精品解析：辽宁葫芦岛市建昌县部分校2026年初中毕业生学业水平模拟考试（二）数学试卷

2026年初中毕业生学业水平模拟考试（二） 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家．如果规定收入为正，那么支出为负，收入元记作元，支出元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，约为149000000千米，则149000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强与木板面积满足反比例函数关系，它的图象如图所示，当压强是时，木板面积为（ ） A. B. C. D. 5. 围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 分解因式的结果是（　　） A. B. C. D. 7. 小朋友荡秋千的侧面示意图如图所示，秋千旋转了，小朋友的位置从点运动到了点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点在边上，若，，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，；②连接直线，直线恰好经过点，与交于点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 12. 若点在一次函数图象上，则的值是________． 13. 从某油菜籽种子在相同条件下发芽试验的结果如表： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率 根据以上数据可以估计，该油菜籽种子发芽的概率为________（精确到） 14. 港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九州航道桥主塔造型取自“风帆”寓意“扬帆起航”，某校兴趣小组同学为了测量该桥主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是________．（结果保留根号） 15. 如图，在正方形中，点E在边上，连接，过点C作垂足为点F，连接．若，，则的面积为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）计算：； （2）解一元一次不等式组：． 17. 某甜品店推出A、B两款手工曲奇礼盒，已知A款曲奇礼盒的单价是B款曲奇礼盒单价的倍，且用100元购买A款礼盒的数量比用128元购买B款礼盒的数量少3盒，求这两款曲奇礼盒的单价． 18. 为了解学生的体育锻炼情况，某学校九年级以“活力校园——初中生运动时长探究”为主题开展调查研究，该年级随机抽取了A、B两个班，通过问卷收集了A、B两个班学生的平均每周锻炼时长数据，现从这两个班级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息． 【数据收集】A班：8，7，12，8，7，5，6，8，6，13； B班学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图如下： 【数据整理、分析】 班级 平均数 中位数 众数 方差 A班 B班 根据以上信息，回答下列问题： （1）求，的值； （2）小红对小丽说：“虽然平均每周锻炼时长我俩都是8小时，但我在我们班中的排名比你在你们班的排名靠前．”根据以上信息可知小红是________班的学生．（填“A”或“B”） （3）你认为A、B这两个班中，哪个班的学生体育锻炼情况的总体水平较好？并说明理由． 19. 去年春节小华家和小明家组队自驾去大连旅游，建昌到大连某景点距离约，由于小明家临时有事，比小华家晚出发（从小华家出发时开始计时），小华家和小明家所走路程分别记为和与时间之间的函数关系如图所示．请根据图象所提供的信息，解决下列问题： （1）由于小华家的汽车在途中发生故障，因而停留了一段时间．小华家汽车停留的时间为________． （2）求汽车故障排除后小华家所走的路程与时间之间的函数关系式； 20. “直播电商”时代，线上消费成为大众主流选择．某直播间专营一款智能手办，其成本价为每件100元．当售价为每件160元时，每月可售出200件，为回馈消费者、提升销量，直播间决定采取降价促销活动．经市场调研发现：销售单价每降低1元，每月可多售出5件．设该智能手办的销售单价为x元（x为正整数），每月销售量为y件． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）设该直播间每月销售这款智能手办获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？ 21. 如图，为的直径，点，为上的两个点，延长至，使，与相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，点为弧的中点，，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作直线轴，交直线于点，过点作直线，交轴于点，求的最大值及此时点的坐标． 23. 综合与实践课上，李老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． （1）【探究发现】如图，小明将沿翻折得到，点的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点，求证：； （2）【类比探究】如图，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明； （3）【拓展延伸】在（）的翻折过程中，正方形的边长为． 如图，若线段恰好经过点，，求的长， 如图，若，连接，，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中毕业生学业水平模拟考试（二） 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家．如果规定收入为正，那么支出为负，收入元记作元，支出元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负数表示相反意义的量，根据题目规定的正负对应关系即可求解． 【详解】解：∵规定收入为正，支出为负， ∴支出元记作元， 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于x轴对称点的坐标特征，即横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，关于轴对称点的坐标满足，横坐标相等，纵坐标互为相反数， 又∵点的坐标为， ∴所求点的横坐标为，纵坐标为， 即所求点的坐标为． 3. 一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，约为149000000千米，则149000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值大于1的数，需掌握科学记数法的表示形式为（其中，为整数），确定和的值是解题关键． 【详解】解：． 4. 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强与木板面积满足反比例函数关系，它的图象如图所示，当压强是时，木板面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先设反比例函数关系式为，然后代入已知点求出比例系数，再将压强值代入关系式，算出对应的木板面积． 【详解】解：设该反比例函数的关系式为，将代入， 可得， 则反比例函数的关系式为， 当，． 5. 围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，故A符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 6. 分解因式的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可. 【详解】解：. 故选：C 7. 小朋友荡秋千的侧面示意图如图所示，秋千旋转了，小朋友的位置从点运动到了点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知，为等腰三角形，，结合三角形内角和公式计算． 【详解】解：根据题意可知，，， 则． 8. 我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据绳子的长度不变列出方程即可． 【详解】解：设木长x尺， 根据题意有：． 故选C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 9. 如图，在中，点在边上，若，，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】容易证明，则，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 10. 如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，；②连接直线，直线恰好经过点，与交于点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用垂直平分线和菱形的性质，用勾股定理求出的长度，再结合平行线的性质推出，最后用勾股定理算出的长． 【详解】解：根据题意可知，为的垂直平分线，则，， 四边形为菱形， ， ， ， ，， ， 在中，． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 12. 若点在一次函数图象上，则的值是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：将点代入，得， 移项，得． 13. 从某油菜籽种子在相同条件下发芽试验的结果如表： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率 根据以上数据可以估计，该油菜籽种子发芽的概率为________（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】当试验次数足够大时，频率会逐渐稳定在某一数值附近，该数值可作为概率的估计值，观察表格中频率的稳定趋势即可估计概率． 【详解】解：由表格数据可知，随着每批粒数即试验次数的增加，该油菜籽发芽的频率在附近波动并趋于稳定， 故估计该油菜籽种子发芽的概率为． 14. 港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九州航道桥主塔造型取自“风帆”寓意“扬帆起航”，某校兴趣小组同学为了测量该桥主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是________．（结果保留根号） 【答案】米 【解析】 【分析】过点作，交的延长线于点，设，利用锐角三角函数表示出相关线段的长度，列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作，交的延长线于点， 设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴该主塔的高度是米． 15. 如图，在正方形中，点E在边上，连接，过点C作垂足为点F，连接．若，，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，根据正方形的性质得出相等的边和直角，利用含角的直角三角形的性质求出相关边长，证明，得出对应边相等，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）计算：； （2）解一元一次不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 解不等式得 解不等式得 可得不等式组的解集为 17. 某甜品店推出A、B两款手工曲奇礼盒，已知A款曲奇礼盒的单价是B款曲奇礼盒单价的倍，且用100元购买A款礼盒的数量比用128元购买B款礼盒的数量少3盒，求这两款曲奇礼盒的单价． 【答案】 款曲奇礼盒单价为20元，款曲奇礼盒单价为16元． 【解析】 【分析】设出款礼盒单价，根据、单价关系表示出款单价，利用“数量总价单价”的关系，根据数量差列出分式方程求解，解后需要检验根的合理性． 【详解】解：设款曲奇礼盒的单价为元，则款曲奇礼盒的单价为元， 根据题意，得 ， 解得，  经检验，是原方程的解，且符合题意， 当时， ， 答：款曲奇礼盒的单价为20元，款曲奇礼盒的单价为16元． 18. 为了解学生的体育锻炼情况，某学校九年级以“活力校园——初中生运动时长探究”为主题开展调查研究，该年级随机抽取了A、B两个班，通过问卷收集了A、B两个班学生的平均每周锻炼时长数据，现从这两个班级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息． 【数据收集】A班：8，7，12，8，7，5，6，8，6，13； B班学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图如下： 【数据整理、分析】 班级 平均数 中位数 众数 方差 A班 B班 根据以上信息，回答下列问题： （1）求，的值； （2）小红对小丽说：“虽然平均每周锻炼时长我俩都是8小时，但我在我们班中的排名比你在你们班的排名靠前．”根据以上信息可知小红是________班的学生．（填“A”或“B”） （3）你认为A、B这两个班中，哪个班的学生体育锻炼情况的总体水平较好？并说明理由． 【答案】（1）， （2）A （3）B班的总体水平较好；理由：两个班的平均数相同，但B班的中位数更高，说明B班高时长锻炼的学生的占比高于A班，同时B班的方差小于A班，说明B班整体水平更稳定，总体水平较好．（言之有理即可） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和平均数的定义进行计算即可； （2）比较两个班级的中位数与8小时的大小关系，结合中位数的定义进行判断即可； （3）从平均数、中位数、众数和方差的角度评价两个班级的数据即可． 【小问1详解】 解：将A班的数据从小到大重新排列得：，，，，，，，，，， 其中第5个数为，第6个数为， ∴A班的中位数为，即， B班的平均数； 【小问2详解】 解：由（1）可知，A班的中位数为，B班的中位数为， ∵， ∴锻炼时长8小时，在A班可以排进前，而在B班只能排在后，即锻炼时长8小时在A班的排名比在B班靠前， ∴小红是A班的学生； 【小问3详解】 略 19. 去年春节小华家和小明家组队自驾去大连旅游，建昌到大连某景点距离约，由于小明家临时有事，比小华家晚出发（从小华家出发时开始计时），小华家和小明家所走路程分别记为和与时间之间的函数关系如图所示．请根据图象所提供的信息，解决下列问题： （1）由于小华家的汽车在途中发生故障，因而停留了一段时间．小华家汽车停留的时间为________． （2）求汽车故障排除后小华家所走的路程与时间之间的函数关系式； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合图进行分析即可； （2）先求出的函数关系式，再求出点的坐标，最后使用待定系数法求出的函数关系式． 【小问1详解】 解：由图可知，小华家在段没有移动， ∴小华家汽车停留的时间为； 【小问2详解】 解：设的函数关系式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴的函数关系式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 设段的函数关系式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴段的函数关系式为． 20. “直播电商”时代，线上消费成为大众主流选择．某直播间专营一款智能手办，其成本价为每件100元．当售价为每件160元时，每月可售出200件，为回馈消费者、提升销量，直播间决定采取降价促销活动．经市场调研发现：销售单价每降低1元，每月可多售出5件．设该智能手办的销售单价为x元（x为正整数），每月销售量为y件． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）设该直播间每月销售这款智能手办获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1），(的整数） （2）当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是12500元 【解析】 【分析】（1）根据题意列出一次函数关系式即可； （2）根据题意列出二次函数表达式，根据二次函数的图象和性质求出最值． 【小问1详解】 解：设该智能手办的销售单价为x元（x为正整数），每月销售量为y件，根据题意得， ，(的整数）； 【小问2详解】 解：设该直播间每月销售这款智能手办获得的利润为w元，根据题意得， ， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴（元）， 所以，当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是12500元． 21. 如图，为的直径，点，为上的两个点，延长至，使，与相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，点为弧的中点，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理可得，由直径所对的圆周角为直角可得，从而得到，命题得证； （2）根据题意可得，由（1）可知，，，使用三角函数计算得，根据圆周角定理可得，再使用三角函数计算出即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴，即， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵的半径为4， ∴， 由（1）可知，，， ∴， 在中，， ∵点为弧的中点， ∴， ∴， 在中，． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作直线轴，交直线于点，过点作直线，交轴于点，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为，此时点的坐标为 【解析】 【分析】（1）由对称轴公式可得，将点代入表达式求得，写出表达式即可； （2）作轴于点，设点的坐标为，利用二次函数的表达式求出点，，则，，．使用待定系数法求出直线的函数表达式，从而得到点，则，．容易证明，则，计算得，因此，根据二次函数的性质求出最大值，以及对应的点的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， 将点代入，得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图，作轴于点，设点的坐标为， ∵，且抛物线对称轴为直线， ∴点的坐标为， ∵点在直线的上方， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴，， 由勾股定理可得，， 设直线的函数表达式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∴， ∵轴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点的坐标为． 23. 综合与实践课上，李老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． （1）【探究发现】如图，小明将沿翻折得到，点的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点，求证：； （2）【类比探究】如图，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明； （3）【拓展延伸】在（）的翻折过程中，正方形的边长为． 如图，若线段恰好经过点，，求的长， 如图，若，连接，，直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析； （2），见解析； （3）；的最小值为． 【解析】 【分析】（）由题可知垂直平分，所以，又四边形是正方形，则，，然后证明，再通过全等三角形的性质即可求证； （）先证，过点作，易证，进而得解； （）正方形的边长为，，则，，过点作，垂足为，交线段于点，连接，，推出四边形是平行四边形,得到，根据勾股定理即可得到结论； 过作交于点，则，所以四边形是平行四边形，故有，证明，可得，过作，且，证，得到，所以，当三点共线时，的值最小，为的长，过作，交延长线于点，则四边形是矩形，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：如图， 由题可知垂直平分， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠性质可知， ∴， ∴， 过点作，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 解：∵正方形的边长为，， ∴，， 过点作，垂足为，交线段于点，连接，， ∵四边形沿所在直线翻折得到四边形，线段经过点， ∴，关于直线对称，， ∴垂直平分， 由（）得， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，过作交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过作，且， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 过作，交延长线于点，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同（）中方法可证， ∴， ∴， 在中，， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $