8.3 完全平方公式与平方差公式 课件 2025-2026学年沪科版七年级数学下册

第8章 整式乘法与因式分解 8.3 完全平方公式与平方差公式 第8章 整式乘法与因式分解 8.3 第1课时 完全平方公式 课堂小结 例题讲解 获取新知 随堂演练 知识回顾 知识回顾 多项式乘多项式的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加 。 单项式× 多项式 单项式× 单项式 多项式× 多项式 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= . p2+2p+1 （2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= . m2+4m+4 （3） （p－1)2=(p－1)(p－1)= . p2－2p+1 （4） （m－2)2=(m－2)(m－2)= . m2－4m+4 根据上面的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？ (a＋b)2= . a2+2ab+b2 (a－b)2= . a2－2ab+b2 获取新知 由多项式乘法可得乘法公式 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. ① (a－b)2＝a2－2ab＋b2. ② 上面两个公式，今后可以直接应用于运算，称为完全平方公式. 知识要点 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. (a－b)2＝a2－2ab＋b2. 语言叙述：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍. 口诀： 首平方，尾平方， 首尾积的2倍放中央 公式特征： 1.积为二次三项式； 2.积中的两项为两数的平方； 3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同. 4.公式中的字母a，b可以表示数、单项式或多项式. (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. ① (a－b)2＝a2－2ab＋b2. ② 完全平方公式，除直接由多项式乘法得到，还可通过图形面积割补的方法得到. 观察下面的两幅图，写出所蕴含的等式. a b a b (a+b)2 a2 ab ab b2 = + + (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. 想一想 利用图形直观地说明乘法公式的几何意义，加深对乘法公式的理解，体会数形结合的数学思想方法 a b a b (a-b)2 a2 b2 = - + (a-b)2＝a2-2ab＋b2. ab ab 利用图形直观地说明乘法公式的几何意义，加深对乘法公式的理解，体会数形结合的数学思想方法 例题讲解 例1 利用乘法公式计算： (1)(2x＋y)2. (2)(3a－2b)2. 解： (1)(2x＋y)2＝(2x)2＋2·(2x)y＋y2 ( a ＋b)2＝ a2 ＋ 2 a b＋b2 ＝4x2＋4xy＋y2. (2)(3a－2b)2＝(3a)2－2·(3a)(2b)＋(2b)2 ( a － b)2 ＝ a2 － 2 a b ＋ b2 ＝9a2－12ab＋4b2. 运用公式计算，要先识别a，b在具体式子中分别表示什么. 提醒学生两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 例2 利用乘法公式计算：(-m-2n)2. 解： (-m-2n)2 ＝[-(m+2n)2] ＝(m+2n)2 ＝m2＋4mn＋4n2. 还有其他计算方法吗？ 方法二 解： (-m-2n)2 ＝(-m)2 -2(-m·2n)＋(2n)2 ＝m2＋4mn＋4n2. 例3 运用完全平方公式计算： (1) 962 ； (2) 2032 . 解：(1)原式=(100-4)2 =1002－2×100×4+42 =10000－800+16 =9216； (2)原式=(200+3)2 =2002+2×200×3+32 =40000+1200+9 =41209. 随堂演练 1.计算(a-1)2的结果是 (　　) A.a2-a+1 B.a2-2a+1 C.a2-2a-1 D.a2-1 B 2. 将9.52变形用简便方法计算，正确的是(　　) A.9.52=92+0.52 B.9.52=(10+0.5)(10-0.5) C.9.52=102-2×10×0.5+0.52 D.9.52=92+9×0.5+0.52 C (1) (6a+5b)2；(2) (4x－3y)2 ； (3) (2m－1)2 ; (4)(－2m－1)2 . 3.运用完全平方公式计算: 解：(1) 原式=(6a)2+2•6a•5b+(5b)2=36a2+60ab+25b2； (2) 原式=(4x)2－2•4x•3y+(3y)2=16x2－24xy+9y2； (3) 原式=(2m)2－2•2m•1+12=4m2－4m+1； (4) 原式=(2m+1)2=4m2+4m+1. 课堂小结 完全平方公式 法则 注意 (a±b)2= a2 ±2ab+b2 1.项数、符号、字母及其指数 2.不能直接应用公式进行计算 的式子，需要先添括号变形 第8章 整式乘法与因式分解 8.3 第2课时 平方差公式 课堂小结 例题讲解 获取新知 随堂演练 知识回顾 情境导入 知识回顾 多项式乘多项式的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加 。 单项式× 多项式 单项式× 单项式 多项式× 多项式 (a + b)( m + n) =am +an +bm +bn 情境导入 从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为20米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边减少5米，相邻的另一边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何?”张老汉一听，觉得好像没有吃亏，便答应了．回到家中，他把这事和邻居们一讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊． 你知道张老汉是否吃亏了吗? 获取新知 计算下列各题： (1) (x+2) (x－2)； (2) (1+3a) (1－3a )； (3) (x+5y) (x－5y)；(4)(2y+z) (2y－z) . 观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？ 再举两例验证你的发现. 解： (1) (x+2) (x－2)=x2-4=x2-22 (2) (1+3a) (1－3a )=1-9a2=12-(3a)2 (3) (x+5y) (x－5y)=x2-25y2=x2-(5y)2 (4) (2y+z) (2y－z)=4y2-z2=(2y)2-z2 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方的差. 平方差公式： (1)平方差公式的推导：(a+b)(a-b)= = . (2)文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的 . (3)符号语言：(a+b)(a-b)= . a2-ab+ab-b2 a2-b2 平方差 a2-b2 (b + a )(－b + a )= . a2-b2 归纳总结 shiliang (s) - 目的是提醒学生，在计算时应仔细识别公式运用的条件及a，b分别是什么，以便可以正确运用公式 平方差公式: 相同为a 相反为b 适当交换 合理加括号 注意： a和b可以是单项式，也可以是多项式 (a+b)(a-b) = a2-b2 公式特征： 口答下列各题： (l)(－a+b)(a+b)=_________. (2)(a－b)(b+a)= __________. (3)(－a－b)(－a+b)= ________. (4)(a－b)(－a－b)= _________. a2－b2 a2－b2 b2－a2 b2－a2 做一做 shiliang (s) - 通过口答使学生熟悉公式的结构特点 a b a-b a-b 阴影部分的面积为 S=a2-b2 阴影部分的面积为 S=(a+b)(a-b) a+b a-b 还有其他的几何验证平方差公式的方法吗？ 可以通过图形面积割补的方法得到平方差公式吗？ 想一想 b a a b 1 2 (a+b)(a-b) 1 2 (a+b)(a-b) 阴影部分的面积为 S=a2-b2 =(a+b)(a-b) 例1 利用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5－6x)； (2) (x－2y)(x+2y)； (3) (－x+3)(－x－3). 解：(1) (5+6x)(5－6x)= 52－(6x)2=25－36x2； (2) (x－2y)(x+2y)= x2－(2y)2= x2－4y2 ； (3) (－x+3)(－x－3) = (－x)2－32 = x2－9 . 例题讲解 全品初中 例2 利用乘法公式计算： (1) 2 0252－2 0242; (2)1999×2001. (2) 1999×2001 ＝(2000－1)×(2000＋1) ＝20002－12 ＝3999 999. 关键： a为两数和的平均数； b为|两数差|的平均数 解：(1)20252－20242 ＝(2025+2024)×(2025-2024) ＝4049. 随堂演练 1. 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是(　　) A．(2a＋b)(－2a＋b) B．(a＋2)(2＋a) C．(－a＋b)(a－b) D．(a＋b2)(a2－b) A 2. 将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置,根据两个图形的面积关系可以得到一个关于a,b的恒等式为(　　) A.(a-b)2=a2-2ab+b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.(a+b)(a-b)=a2-b2 D.a(a-b)=a2-ab C （1）(a+3b)(a- 3b)； （2）(3+2a)(－3+2a)； 3.利用平方差公式计算： （3）(－2x2－y)(－2x2+y)； （4）(－5+6x)(－6x－5). 解：(1)原式=a2－(3b)2=a2－9b2 ； (2)原式=(2a+3)(2a－3)=(2a)2－32=4a2－9； (3)原式=(-2x2 )2－y2=4x4－y2. (4)原式=(－5+6x)(－5－6x)=(－5)2－(6x)2=25－36x2. 4.运用平方差公式计算： (1)118×122；(2) 1.03×0.97；(3) 40 ×39 . 解：(1)原式=(120－2)(120＋2)= 1202－22=14400－4=14396. (3)原式 (2)原式 ＝(1＋0.03)(1－0.03) ＝12－0.032＝1－0.0009＝0.9991； 5. 从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为x米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边减少5米，相邻的另一边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何?”张老汉一听，觉得好像没有吃亏，便答应了. 回到家中，他把这事和邻居们一讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊． 你知道张老汉是否吃亏了吗? 解：张老汉吃亏了，原来正方形土地的面积为x2平方米，现在新的长方形的长变为了（x+5）米，宽变为了(x-5)米，面积为(x+5)(x-5)= (x2-25)平方米,所以张老汉吃亏了. 课堂小结 平方差公式 内容 注意 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2 紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用 第8章 整式乘法与因式分解 8.3 第3课时 乘法公式的灵活应用 课堂小结 例题讲解 获取新知 随堂演练 知识回顾 知识回顾 (a+b) 2=a2+2ab+b2 (a－b) 2=a2－2ab+b2 1.完全平方公式： (a+b)(a-b)=a2-b2 2.平方差公式： 思考1： 形如(x+y+1)2这样的式子还能套用完全平方公式吗？ (x+y+1)2 获取新知 若要运用完全平方公式计算，需先要识别a，b在具体式子中分别表示什么. ( a ＋b)2 ＝ a2 ＋ 2 a b＋ b2 =[(x+y)+1]2 =(x+y)2+2(x+y) +1 (x+y)2+2(x+y) +1 =x2+2xy+y2+2x+2y+1. 还有其它的组合方法吗？ (x+y+1)2 =[x+(y+1)]2 =x2+2x(y+1)+(y+1)2 方法二： =x2+2xy+2x+y2+2y+1. (x+y+1)2 =[(x+1)+y]2 方法三： =(x+1)2+2y(x+1)+y2 =x2+2x+1+2xy+2y+y2. 归纳总结 三项式的平方 添括号法则 完全平方公式： (a+b) 2=a2+2ab+b2 (a－b) 2=a2－2ab+b2 思考2： 形如(x+y+1)(x+y-1)这样的式子还能套用乘法公式吗？ (x+y+1)(x+y-1) ( a＋b) (a - b) ＝ a2 - b2 =(x+y)2-1 =x2+2xy+y2-1. =[(x+y)+1][(x+y)-1] 归纳总结 两个三项式相乘 添括号法则 平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2 例1 运用乘法公式计算: 例题讲解 (1)(a+b+c)2; (2)(a-b)3. 解：(1)原式= [(a+b)+c]2 = (a+b)2+2(a+b)c+c2 = a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac. shiliang (s) - 本组例题具有一定的综合性，培养学生的整体思想 例1 运用乘法公式计算: (1)(a+b+c)2; (2)(a-b)3. 解：(2)原式= (a-b) (a-b)2 = (a-b)(a2-2ab+b2) = a3-2a2b+ab2-a2b+2ab2-b3 = a3-3a2b+3ab2-b3. 例2 计算：(x+y+z)(x-y+z). =(x+z)2-y2 =x2+2xz+z2-y2. 解：(x+y+z)(x-y+z) =[(x+z)+y][(x+z)-y] 例3 已知a2＋b2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a－b)2的值. 分析：将两数的和(差)的平方式展开，产生两数的平方和与这两数积的两倍，再将条件代入求解． 解：因为a2＋b2＝13，ab＝6， 所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋2×6＝25； (a－b)2＝a2＋b2－2ab＝13－2×6＝1. 完全平方公式的高频变形 (1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab=(a－b)2＋2ab； (2)2(a2＋b2)=(a＋b)2＋(a－b)2； (3)4ab=(a＋b)2－(a－b)2. 归纳总结 随堂演练 1. 计算：(1)(a+b)3; (2)(x-1)3 ; (3)(a-b-c)2. 解：(1)原式= (a+b) (a+b)2 = (a+b)(a2+2ab+b2) = a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3 = a3+3a2b+3ab2+b3. (2)原式= (x-1) (x-1)2 = (x-1)(x2-2x+1) = x3-2x2+x-x2+2x-1 = x3-3x2+3x-1. (3)原式= [(a-b)-c]2 = (a-b)2-2c(a-b) +c2 = a2-2ab+b2-2ac+2bc+c2 = a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc. 2. 计算: (1) (2a+b+1)(2a+b-1) ; (2) (3x+y+z)(3x-y-z) . 解: (1) (2a+b+1)(2a+b-1) = [(2a+b)+1][(2a+b)-1] = (2a+b)2-12 = 4a2+4ab+b2-1. (2) (3x+y+z)(3x-y-z) = [3x+(y+z)][3x-(y+z)] = 9x2-(y+z)2 = 9x2-y2-2yz-z2. 胡123 (胡123) - 讲解时，要注意重点讲解做题思路以及在做题过程中讲解应该注意的问题 3.计算：(x＋3)(x－3)(x2＋9). 解： (x＋3)(x－3)(x2＋9) ＝(x2－9)(x2＋9) ＝ x4－81. 全品初中 4.若a+b=5,ab=－6, 求a2+b2,a2－ab+b2. 解：a2+b2=（a+b)2－2ab=52-2×(－6)=37； a2－ab+b2=a2+b2－ab=37－(－6)=43. 乘法公式 完全平方公式 平方差公式 (a±b)2= a2±2ab+b2 常用 结论 a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2 课堂小结 (a+b)(a-b)=a2-b2 $