吉林长春市第二中学2025-2026学年高一下学期第二学程考试数学试题

高一年级下学期第二学程考试数学科试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 2．从这6个整数中随机抽取1个数，设事件“抽到小于4的数”，事件“抽到大于3的数”，事件“抽到大于2的偶数”，则（ ） A．和不互斥 B．和互斥且对立 C．和不互斥 D．和互斥且对立 3．甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶80次，命中环数的频率分布条形图如下： 设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 4．瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘．通过在窑内的高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化．某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（ ） A． B． C． D． 5．设一个随机事件的样本空间为，事件，，则下列结论中不一定成立的是（ ） A． B．若，则 C．若，则 D．若与互斥，则 6．PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标．如图是某地11月1日到10日PM2.5日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述错误的是（ ） A．这10天的PM2.5日均值的第25百分位数是33 B．从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低 C．这10天中PM2.5日均值的平均数是49 D．从这10天的PM2.5日均值数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是 7．如图，是底部不可到达的一座建筑，是建筑的最高点．测量建筑高度时选择了一条水平基线，使，，在同一条直线上，在，两点用测角仪器测得的仰角分别是，，，测角仪器的高．那么测得建筑的高度为（ ） A． B． C． D． 8．在中，，为中点，，若，则的最小值是（ ） A．4 B．2 C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．设，表示两条不重合的直线，，，表示三个不重合的平面，则下列说法错误的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 10．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A．三棱锥的体积为定值 B．正方体的外接球表面积为 C．若平面，则的轨迹长度为2 D．过，，三点的平面截正方体所得截面面积是 11．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则下列选项正确的是（ ） A． B．若点是的重心，则的面积为 C．的最小值为 D．若点是的外心，且，，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知事件与事件互斥，且，，则__________． 13．如图，三棱锥中，平面，与平面所成角为，，，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值是__________． 14．已知非零向量，，满足，，对于任意实数满足，，则的最大值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题13分）已知向量，． （1）求； （2）求向量，的夹角的余弦值； （3）若与垂直，求实数的值． 16．（本题15分）已知中，角，，所对的边分别为，，，满足，且，． （1）求角的大小； （2）求的值． 17．（本题15分）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，）． （1）求的值，并利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的中位数（结果保留两位小数）； （2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈； ①第3，4组分别抽取多少人； ②从这5名市民中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 18．（本题17分）如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求二面角的余弦值． 注：本题用空间向量方法不给分 19．（本题17分）定义平面凸四边形为没有内角度数大于的四边形．如图，已知平面凸四边形中，，，． （1）若四边形被对角线分为面积相等的两部分，角； ①求的长； ②若，求的值； （2）若，求四边形面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $