8.3.1+完全平方公式 课件 2025-2026学年沪科版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦完全平方公式的推导与应用，通过复习多项式乘法法则，引导学生计算(x+1)²、(x-1)²等具体算式，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生自然过渡到公式探究。 其亮点在于采用数形结合（拼边长为a+b的正方形验证面积关系）与代数推导（多项式乘法展开）双路径，结合错误辨析（如纠正(x+y)²=x²+y²等常见错误）和分层典例（基础计算到102²简便运算），培养学生几何直观、推理意识和模型意识。小结归纳公式特征与应用注意事项，助力学生理解公式本质，教师可高效开展教学。

第8章 整式乘法与因式分解 课题：完全平方公式 沪科版 七年级 数学（下） 1 导入新课 多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加. (a + b)(m + n) = + bm am + an + bn 学有鸿鹄志 展翅任翱翔 3 2．计算：(1)(x＋1)2；(2)(x－1)2； 解：(1)(x＋1)2＝(x＋1)(x＋1) ＝x2＋x＋x＋1 ＝x2＋2x＋1； (2)(x－1)2＝(x－1)(x－1) ＝x2－x－x＋1 ＝x2－2x＋1； 数形结合 现有三种规格的硬纸片各若干张，请你选取相应种类和数量的硬纸片，拼出一个边长为（a+b)的正方形，计算大正方形面积和各小正方形面积关系是怎样的。 b a b a a+b a b a b (a+b)² (a+b)² =a²+2ab+b² 大正方形的面积等于两个正方形和两个长方形的面积的和 几何解释： b a b a 图2 探究新知 完全平方公式 (a + b)2 = _______________ (a － b)2 = _______________ a2 + 2ab + b2 a2 － 2ab + b2 完全平方公式 两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的 2 倍. 观察 完全平方公式，除了直接由多项式的乘法得到，还可以通过图形面积割补的方法得到. 观察下面的两幅图，写出所蕴含的等式. a b a b (a + b)2 a2 ab ab = + + (a + b)2 = a2 + 2ab +（ ） b2 学有鸿鹄志 展翅任翱翔 10 a b a b (a － b)2 a2 = － + (a － b)2 = a2 －（ ）+ b2 b2 2ab 侵权必究 (a+b)2 (a-b)2 = a2 +2ab+b2 = a2 - 2ab+b2 = a2 +ab +ab +b2 = a2 - ab - ab +b2 =(a+b) (a+b) =(a-b) (a-b) 新课引入：从代数角度验证猜想 侵权必究 （1）(p+1)2 = ________ （2）(m+2)2= _________ （3）(p-1)2 = ________ （4）(m-2)2 = __________. P 2+2p+1 m 2+4m+4 P 2-2p+1 m 2- 4m+4 计算下列各式，看自己是否能发现什么规律 猜想: 侵权必究 (a+b)2 = a2 +2ab+b2 (a-b)2 =a2 - 2ab+b2 结构特征: （1）结果都是三项式 （2）其中有两项是首项和尾项的平方 完全平方式 完全平方公式 请同学们利用多项式乘法以及幂的意义进行计算. (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 归纳新知 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 右边第一项是左边第一项的平方， 右边最后一项是第二项的平方， 中间一项是它们两个乘积的2倍． 典例精析 例1 利用乘法公式计算： （1）(2x + y)2； 解 （1）(2x + y)2 = (2x)2 + 2·(2x)y + y2 ( a + b )2 = a2 + 2 a b + b2 = 4x2 + 4xy + y2 运用公式计算，要先识别 a，b 在具体式子中分别表示什么. 17 （2）(3a －2b)2. （2）(3a －2b)2 = (3a)2 －2·(3a)(2b) + (2b)2 ( a － b )2 = a2 － 2 a b + b2 = 9a2 －12ab + 4b2 语言描述： 两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数乘积的2倍 (a b) =a 2ab + b － ＋ － ＋ 2 2 2 （1）二次三项式 （2）其中两项为两数的平方和，另一项是两数积的2倍，且与公式中间的符号相同 （3）公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式 公式 特点 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍． 这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式. 归纳新知 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a - b)2=a2-2ab+b2 归纳新知 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 右边第一项是左边第一项的平方， 右边最后一项是第二项的平方， 中间一项是它们两个乘积的2倍． 左边如果为“+”号，右边全是“+”号， 左边如果为“-”号，它们两个乘积的2� 倍就为“-”号，其余都为“+”号． 归纳新知 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍． 这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式. 归纳新知 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 例2 利用乘法公式计算：(- m - 2n)2. = m2 + 4mn + 4n2. = [-(m + 2n)]2 = (m + 2n)2 解： (-m - 2n)2 小提示：对于含负号较多的完全平方式，可以借助偶次幂为正数进行化简，即 (-a)2 = a2 . 看作一个整体，运用完全平方公式 (a－b)2 学有鸿鹄志 展翅任翱翔 24 完全平方公式的应用 解：原式 = (100 + 2)2 = 10000 + 400 + 4 = 10404. 思考：怎样计算 1022，992 更简便呢？ (1) 1022； (2) 992. 解：原式 = (100－1)2 = 10000 － 200 + 1 = 9801. 例3 已知 a＋b＝7，ab＝10，求 a2＋b2，(a－b)2 的值. 解：因为 a＋b＝7， 所以 (a＋b)2＝49. 所以 a2＋b2＋2ab＝49， 即 a2＋b2＋2×10＝49. 所以 a2＋b2＝29. 故 (a－b)2＝a2＋b2－2ab＝29－2×10＝9. 要熟记完全平方公式哦！ (a±b)2=a2±2ab+b2 归纳小结 1．什么叫做完全平方公式？它有什么特征？ 2．你在应用过程中有什么感想？ 3．在应用完全平方公式时，应注意什么？举例说明． 下面各式的计算错在哪里？应当怎样改正？ (x+y)2 =x2+y2 (x-y)2 =x2-y2 (-x+y)2 =x2+2xy +y2 (2x+y)2 =4x2+2xy +y2 题目 (x+y)2 =x2+2xy +y2 (x-y)2 =x2-2xy +y2 (-x+y)2 =x2-2xy +y2 (2x+y)2 =4x2+4xy +y2 下面各式的计算错在哪里？应当怎样改正？ (x+y)2 =x2+y2 (x-y)2 =x2-y2 (-x+y)2 =x2+2xy +y2 (2x+y)2 =4x2+2xy +y2 题目 解：(1) 原式 (1) (a + b + c)2； (2)(a－b)3 ． 例4 利用乘法公式计算： (2) 原式= (a - b)3 = a2 +b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc. = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = (a +b)² + 2(a + b)c + c2 = [(a +b)+ c ]2 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = a3 - 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3 = (a - b) (a2 - 2ab + b2) = (a - b)(a - b)2 本节课学习了哪些知识？你获得哪些经验？请与同学们进行交流 1.一个公式： 2.两个思想：数形结合，转化思想。 3.三个特点： （1）右式为二次三项式； （2）两数的平方和与连个数积的2倍和（或差）； （3）公式中a,b可以表示数，单项式，多项式等； $