102° 【解析】 【分析】(1) 由利用等式的性质得，结合已知和，利用判定，得到对应角，再通过内错角相等证明． (2) 由全等性质得，结合求得，再利用三角形外角定理得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ， ， ． 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． （1）画出的重心． （2）在已知网格中找出所有格点，使点与的面积相等． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了重心，等高模型，掌握重心的定义和画图方法是解题关键． （1）重心是三角形的中线的交点，作的中线，交于点，点即为所求； （2）根据等高模型解决问题即可． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求， 【小问2详解】 解：如图，点，即为所求， 20. 已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． （1）若，，且c是奇数，试判断的形状； （2）化简：． 【答案】（1）等腰三角形 （2） 【解析】 【分析】(1) 根据三角形三边关系确定的取值范围为，结合为奇数得，从而，判定为等腰三角形． (2) 利用三角形两边之和大于第三边判定三个绝对值内的代数式均为负数，去绝对值后合并同类项化简得． 【小问1详解】 解：∵a，b，c是的三边长 且，， ∴，即， ∵c是奇数， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵a，b，c是的三边长 ∴，，， ∴， ∴原式 ． 21. 如图，，，． （1）试说明：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理； （1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论； （2）由平行线的性质及平角的定义可求解∠2的度数，再利用三角形的内角和定理可求解． 【小问1详解】 ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）．（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 五、解答题（本大题共2题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 图形可以形象直观显示数量关系．例如，根据图1可以得到，请解答下列问题： （1）根据图2，直接写出一个代数恒等式：____ ； （2）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张宽、长分别为a、b的长方形，9张边长为b的正方形纸片，拼成一个面积最小的正方形，则的值为____；这个正方形的边长为____；(用含a，b的式子表示) （3）如图4，是4个边长分别为a、b、c的直角三角形和1个边长为c的正方形拼成的大正方形．请根据图4中的图形关系可推导出a、b、c的数量关系式为____； （4）如图5，直角中，，，，点D是边上的一动点．请利用（3）的结论，求线段的最小值． 【答案】（1） （2）， （3） （4） 【解析】 【分析】（1）图2中大正方形边长为，其面积既可整体表示为，也可分割为3个正方形与6个矩形面积之和，据此建立恒等式． （2）拼成的正方形总面积为，设边长为展开后比较系数，由项得，取最小正整数确定、及边长． （3）大正方形面积用两种方法表示：整体得，分割得4个直角三角形与中间小正方形面积之和，联立即得、、的数量关系． （4）先由勾股定理求斜边，再根据垂线段最短知当时取最小值，利用面积法列方程求解． 【小问1详解】 解：由图2可知，大正方形的边长为， 大正方形的面积， 又大正方形的面积等于各小图形面积之和， ． 【小问2详解】 解：设拼成的正方形边长为（，为正整数）， 正方形的面积， 又正方形面积， ， 解得， ，， 正方形面积最小， ， ，， ，正方形边长为． 【小问3详解】 解：由图4可知，大正方形的边长为， 大正方形的面积， 又大正方形的面积等于4个直角三角形与中间小正方形的面积之和， 面积， ， ． 【小问4详解】 解：在中，， ，， ， 点是边上的一动点， 当时，最小， ， 又， ， ． 23. 综合题 （1）如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由． （2）【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由． （3）【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为 ． 【答案】（1）解：且 理由: 当时，，， ， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ， ． （2）解：，理由如下： ，， ， 又，，三点在直线上， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． （3）6 【解析】 【分析】(1) 当时，，，结合，利用SAS判定，得到及，再通过直角互余与平角关系证得． (2) 利用三角形内角和与平角关系转化得到，结合已知角等和，利用AAS判定，从而得，，相加即得． (3) 由(2)的模型可得，从而，将面积和转化为；再利用及同高三角形面积比等于底边比，得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由(2)同理可证， ， ， 直线与的延长线交于点，且， 与有公共顶点，且底边与在同一直线上， ， ， ， 即与的面积之和为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $