8.4.1 提公因式法 课件 2025-2026学年沪科版七年级数学下册

第8章 整式乘法与因式分解 8.4.1 提公因式法 课堂小结 例题讲解 获取新知 随堂演练 知识回顾 知识回顾 我们已经学过有关整式的哪些运算了？ 整式的加减运算 整式的乘法运算 去括号，合并同类项 一个或几个单项式的和 除了以上问题，我们还可以研究哪些问题？ 单项式×单项式 单项式×多项式 多项式×多项式 一个或几个单项式的和 获取新知 在小学，我们学过整数的因数分解，例如， 6＝2×3，30＝2×3×5. 类似地，在整式中，也可以把一个多项式化成几个因式乘积的形式，例如， a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2， a2－2ab＋b2＝(a－b)2， a2－b2 ＝(a＋b)(a－b)， na＋nb＋nc＝ n(a＋b＋c). 定义： 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 要点精析： (1)因式分解研究的对象是多项式，结果是整式的积． (2)因式分解是等式变形，形式改变但值不改变． (3)因式分解必须分解到每个多项式的因式不能分解为止． 1.运用整式乘法法则或公式填空： (1) m(a+b+c)= ； (2) (x+1)(x-1)= ； (3) (a+b)2 = . ma+mb+mc x2 -1 a2 +2ab+b2 2.根据等式的性质填空： (1) ma+mb+mc=( )( ) (2) x2 -1 =( )( ) (3) a2 +2ab+b2 =( )2 m a+b+c x+1 x-1 a+b 整式乘法与因式分解两种形式之间是什么关系呢？ 等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积 整式乘法与因式分解的关系： 整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形． 即：多项式 整式乘法． 整式乘法 因式分解 例题讲解 例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(　　) A．a2＋1＝　　　　　 B．(x＋1)(x－1)＝x2－1 C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1 D．x2y＋xy2＝xy(x＋y) D pa + pb + pc 多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的公因式. 相同因式p 问题1 观察下列多项式，它们有什么共同特点？ x2＋x 相同因式x 获取新知 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. (a+b+c) pa+ pb +pc p = 找 3x 2 – 6 xy 的公因式. 系数：最大公约数 3 字母：相同的字母 x 所以公因式是3x 指数：相同字母的最低次数 1 问题2 如何确定一个多项式的公因式？ 找准公因式要“三看”，即： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项的系数的最大公约数； 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的次数：各相同字母的指数取次数最低的. 全品初中 找一找: 下列各多项式的公因式是什么？ 3 a a2 2(m+n) 3mn -2xy (1) 3x+6y (2)ab-2ac (3) a 2 - a 3 (4)9m2n-6mn (5)-6x2y-8xy 2 (6)4 (m+n) 2 +2(m+n) 把12x2y+18xy2分解因式. 解：原式 =3xy(4x + 6y). 错误 公因式没有提尽，还可以提出公因式2 注意：公因式要提尽. 正解：原式=6xy(2x+3y). 小明的解法有误吗？ huang zhanyong (zh) - 通过让学生找错误的地方，总结因式分解过程中的需要注意的地方，这样可以加深印象，教学时也可以教给学生检查是否漏项的方法：最好是用单项式乘以多项式的乘法进行验证 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1. 错误 注意：当多项式的某一项和公因式相同时，提出莫漏1. 解：原式 =3x(x-2y). 把3x2 - 6xy+3x分解因式. 正解：原式=3x·x-3x·2y+3x·1 =3x(x-2y+1) 小亮的解法有误吗？ huang zhanyong (zh) - 通过让学生找错误的地方，总结因式分解过程中的需要注意的地方，这样可以加深印象，教学时也可以教给学生检查是否漏项的方法：最好是用单项式乘以多项式的乘法进行验证 提出负号时括号里的项没变号 错误 把 - x2+xy-xz分解因式. 解：原式= - x(x+y-z). 注意：首项有负常提负. 正解：原式= - (x2-xy+xz) =- x(x-y+z) 小华的解法有误吗？ Administrator (A) - 通过让学生找错误的地方，总结因式分解过程中的需要注意的地方，这样可以加深印象，教学时也可以教给学生检查是否漏项的方法：最好是用单项式乘以多项式的乘法进行验证 解：(1) 4m2－8mn ＝4m·m－4m·2n ＝4m(m－2n). 例2 把下列各式分解因式: (1)4m2－8mn； (2)3ax2－6axy＋3a. (2) 3ax2－6axy＋3a ＝3a·x2－3a·2xy＋3a·1 ＝3a(x2－2xy＋1). 例题讲解 全品文教初中 解：(1) 2x(b＋c)－3y(b＋c) ＝(b＋c)(2x－3y). 例3 把下列各式分解因式: (1)2x(b＋c)－3y(b＋c)； (2)3n(x－2)＋(2－x). (2) 3n(x－2)＋(2－x) ＝3n(x－2)－(x－2) ＝(x－2)(3n－1). 提公因式法分解因式，要注意： 当某项恰好是公因式时，提取公因式后要用“1”把守；出现形如(b－a)3、(b－a)2等形式的式子，可化成－(a－b)3、(a－b)2的形式，即指数是奇数时要改变符号，指数是偶数时不改变符号，简言之：奇变偶不变． 随堂演练 1. 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　) ①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 2.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是（　　） A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D．5mn2 C 3.把下列各式分解因式: (1) 8a3b2 + 12ab3c； (2) 2a(b+c) - 3(b+c). 解：（1） 8a3b2 + 12ab3c =4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc =4ab2(2a2+3bc)； （2） 2a(b+c)-3(b+c) =(b+c)(2a-3). 4. 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值． ∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28. 解：∵a＋b＝7，ab＝4， 课堂小结 因式 分解 定义 方法 提公因式法 公式法 确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数 （下节课学习） 注意 1.分解因式是一种恒等变形； 2.公因式：要提尽； 3.不要漏项； 4.提负号，要注意变号 分两步： 第一步找公因式；第二步提公因式 $