第十章 概率单元复习试卷（A卷基础夯实）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以概率单元基础夯实为目标，通过河图洛书文化情境（第8题）、拼手气红包等生活实例（第6题），考查事件关系、古典概型等核心概念，融合数据分析与逻辑推理，适配单元复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|事件关系（第1题）、互斥与独立判断（第7题）|结合传统文化（第8题）、生活情境（第6题）| |填空题|3题/15分|独立事件概率（第12题）、至多至少问题（第14题）|设置疫苗研制等科技背景（第12题）| |解答题|5题/77分|频率分布直方图与概率（第15题）、比赛赛制概率（第17题）|分层抽样与概率结合（第15题）、保险赔付实际应用（第18题）|

第十章 概率（A卷基础夯实） 【满分：150分】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.对于两个事件A,B,则事件A∪B表示的含义是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.A与B同时发生 B.A与B有且仅有一个发生 C.A与B至少有一个发生 D.A与B不能同时发生 2.在这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是( ) A.必然事件 B.不可能事件 C.随机事件 D.以上选项均不正确 3.从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是( ) A. B. C. D. 4．甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为( ) A. B. C. D. 5.已知事件A、B相互独立,事件A发生的概率为P(A)=,事件B发生的概率为P(B)=,则事件A∩B发生的概率P(A∩B)为(　　) A.　　B.　　C.　　D.0 6.甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”（即乙领取的钱数不少于其他任何人）的概率是（ ） A. B. C. D. 7．已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示.其中， 则事件A与事件B（   ）    A．是互斥事件，不是独立事件 B．不是互斥事件，是独立事件 C．既是互斥事件，也是独立事件 D．既不是互斥事件，也不是独立事件 8.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白点为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，已知3个数中至多有1个阴数，则取出的3个数之和是5的倍数的概率是( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.抛掷一枚质地均匀的骰子,观察向上的面的点数,“点数为奇数”记为事件A,“点数小于5”记为事件B,“点数大于5”记为事件C.则下列说法正确的是(　　) A.A与C互斥 B.B与C对立 C.A与B相互独立 D.P(A∪B)=P(A)+P(B) 10．下列命题正确的是（     ） A．已知数据，，…，的极差为6，则数据，，…，的极差为12， B．已知随机事件和，若，，，则和相互独立 C．已知随机事件和，若，，则 D．已知随机事件和满足，，若事件与相互独立，则与必不互斥 11.随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，则(　　) A.可以排成9个不同的三位数 　 B.所得的三位数是奇数的概率为 C.所得的三位数是偶数的概率为 　D所得的三位数大于400的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.针对某种突发性的流感病毒，各国的医疗科研机构都在研制疫苗.已知甲、乙两个机构各自研制成功的概率为，，而且两个机构互不影响，则甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为______. 13．2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为激发民众的爱国热情和民族自豪感，某地举办相关知识竞答活动.在决赛中，每轮活动由甲、乙各答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为 . 14.已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，若甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）舟山某校组织全体学生参加了海洋文化知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成.绩统计，将数据按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，求x； (2)根据频率分布直方图，估计样本的平均成绩； (3)用分层抽样的方法在，这两组学生内抽取5人，再从这5人中选2人进行问卷调查，求所选的两人恰好都在的概率. 16.(15分)将一枚骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A＝“两个点数之和为8”，事件B＝“两个点数之和是3的倍数”，事件C＝“两个点数均为偶数”. (1)写出该试验的样本空间Ω，并求事件A发生的概率；(2)求事件B发生的概率； (3)事件A与事件C至少有一个发生的概率. 17.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连胜四场的概率; (2)求需要进行第五场比赛的概率; (3)求丙最终获胜的概率. 18.某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下： 赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4000 车辆数/辆 500 130 100 150 120 （1）若平均每辆车的投保金额为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率； （2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率. 19．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者，，通晓日语，，，通晓俄语，，通晓韩语.从中随机选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组. （1）求被选中的概率； （2）求和不全被选中的概率. 答案以及解析 1.C　由事件的和知A∪B表示的是A与B至少有一个发生. 2.答案：C 解析：由于从1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，这3个数字的和可能小于6，可能等于6，可能大于6，所以“这三个数字的和大于6”这一事件是随机事件，故选：C. 3.答案：A 解析：记2名男生为a，b，2名女生为1，2，任意选出两人的样本空间，共6个样本点，恰好一男一女生的事件，共4个样本点，所以选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是.故选：A. 4．答案：A 解析：设“甲、乙在同一组”为事件A.教师随机分成三组，每组至少一人的分法有（种），而甲、乙在同—组的分法有1种，故. 5.B　因为A,B相互独立,所以P(A∩B)=P(A)P(B)=×=. 6.答案：D 7.答案：B 【分析】根据互斥事件和独立事件的定义和概率公式计算即得. 【详解】因， 则， 于是， 因，则事件A与事件B不是互斥事件； 又，则事件A与事件B是独立事件. 故选：B. 8.答案：A 解析：如图，白点为阳数，黑点为阴数，阳数为1，3，5，7，9，阴数为2，4，6，8，10 若从这10个数中任取3个数且3个数中至多有1个阴数，基本事件总数为， 取出的3个数之和是5的倍数，基本事件包括，，，，，，，，，，，共有12个，取出的3个数之和是5的倍数的概率是.故选：A. 9.AC　事件A={1,3,5},事件B={1,2,3,4},事件C={6}. A(√)事件A,C没有公共元素,不可能同时发生,A与C互斥. B(✕)事件B,C可以同时不发生,如点数为5,故B与C不对立. C(√)P(A)==,P(B)==,P(AB)==,因为P(AB)=P(A)P(B),所以A与B相互独立. D(✕)由选项C知,P(AB)≠0,则P(A∪B)≠P(A)+P(B). 10.答案：ABD 【分析】根据极差的定义判断A；利用相互独立事件的定义判断B；利用概率的性质，求，判断C；利用相互独立事件和互斥事件的定义判断D. 【详解】对于A，不妨令，则，， 因此新数据组的极差为，A正确； 对于B，因为，，， 所以，即A和B相互独立，故B正确； 对于C，若，， 则，故C错误； 对于D，当，，且时，， 事件，不相互独立，所以事件，相互独立与，互斥不能同时成立，故D正确. 故选：ABD. 11.BD　[使用1，5，6三个数字可以排成156，165，516，561，615，651，共6个不同的三位数； 三位数为偶数的有156，516，共2个，相应的概率 p＝＝； 三位数为奇数的有165，561，615，651，共4个，相应的概率p＝＝； 大于400的三位数的个数为4， 所以相应的概率p＝＝.] 12.答案：或0.4 解析：由于两个机构互不影响，故甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的对立事件为甲、乙两个机构一个也没有研制成功，所以甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为：.故答案为： 13.答案：/ 【分析】根据独立重复试验概率计算公式求得正确答案. 【详解】两人在两轮活动中共答对3个问题， 可能甲答对个、乙答对个，或甲答对个、乙答对个， 所以两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为： . 故答案为： 14.0.79　[甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a， 若甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率， 则可得1－(1－0.5)×(1－0.4)×(1－0.3)≥a， 解得a≤0.79. ∴a的最大值是0.79.] 15.答案：(1)0.03； (2)84； (3). 解析：(1)根据频率分布直方图可知； (2)平均成绩为； (3)由题意得，，两组人数比例为，所以组应抽取2人，记为A，B，，组应抽取3人，记为甲，乙，丙，对应的样本空间为：， 共10个样本点.设事件“两人来于”， 则，共有3个样本点.所以. 16.解　(1)该试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，n(Ω)＝36. 其中“两个点数之和为8”的有(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，共5种，故P(A)＝. (2)由(1)得“两个点数之和是3的倍数”的有(1，2)，(1，5)，(2，1)，(2，4)，(3，3)，(3，6)，(4，2)，(4，5)，(5，1)，(5，4)，(6，3)，(6，6)，共12种，故P(B)＝＝. (3)由(1)得“两个点数均为偶数”的有(2，2)，(2，4)，(2，6)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，(6，2)，(6，4)，(6，6)，共9种， “两个点数之和为8”的有(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，共5种， 重复的有(2，6)，(4，4)，(6，2)，共3种， 故事件A与事件C至少有一个发生的情况有9＋5－3＝11(种)，故所求概率为. 17.解析　(1)甲连胜四场的概率为=. (2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束,共有三种情况: ①甲连胜四场,概率为;②乙连胜四场,概率为; ③丙上场后连胜三场,概率为.(丙第一场轮空) 所以需要进行第五场比赛的概率为1---=. (3)丙最终获胜,有两种情况: 比赛四场结束且丙最终获胜,其概率为;比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为,,. 因此丙最终获胜的概率为+++=. 18.（1）投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，由题意知调查的车辆总数为1000，以频率估计概率得 所以估计其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27 （2）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔金额为4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100辆，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120=24辆. 所以样本车辆中新司机获赔金额为4000元的频率为，由频率估计概率得P(C)=0.24 19．答案：（1） （2） 解析：从8人中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名， 其一切可能的结果组成的样本空间 ， 由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的. （1）用M表示“恰被选中”这一事件， 则， 事件M由6个基本事件组成，因而. （2）用N表示“，不全被选中”这一事件， 则其对立事件表示“，全被选中”， 则，事件由3个基本事件组成， 所以， 由对立事件的概率公式得. 学科网（北京）股份有限公司 $