8.3 第2课时 平方差公式 课件 2025-2026学年沪科版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦“平方差公式”，通过回顾多项式乘多项式法则，结合“做一做”中四组具体等式引导学生观察规律，从已有知识自然过渡到公式推导，搭建起从一般到特殊的学习支架。 其亮点在于以“观察—归纳—应用”为主线，通过合作探究和几何图形面积解释培养学生数学眼光中的抽象能力与几何直观，例题涵盖数、单项式、多项式等不同形式，强化数学思维中的推理与运算能力。课堂小结系统归纳公式结构与注意事项，帮助学生构建知识体系，既提升学生公式应用能力，也为教师提供清晰的教学流程与丰富实例。

第8章 整式乘法与因式分解 8.3 完全平方公式与平方差公式 第2课时 平方差公式 学习目标 1. 理解并掌握平方差公式的推导和应用.（重点） 2. 理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简 单的运算.（难点） 多项式与多项式是如何相乘的？ ( a + b )( m + n ) = am + an + bm + bn 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加. 多项式乘多项式法则 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 做一做 (1) (x+3)(x−3) ； (2) (1+2a)(1−2a) ； (3) (x+4y)(x−4y) ； (4) (y+5z)(y−5z) ； =x2−9 ; =1−4a2 ; =x2−16y2 ; =y2−25z2 ; 你能说出等式两边的代数式意义吗？ =x2−32 ; =12−(2a)2 ; =x2−(4y)2 ; =y2−(5z)2 . 通过观察你能得到什么规律？你可以表达出来吗？ (1) (x+3)(x−3) ； (2) (1+2a)(1−2a) ； (3) (x+4y)(x−4y) ； (4) (y+5z)(y−5z) ； (1) (x+3)(x−3) ； (2) (1+2a)(1−2a) ； (3) (x+4y)(x−4y) ； (4) (y+5z)(y−5z) ； (1) (x+3)(x−3) ； (2) (1+2a)(1−2a) ； (3) (x+4y)(x−4y) ； (4) (y+5z)(y−5z) ； 两数和 两数差 两数平方差 两数和与这两数差的积等于这两数的平方差 平方差公式 ①（x＋2)(x－2) ② (1＋3a)(1－3a) ③ (x＋5y)(x－5y) ④ (2y＋z)(2y－z） 算一算：看谁算得又快又准. 讲授新课 平方差公式 合作探究 ②（1＋3a)(1－3a)=1－9a2 ③（x＋5y)(x－5y)=x2－25y2 ④（2y＋z)(2y－z)= 4y2－z2 ①（x＋2)(x－2)=x2－4 想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么 规律？ =x2－22 =12－(3a)2 =x2－(5y)2 =(2y)2－z2 用自己的语言叙述你的发现. 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方的差. 侵权必究 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 也可以这样说：两个数的和与这两个数的差的积，等于相同项的平方减去相反项的平方。 (a+b)(a－b)= a2－ b2. 平方差公式 1 ① (x + 1)( x - 1)； ② (m + 2)( m - 2)； ③ (2m + 1)(2m - 1)； ④ (5y + z)(5y - z). 算一算：看谁算得又快又准. ② (m + 2)( m - 2) = m2 - 4 ③ (2m + 1)( 2m - 1) = 4m2 - 1 ④ (5y + z)(5y - z) = 25y2 - z2 ① (x + 1)( x - 1) = x2 - 1 想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么规律？ = x2 - 12 = m2 - 22 = (2m)2 - 12 = (5y)2 - z2 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 练习：下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够，怎样计算? (1)(2c+3b)(2c−3b) ; (2)(x−y)(y−x) ; (3)(d+2b)(2d+b); (4)(a−b)(a+b) ; (5)(2x+y)(y−2x). 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 (1)等号左边是两个二项式相乘. 即一项相同，一项互为相反数. (2) 公式右边是这两个数的平方差； 相同项的平方减去相反项的平方 (3) 公式中的 a和b 可以代表数， 也可以是代数式． 注意： (2) 公式右边是这两个数的平方差； 相同项的平方减去相反项的平方 (2) 公式右边是这两个数的平方差； 相同项的平方减去相反项的平方 (a + b)(a - b) = a2 - b2 注意：字母a、b可以是数字，也可是单项式或多项式。 要点归纳 平方差公式： 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 例1 运用平方差公式计算： 52 解：原式= -(6x)2 =25-36x2 (1) ( 5 +6x )(5 -6x ) (2) ( x -2y )( x +2y ) 解：原式= x2 -(2y)2 = x2- 4y2 典例精讲 (3) (－m＋n)(－m－n). 解：原式＝(－m)2－n2 ＝m2－n2 (a + b)(a - b) = a2 - b2 例1 运用平方差公式计算： 52 解：原式= -(6x)2 =25-36x2 (1) ( 5 +6x )(5 -6x ) (2) ( x -2y )( x +2y ) 解：原式= x2 -(2y)2 = x2- 4y2 典例精讲 (3) (－m＋n)(－m－n). 解：原式＝(－m)2－n2 ＝m2－n2 (a + b)(a - b) = a2 - b2 (a + b)(a − b) = a2 − b2. 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 公式变形： (a – b) (a + b) = a2 − b2， (b + a)(−b + a) = a2 − b2. 平方差公式： 要点归纳 平方差公式 注意：这里的两数可以是两个数字或字母，也可以是两个式子，合理加括号可以简化计算． (a + b)(a - b) = a2 - b2 系数相同为 a 系数相反为 b 适当交换a，b的位置可以便于观察 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 做一做 b a a b 原图实际面积为：________________ 长方形的面积为：_________________ b a a b a-b b a 解决问题 20 www.1230.org 初中数学资源网，我们一直在努力！ 例2 运用平方差公式计算： (1) ； (2) (ab + 8)(ab－8). 典例精讲 解：(1) 原式 = (2) 原式 = (ab)2－82 = a2b2－64. 侵权必究 典例精析 例3. 计算: (1) 103×97; (2) 118×122. 解: 103×97 =(100+3)(100－3) = 1002－32 =10000 – 9 =9991； 解: 118×122 =(120－2)(120＋2) = 1202－22 =14400－4 =14396. 注意：不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用 如何利用几何的形式解释平方差公式？ 想一想 a a b b a + b a - b b b a a b b a2 - b2 a b b b (a + b)(a - b) (a + b)(a - b) = a2 - b2 a - b a - b 例2 用平方差公式计算: 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 练习： 例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)， 其中 x＝1，y＝2. 解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) ＝4x2－y2－ (4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2. 当 x＝1，y＝2 时，原式＝5×12－5×22＝－15. 方法总结：利用平方差公式先化简再求值，一般不要先直接代入数值计算． 侵权必究 例4. 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋ x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2. 解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) ＝4x2－y2－ (4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2. 当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15. 方法总结：利用平方差公式先化简再求值， 切忌代入数值直接计算． 课堂小结 $