1.7.3 正切函数的图象与性质-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学正切函数的图象与性质核心知识点，在正弦、余弦函数学习基础上，系统梳理图象画法（“三点两线法”）、特征（渐近线分隔的无穷多支曲线）及定义域、值域等性质，通过基础落实训练与梯度题型构建从概念到应用的学习支架。 该资料采用梯度进阶式教学设计，以“三点两线法”画图象培养几何直观（数学眼光），题型解析中“思维建模”总结定义域求解等方法发展推理能力（数学思维），针对训练强化知识应用。课中助力教师分层教学，课后便于学生回顾方法、弥补薄弱点。

7.3　正切函数的图象与性质[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标]　 1.了解正切函数图象的画法,理解并掌握正切函数的性质. 2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题. 1.正切函数的图象 (1)正切函数y=tan x在上的图象. (2)正切函数的图象称作正切曲线. (3)正切函数的图象特征:正切曲线是由被相互平行的直线x=+kπ(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的.这些直线称作正切曲线各支的渐近线. 2.正切函数的性质 函数 y=tan x 定义域 值域 R 周期性 最小正周期π 奇偶性 奇函数 对称性 对称中心(k∈Z) 单调性 在区间(k∈Z)上单调递增 |微|点|助|解| (1)一般地,函数y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最小正周期是T=.若不知ω的正负,则该函数的最小正周期为T=. (2)正切函数无单调递减区间,在每一个单调区间内都是单调递增的,并且每个单调区间均为开区间. (3)正切函数在定义域内不是单调函数. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正切函数为定义域上的增函数. (　　) (2)正切函数存在闭区间[a,b],使y=tan x是增函数. (　　) (3)若x是第一象限的角,则y=tan x是增函数. (　　) (4)正切函数y=tan x的对称中心为(kπ,0)(k∈Z). (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.函数y=2tan(-x)是 (　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数,又是偶函数 D.非奇非偶函数 解析:选A　y=2tan(-x)=-2tan x,为奇函数. 3.函数y=tan 2x的定义域为____________________　.  解析:由正切函数的定义知,若使y=tan 2x有意义,则2x≠kπ+(k∈Z),解得x≠+(k∈Z). 答案: 4.函数y=tan x,x∈的值域是__________.  解析: 函数y=tan x在上是单调递增的,所以ymax=tan=1,ymin=tan 0=0. 答案:[0,1] 题型(一)　正切函数的图象及应用 [例1]　(1)下列图形分别是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x)在x∈内的大致图象,那么由a到c对应的函数关系式应是 (　　) A.①②③ B.①③② C.③②① D.③①② (2)函数y=sin x与y=tan x在区间上的交点个数是 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:(1)y=|tan x|≥0,其图象在x轴及其上方,只有图象a符合,即a对应①,排除C、D.易知y=tan x在内的图象为图b,即b对应②,故排除B选项.y=tan(-x)=-tan x在上单调递减,只有图象c符合,即c对应③,故选A. (2)如图,函数y=sin x与y=tan x在区间上的交点个数是3. 答案:(1)A　(2)A 　　|思|维|建|模| (1)作正切函数的图象时,先画一个周期的图象,再把这一图象向左、右平移.从而得到正切函数的图象,通过图象的特点,可用“三点两线法”,这三点是,(0,0),,两线是直线x=±,为渐近线. (2)如果由y=f(x)的图象得到y=f(|x|)及y=|f(x)|的图象,可利用图象中的对称变换法完成;即只需作出y=f(x)(x≥0)的图象,令其关于y轴对称便可以得到y=f(|x|)(x≤0)的图象;同理,只要作出y=f(x)的图象,令图象“上不动,下翻上”便可得到y=|f(x)|的图象. 　　[针对训练] 1.函数f(x)=2x-tan x在上的图象大致为 (　　) 解析:选D　∵f(x)为奇函数,∴排除B、C.当x趋近于时,f(x)趋近于-∞,故选D. 2.不等式-1≤tan x≤的解集为__________.  解析:作出函数y=tan x在区间上的图象,如图所示.观察图象可得,在内,满足条件的x的取值范围为-≤x≤.由正切函数的周期性知,不等式的解集为 . 答案: 题型(二)　正切函数的定义域和值域 [例2]　(1)函数f(x)=tan的定义域为 (　　) A. B. C. D. (2)函数y=2tan,x∈的值域是 (　　) A.[-2,2] B.[-1,1] C.[-2,2] D.[-,1] 解析:(1)由题意可知f(x)=tan需满足2x+≠+kπ,k∈Z, 即x≠+,k∈Z.故函数f(x)=tan的定义域为,故选C. (2)∵x∈,∴x-∈, ∴y=2tan∈[-2,2],故选C. 答案:(1)C　(2)C 　　|思|维|建|模|　求正切函数定义域、值域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠+kπ,k∈Z. (2)求正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域时,要将“ωx+φ”视为一个“整体”.令ωx+φ≠kπ+,k∈Z,解得x. (3)处理正切函数的值域问题时,应注意正切函数自身的值域为R,将问题转化为某种函数的值域求解. 　　[针对训练] 3.函数y=的定义域为 (　　) A.,k∈Z B.,k∈Z C.,k∈Z D.,k∈Z 解析:选C　由题意可得1-tan x≥0,且x≠+kπ,k∈Z,即tan x≤1,∴x∈,k∈Z. 4.函数y=tan2+tan+1的定义域为____________________　,值域为__________　.  解析:由3x+≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z. 所以函数的定义域为. 设t=tan,则t∈R,y=t2+t+1=+≥,所以原函数的值域是. 答案:　 题型(三)　正切函数的单调性及应用 [例3]　(1)函数y=tan的单调递增区间是 (　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) (2)下列不等式正确的是 (　　) A.tan>tan B.tan 4>tan 3 C.tan 281°>tan 665° D.tan<tan 解析:(1)由kπ-<+<kπ+(k∈Z),可得2kπ-<x<2kπ+(k∈Z). 因此,函数y=tan的单调递增区间是(k∈Z). (2)因为tan<0,tan>0,所以A选项错误. 因为<3<π,π<4<,所以tan 3<0,tan 4>0.所以B选项正确. 因为tan 281°=tan,tan 665°=tan,又正切函数y=tan x在上单调递增,所以tan 281°<tan 665°.所以C选项错误. 因为tan=tan=tan,tan=tan=tan,又正切函数y=tan x在上单调递增,所以tan>tan.所以D选项错误. 答案:(1)B　(2)B 　　|思|维|建|模| 1.运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)运用单调性比较大小关系. 2.求函数y=tan(ωx+φ)的单调区间的方法 y=tan(ωx+φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx+φ看成一个整体,解-+kπ<ωx+φ<+kπ,k∈Z即可.当ω<0时,先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间. 　　[针对训练] 5.已知函数 y=tan ωx在上单调递减, 则 (　　) A.0<ω<1 B.-1≤ω<0 C.ω≥1 D.ω≤-1 解析:选B　因为函数 y=tan ωx在上是单调函数, 所以最小正周期T≥π,即≥π, 解得0<|ω|≤1. 又函数y=tan ωx在上单调递减,则根据复合函数单调性判定知ω<0. 综上,-1≤ω<0.故选B. 6.在tan ,tan ,tan ,tan 中值最大的是 (　　) A.tan 　 B.tan 　 C.tan D.tan 解析:选B　因为0<<<<<<π,所以tan,tan >0且tan ,tan <0.又正切函数在上单调递增,所以tan <tan .故tan 最大.　 题型(四)　与正切函数有关的奇偶性、周期性、对称性问题 [例4]　(1)函数y=2tan的最小正周期是 (　　) A. B. C. D.π (2)已知函数f(x)=tan,则下列说法正确的是 (　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)在区间上单调递增 C.f(x)图象的一个对称中心为 D.f(x)的最小正周期为π 解析:(1)T==. (2)因为f(x)=tan,所以2x+≠kπ+,解得x≠+,k∈Z. 即函数的定义域不关于原点对称,所以f(x)不是奇函数,故A错误. 当x=时,2x+=,此时f(x)无意义,故f(x)在区间上单调递增不正确,故B错误. 当x=时,2x+=,正切函数无意义,故为函数的一个对称中心,故C正确. 由题易知函数的最小正周期为,故D错误. 答案:(1)B　(2)C 　　|思|维|建|模| 1.函数f(x)=Atan(ωx+φ)周期的求解方法 (1)定义法. (2)公式法:对于函数f(x)=Atan(ωx+φ),它的最小正周期T=. (3)观察法(或图象法):观察函数的图象,看自变量间隔多少函数值重复出现. 2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法 先求函数的定义域,看其定义域是否关于原点对称,若其不关于原点对称,则该函数为非奇非偶函数;若其关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系. 　　[针对训练] 7.关于函数f(x)=|tan x|的性质,下列叙述不正确的是 (　　) A.f(x)是偶函数 B.f(x)的图象关于直线x=kπ(k∈Z)对称 C.f(x)的最小正周期是 D.f(x)在(k∈Z)上单调递增 解析:选C　作出f(x)=|tan x|的图象如图所示, 对于A,f(-x)=|tan(-x)|=|tan x|=f(x),故f(x)是偶函数,故A正确; 对于B,结合正切函数的性质知f(x)的图象关于直线x=kπ(k∈Z)对称,故B正确; 对于C,f(x)的最小正周期是π,故C错误; 对于D,结合正切函数的性质知f(x)在(k∈Z)上单调递增,故D正确.故选C. 8.(2025·全国Ⅰ卷)若点(a,0)(a>0)是函数y=2tan的图象的一个对称中心,则a的最小值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　令x-=k·(k∈Z),则x=+(k∈Z),即函数y=2tan图象的对称中心为,k∈Z,∴a=+(k∈Z). 又∵a>0,∴a的最小值为,故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $