1.7 正切函数（第2课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦正切函数的图像绘制、性质探究及y=A tan(ωx+φ)的图像性质，课堂导入通过回顾正切函数定义域、奇偶性、周期性，类比正弦余弦函数图像研究性质的方法，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以图像绘制为基础，引导学生用数学眼光观察图像抽象性质，结合典例和同步练习培养数学思维。如通过列表描点画图像，观察得出单调性、对称中心等，规范数学语言表达。助力学生系统掌握知识提升解题能力，方便教师教学实施。

作课人：廉文杰 北师大版（2019）高中数学 必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 三角函数 第7节 正切函数 7.3 正切函数的图像和性质 第2课时（共2课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、能够正确画出正切函数的图象. 2、会通过正切函数的图象研究其性质. 3、能运用正切函数图象与性质解决问题. 1、能够正确画出正切函数的图象. 2、能运用正切函数图象与性质解决问题. 1、会通过正切函数的图象研究其性质. 2 新 知 引 入 1、正切函数的解析式：_____________ 2、正切函数的定义域：________________________ 3、正切函数的奇偶性：_________ 4、正切函数的周期性：_________ {x|x≠+kπ,k∈Z} y=tanx 奇偶性 T=π 三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，我们已经通过正弦函数、余弦函数的图像研究了其性质。 本节课，我们依然通过正切函数的图像来研究正切函数的性质。 学 习 新 知 第一步：列表 第二步：描点 第三步：连线 x - - - 0 y=tanx 函数y=tanx的图像 - -1 1 0 - 0 - - - - x y - π -π 第四步：根据周期 性沿拓 学 习 新 知 函数y=tanx的图像 0 - x y - π -π 注意：1、 2、 3、 正切函数的图像称为正切曲线. 正切曲线是由被相互平行的直线x= ,k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的.这些直线称作正切曲线各支的渐近线. 当x∈(0, )时，y=tanx的图像在直线y=x的上方. y=x 学 习 新 知 0 - x y - π -π 函数y=tanx的性质 1、定义域：_______________________ 2、值 域：______ {x|x≠ } R 3、周期性：T=_____ 4、奇偶性：_________ 5、单调性： 单调递增区间：________________________. 单调递减区间：_________ 6、对称性：对称中心:______________ 对称轴：______________ 7、最值性：________ π 奇函数 (- ), 无 无 无 （ ，0） 注意：1、 2、 每个单调区间都是开区间，不能写成闭区间. 对称中心不一定是图像上的点. 二、1、定义域可由_____________________________解得. 2、值 域：______ 3、周期性：T=_____ 4、奇偶性：____________________________ 5、单调性：单调递增区间可由__________________________________解得. 6、对称性：对称中心:横坐标可由__________________解得，纵坐标为____ 对称轴：________ 7、最值性：________ 学 习 新 知 函数y=Atan(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图像和性质 ωx+φ≠ R - ) 0 无 ωx+φ=(k∈Z) 一、函数y=Atan(ωx+φ)的图像可由正切函数y=tanx经过图像变换得到。 φ=(k∈Z)时为奇函数 无 典 例 引 路 图像 例1、 画出下列函数的图象： （1） y=tan2x; （2） y=tan(x-). 0 - x y - 0 - x y - 同 步 练 习 练1、（1）画出函数y=|tan x|的图象. 0 - x y - （2）当x∈(- ,)时，方程tanx-sinx=0 的根的个数为_______. 3 典 例 引 路 定义域 例2、函数 的定义域为__________. 解:要使 有意义，则有sinx＞0且tan x＞1， 由sin x＞0得x∈(2kπ,2kπ+π),k∈Z. 由tan x＞1得 ∵(2kπ，2kπ+π) k∈Z, ∴原函数的定义域为 同 步 练 习 练2、求下列函数的定义域: （1）f(x)=tan(x-) (2) f(x)= 解：依题意得 x- ≠kπ+ ,k∈Z ∴ x≠2kπ+ ,k∈Z ∴ 函数的定义域是{x|x≠2kπ+ ,k∈Z} 解：依题意得-tanx≥0 ∴tanx≤ ∵在（- ，）上满足tanx≤的角x应满足 - ＜x≤ ∴函数的定义域是{x|kπ- ＜x≤kπ+ ,k∈Z} 典 例 引 路 值域 例3、（1）函数 f(x)=tan(3x- )在 [0，）上的值域为________________. 解：∴ 0≤x＜ ∴0≤3x＜ ∴ - ≤3x- ＜ ∴tan(3x- )≥- ∴ 值域为[- ,+∞) （2）函数f(x)=tan2x-tanx，x∈[- ,]的值域为___________. 解:令tanx=t， ∵x∈[- ，] ∴t∈[-1,1] 则 y = t2 - t = (t- )2 - ∵ - ≤t- ≤ ∴ 0≤(t- )2≤ ∴- ≤(t- )2 - ≤2 ∴值域为[- ,2] 同 步 练 习 练3、（1）函数y＝tan( + ),x∈( 0, )的值域是________． 解：∵0＜x＜ ∴0＜＜ ∴＜ + ＜ ∴1＜tan( + )＜ ∴值域为（1，） （2）函数f(x)=-tan2x+4tanx-1，x∈[- ,]的值域为___________. 解:令tanx=t， ∵x∈[- ，] ∴t∈[-1,1] 则 y = -t2 +4t-1 = -(t-2)2 +3 ∵ - 3≤t- 2≤-1 ∴ 1≤(t- 2)2≤9 ∴ -9≤-(t- 2)2≤-1 ∴- 6≤-(t- 2)2 + 3≤2 ∴值域为[-6 ,2] 典 例 引 路 周期性 例4、（1）函数f(x)=3tan(x+)的最小正周期为______. 2π （2）函数f(x)=tanωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y=1所得 线段长为 ，则 f()=_________. 解：依题意得 = T = ∴ω=4 ∴f(x)=tan4x ∴f() = tan(4×) = tan = 同 步 练 习 练4、（1）函数f(x)=tan(πx+)的最小正周期为______. 4 （2）函数f(x)=tan(π+ωx)(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y=1所 得线段长为 ，则 f()=_________. 解：依题意得 = T = ∴ω=3 ∴f(x)=tan3x ∴f() = tan(3×) = tan = 1 典 例 引 路 奇偶性 例5、（1）判断函数y=sinx+tanx的奇偶性. 解：函数的定义域为{x|x≠kπ+ ,k∈Z},关于原定对称 ∵ f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sinx-tanx=-(sinx+tanx)=-f(x） ∴ 函数y=sinx+tanx是奇函数. (2)若函数f(x)=3tan(2x++φ)(φ＞0)为奇函数，则φ的最小值为_______. 解：依题意得 + φ = (k∈Z) ∴ φ = - (k∈Z) ∵ φ＞0 ∴ φ的最小值为 同 步 练 习 练5、（1）判断函数 f(x)= 的奇偶性。 解：函数的定义域满足，即x≠kπ+ 且x≠(2k+1)π(k∈Z) ∴ 函数f(x)的定义域关于原点对称 ∵ f(-x) = = - = -f(x) ∴f(x)是奇函数. （2）已知函数f(x)=ax3+btanx+2，若f(-1)=3，则f(1)=______. 解：3 = f(-1) = a(-1)3+btan(-1)+2 = -a-btan1+2 m = f(1) = a13+btan1+2 = a+btan1+2 两式相加得3+m=4 ∴ m=1 典 例 引 路 对称中心 例6、若y=tan(2x+θ)图象的一个对称中心为,且-<θ<,则θ的 值是　　　　　.  解：令2x+θ= (k∈Z), ∵ 对称中心为, ∴θ= (k∈Z). 又∵θ∈, ∴θ= - . 同 步 练 习 练6、函数y=2tan(3x+)图像的一个对称中心是( ) A. ( , 0) B. ( , 0) C. ( , 0) D. (π,0) 解：依题意得3x+ = (k∈Z) ∴x = - 令k=2 则 x = - = ∴( , 0)是一个对称中心 B 典 例 引 路 单调性 例7、比较下列各组中三角函数值的大小： 与 （-与 解 ∵y=tanx在区间 上单调递增且 ∴ 即 ∵y=tanx在区间 上单调递增，且 ∴ 即 同 步 练 习 练7、比较下列各组中三角函数值的大小： (1)tan 2、tan3、tan 5 解：tan5=tan[π+(5-π)]=tan(5-π),由正切函数在上为增函数 可得tan3＞tan2＞tan(5-π). (2)tan 与sin . 解：在（0，）上，tanx＞x＞sinx，所以tan＞sin (3)tan与tan 解：tan = tan(3π- ) = -tan , tan = tan(3π- ) = -tan ∵0＜＜＜且y=tanx在（0，）上单调递增 ∴tan＞tan ∴-tan＜-tan ∴tan＜tan 典 例 引 路 单调性 例8、（1）函数 的单调递增区间为___________. 解:令 ,k∈Z, 解得-5+6k＜x＜1+6k，k∈Z， ∴ 函数的单调递增区间为(-5+6k，1+6k)，k∈Z. （2）求函数y=3tan( -2x)的单调递减区间. 解：y = 3tan( - 2x) = -3tan( 2x - ) 由- + kπ＜2x- ＜ + kπ(k∈Z) 得- + ＜x＜ + (k∈Z) ∴ 函数的单调递减区间是（- + ， + ）(k∈Z) 同 步 练 习 练8、（1）求函数y=tan(x-)的单调区间。 解：依题意得kπ- ＜ x- ＜kπ+ (k∈Z),得2kπ- ＜x＜2kπ+ (k∈Z) ∴ 函数的单调递增区间是（2kπ- ，2kπ+）（k∈Z) （2）求函数y=3tan( - )的单调递减区间. 解：y = 3tan( - ) = -3tan( - ) 由 - + kπ＜ - ＜ + kπ(k∈Z) 得 - + 4kπ＜x＜ + 4kπ (k∈Z) ∴ 函数的单调递减区间是（- + 4kπ， + 4kπ）(k∈Z) 同 步 练 习 全 课 总 结 一、正切函数y=tanx的性质 定义域、值 域、周期性、奇偶性、单调性、对称性、最值性 二、函数y=Atan(ωx+φ）的性质 定义域、值 域、周期性、奇偶性、单调性、对称性、最值性 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 25 $