精品解析：2026年新疆部分校中考素养调研考前模拟考试数学试题

2026年中考素养调研第三次模拟考试 数学（问卷） （卷面分值：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷为问答分离式试卷，由问卷和答题卡两部分构成，答案务必写或涂在答题卡的指定位置上． 2．答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、市（县、区）、考点名称、考场号、座位号等信息填写在答题卡的密封区内． 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请按答题卷中的要求作答） 1. 刘徽在公元3世纪为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之，正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量，若盈利300元记作元，则亏损100元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 计算结果是（ ） A. B. C. D. 4. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一次函数，若y的值随x的值的增大而减小，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：如图所示，为的直径，，垂足为E，寸，寸，则直径长度是（ ） A. 12寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 7. 某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点B、C的对应点分别为，且旋转角为锐角，连接．当点恰好落在直线上时，线段的长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9. 在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点是线段上的动点，连接，过点作，交轴于点．则点纵坐标的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 某文创店售卖马年纪念徽章，若每个售价为5元，则x个纪念徽章的销售总价为_____元． 11. 因式分解：________． 12. 为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是___________（结果精确到0.1） 13. 已知一个多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为____ ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则________． 15. 中，，相交于点，且，若，则的长为_____ 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求解答： （1）计算：； （2）求不等式组：的解集，并写出其最小整数解． 17. 按要求解答问题： （1）计算：； （2）已知甲骑自行车，乙骑电动车，他们沿相同路线由A地到B地，行驶的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： ①A、B两地的路程为_____千米； ②乙在距A地多少千米处追上甲？此时甲行驶了多少小时． 18. 小果同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的掌握相关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与证明： （1）（尺规作图）在菱形中，交于点O．在右侧作，在上截取，连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是矩形． 19. 某校加强了1分钟定时跳绳的训练后，抽样调查部分学生的“1分钟跳绳”的成绩，并绘制了如下两幅不完整的频数直方图和扇形图． 根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）求抽样的人数以及扇形图中m的值； （2）抽样中D组有_______人，本次抽取的部分学生“1分钟跳绳”成绩组成的一组数据的中位数落在 组（填“A” “B” “C” “D”或“E”），并补全频数直方图； （3）如果“1分钟跳绳”成绩大于等于140次为优秀，那么该校2100名学生中“1分钟跳绳”成绩为优秀的大约有多少人？ 20. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 21. 如图所示的是隧道的截面，其由抛物线和矩形构成，矩形的长是、宽是，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点到的水平距离为，到地面的竖直距离为． （1）求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶到地面的距离； （2）在抛物线形拱壁上安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果两排灯的水平距离不大于，那么灯离地面的最小高度是多少米？ 22. 如图，四边形内接于，是的直径，点D在的延长线上，延长交的延长线于点F，点C是的中点，． （1）求证：是的切线； （2）求证：是等腰三角形； （3）若，，求的长． 23. 如果一个三角形的一边是另一边的2倍，那么称这个三角形为“和谐三角形”． （1）初步探索：如图1，和谐三角形中，，是的角平分线，是的中线．猜想与的位置关系，并说明理由． （2）尝试应用：在（1）的条件下，，，求的长度． （3）拓展延伸：如图2，和谐三角形中，，点在上，且，的平分线与的平分线交于点．点与点，，的距离分别为，，，写出，，之间的等量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考素养调研第三次模拟考试 数学（问卷） （卷面分值：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷为问答分离式试卷，由问卷和答题卡两部分构成，答案务必写或涂在答题卡的指定位置上． 2．答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、市（县、区）、考点名称、考场号、座位号等信息填写在答题卡的密封区内． 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请按答题卷中的要求作答） 1. 刘徽在公元3世纪为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之，正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量，若盈利300元记作元，则亏损100元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】正负数可用来表示一对相反意义的量，根据题目给定的规则即可直接得出结果． 【详解】解：∵盈利与亏损是相反意义的量，规定盈利元记作元， ∴亏损元应记作元． 2. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从正面所看得到的图形为主视图，据此解答即可． 【详解】解：从正面可发现有两层，底层三个正方形，上层的左边是一个正方形． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图成为解答本题的关键． 3. 计算结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握积的乘方和负数的偶次幂的运算是解题的关键，利用即可解答． 【详解】解：， 故选：D． 4. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查数轴与绝对值．根据实数a，b在数轴上的对应点的位置结合加减运算法则逐一判断即可． 【详解】解：由数轴得， ∴，，，， ∴选项C符合题意； 故选：C． 5. 已知一次函数，若y的值随x的值的增大而减小，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一次函数的性质，可得出，解之即可得出k的取值范围． 【详解】解：∵y的值随x的值的增大而减小， ∴， 解得：， ∴k的取值范围为． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 6. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：如图所示，为的直径，，垂足为E，寸，寸，则直径长度是（ ） A. 12寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 设的半径为，根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理列出方程，求解半径，从而求出直径长度． 【详解】解：设的半径为， 、、， 为的直径，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 寸． 7. 某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解决本题的关键． 先把时间化为小时，设甲车的速度为，则乙车的速度为，表示出两车的时间，再根据时间相差5分钟建立方程即可． 【详解】解：，设甲车的速度为，根据题意可列方程： ， 故选：D． 8. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点B、C的对应点分别为，且旋转角为锐角，连接．当点恰好落在直线上时，线段的长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识，掌握旋转的性质是解题关键．连接，令与的交点为，结合旋转的性质，证明，得到，从而得出垂直平分，由勾股定理可得，再结合三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，令与的交点为， 点恰好落在直线上， 、、三点共线， ， 由旋转的性质可知，，， ， 在和中， ， ， ， 又， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 9. 在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点是线段上的动点，连接，过点作，交轴于点．则点纵坐标的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正切的定义，二次函数的性质，点的坐标；设，过点作轴，延长交轴于点，设交轴于点，根据得出，进而得出时，，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：设，过点作轴，延长交轴于点，设交轴于点 当时，如图， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，如图，同理可得 ∴ ∴ ∴ 当时，，重合，则重合，此时， ∴当时，也成立 ∴， ∵ 当时，取得最小值为 当时，取得最大值为 ∴ 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 某文创店售卖马年纪念徽章，若每个售价为5元，则x个纪念徽章的销售总价为_____元． 【答案】 【解析】 【分析】根据总价等于单价乘以数量即可求解． 【详解】解：x个纪念徽章的销售总价为元． 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：. 12. 为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是___________（结果精确到0.1） 【答案】0.9 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可． 【详解】解∶根据表中数据，试验频率逐渐稳定在0.9左右． 这种幼苗在此条件下移植成活的概率是0.9； 故答案为 ∶0.9． 13. 已知一个多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为____ ． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角，掌握知识点是解题的关键． 利用多边形的外角和定理，每个外角为，外角和为，即可求出多边形的边数． 【详解】解：每个内角为，则每个外角为， ∵多边形的外角和为， ∴多边形的边数为． 故答案为：8． 14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点作轴的垂线，垂足分别为，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图， ∵， ∴， ∴设，则， ∴点， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴（负值已舍），则点， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点， ∵点B落在反比例函数上， ∴， 故答案为：8． 15. 中，，相交于点，且，若，则的长为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，勾股定理，作于点，延长到点，使，连接，可得是的垂直平分线，得，，再根据三角形的外角定义可得，得，设 ，根据平行四边形的对角线互相平分可得，再根据勾股定理即可求出的长，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，作于点，延长到点，使，连接，则是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵四边形平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 解得或(不合，舍去)， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求解答： （1）计算：； （2）求不等式组：的解集，并写出其最小整数解． 【答案】（1） （2），最小整数解为 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是；其最小整数解是． 17. 按要求解答问题： （1）计算：； （2）已知甲骑自行车，乙骑电动车，他们沿相同路线由A地到B地，行驶的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： ①A、B两地的路程为_____千米； ②乙在距A地多少千米处追上甲？此时甲行驶了多少小时． 【答案】（1） （2）①；②乙在距A地千米处追上甲，此时甲行驶了小时 【解析】 【分析】（1）按照分式混合运算的法则进行计算即可； （2）①根据图象直接判断即可； ②分别求出两条线段的解析式，再联立求出交点坐标即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：①由图可知，A、B两地的路程为千米； ②设甲的运动路径的函数解析式为， 将点代入，得， ∴甲的运动路径的函数解析式为， 设乙的运动路径的函数解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴乙的运动路径的函数解析式为， 联立两个函数可得， ， 解得， ∴交点坐标为， ∴乙在距A地千米处追上甲，此时甲行驶了小时． 18. 小果同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的掌握相关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与证明： （1）（尺规作图）在菱形中，交于点O．在右侧作，在上截取，连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，作一个角等于已知角，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据题意用尺规在右侧作，在上截取，连接，即可求解． （2）根据菱形的性质，先证明四边形是平行四边形，再根据即可证明． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 证明：四边形是菱形， ，． ． ， ． ， ． 四边形是平行四边形， ． 四边形是矩形． 19. 某校加强了1分钟定时跳绳的训练后，抽样调查部分学生的“1分钟跳绳”的成绩，并绘制了如下两幅不完整的频数直方图和扇形图． 根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）求抽样的人数以及扇形图中m的值； （2）抽样中D组有_______人，本次抽取的部分学生“1分钟跳绳”成绩组成的一组数据的中位数落在 组（填“A” “B” “C” “D”或“E”），并补全频数直方图； （3）如果“1分钟跳绳”成绩大于等于140次为优秀，那么该校2100名学生中“1分钟跳绳”成绩为优秀的大约有多少人？ 【答案】（1）抽样的人数60人， （2）16；C，见解析 （3）该校2100名学生中“1分钟跳绳”成绩为优秀的大约有735人 【解析】 【分析】（1）根据A组的占比及频数即可求得抽样的总人数；由B组的占比可求得扇形统计图中B组对应的扇形的圆心角； （2）根据（1）求得的抽样总人数即可求得D组的人数，可确定中位数落在哪组，补全统计图即可； （3）用样本估计总体的思想方法可求得该校2100名学生中“1分钟跳绳”成绩为优秀的大约人数． 【小问1详解】 解：抽样的人数是（人）． ． 【小问2详解】 解：抽样中D组有（人）． 将60个数按从小到大的顺序排列，第30个和第31个数的平均数是中位数，由频数直方图，知第30个和第31个数在C组． 补全频数直方图如图所示： 【小问3详解】 解：， 答：该校2100名学生中“1分钟跳绳”成绩为优秀的大约有735人． 20. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据等腰三角形的性质计算出的值； （2）利用锐角三角函数求出长，然后根据计算即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：由题可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 21. 如图所示的是隧道的截面，其由抛物线和矩形构成，矩形的长是、宽是，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点到的水平距离为，到地面的竖直距离为． （1）求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶到地面的距离； （2）在抛物线形拱壁上安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果两排灯的水平距离不大于，那么灯离地面的最小高度是多少米？ 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先确定点和点坐标，然后利用待定系数法可以求出抛物线解析式；再利用配方法确定顶点的坐标，即可得到拱顶到地面的距离； （2）设两排灯的截面图分别为点、，当时，由抛物线的对称性可知点的横坐标，将横坐标代入解析式中求解对应的值，即可得解． 【小问1详解】 解：由题意知，，， 将点，代入中，得 ，解得， 抛物线的函数表达式为， ， 抛物线的顶点坐标为， 拱顶到地面的距离为； 【小问2详解】 解：如图，设两排灯的截面图分别为点、． 当时，由抛物线的对称性可知：点的横坐标为， 将代入得：， 根据图象，易知当灯离地面的高度时，， 即灯离地面的最小高度是． 22. 如图，四边形内接于，是的直径，点D在的延长线上，延长交的延长线于点F，点C是的中点，． （1）求证：是的切线； （2）求证：是等腰三角形； （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题为圆中几何问题的综合计算与证明，主要考查切线的判定，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定是解题的关键，（1）连接，根据中位线的性质可得到，再通过等量代换即可得到，从而得到是的切线；（2）利用圆的内接四边形对角相等，得到，从而得到，即可证明是等腰三角形；（3）连接，易证，则，即可得到的长度；再利用勾股定理可得的长，同时可得的长，再利用解直角三角形即可得到的长． 【小问1详解】 证明：连接，如下图， C是的中点，O是的中点， ， ， ， ， 为的直径， ∴， 即， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 证明：点C是的中点，，即， ， ∴， 四边形内接于， ， ， 是等腰三角形； 【小问3详解】 解：连接， ，， ， ，即， ，， ； 在中，由勾股定理可得， 即， 解得，则， 是圆O的直径， ， ，即． 解得． 23. 如果一个三角形的一边是另一边的2倍，那么称这个三角形为“和谐三角形”． （1）初步探索：如图1，和谐三角形中，，是的角平分线，是的中线．猜想与的位置关系，并说明理由． （2）尝试应用：在（1）的条件下，，，求的长度． （3）拓展延伸：如图2，和谐三角形中，，点在上，且，的平分线与的平分线交于点．点与点，，的距离分别为，，，写出，，之间的等量关系，并证明． 【答案】（1），理由见解析 （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）先证明为等腰三角形，再根据三线合一的性质，即可求解； （2）勾股定理求得，过点作，交于点，证明，，根据相似三角形的性质可得，进而求得，即可求解； （3）证明得出，，即可证明是“和谐三角形”； 延长交于点，得到 ， ， ，延长至点，使，连接，证明得出，，根据勾股定理即可得出结论． 【小问1详解】 解：，理由如下： 为“和谐三角形”，是的中线， ，， ， 为等腰三角形 是的角平分线，即平分， ，即 【小问2详解】 为和谐三角形，是的中线， ， 为等腰三角形 平分， 在中， 如图，过点作，交于点 ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 【小问3详解】 ； 证明：， ∴ ， ∴是“和谐三角形” 如图，延长交于点， 的平分线与的平分线交于点， 又，，， ， ， 延长至点，使，连接 在中 ， 在中，根据勾股定理可得 ∴，即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $